不等式证明六（构造法及其它方法）[上学期]

第十一教时
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
1、 构造法：
1．构造函数法
例一、已知x > 0，求证：
证：构造函数 则， 设2≤<
由
显然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上单调递增，∴左边
例二、求证：
证：设 则
用定义法可证：f (t)在上单调递增
令：3≤t1∴
2．构造方程法：
例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，
则 即b, c是二次方程的两个实根。
∴ 即：a≥2
例四、求证：
证：设 则：(y 1)tan2 + (y + 1)tan + (y 1) = 0
当 y = 1时，命题显然成立
当 y 1时，△= (y + 1)2 4(y 1)2 = (3y 1)(y 3)≥0
∴
综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）
3．构造图形法：
例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：
证：构造单位正方形，O是正方形内一点
O到AD, AB的距离为a, b，
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|
其中，
又：
∴
2、 作业：证明下列不等式：
1．
令，则 (y 1)x2 + (y + 1)x + (y 1) = 0
用△法，分情况讨论
2． 已知关于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 < 0 (aR)，对任意实数x恒成立，求证：。
分a2 1 = 0和 讨论
3． 若x > 0, y > 0, x + y = 1，则
左边 令 t = xy，则
在上单调递减 ∴
4． 若，且a2 < a b，则
令，又，在上单调递增
∴
5． 记，a > b > 0，则| f (a) f (b) | < | a b|
构造矩形ABCD, F在CD上，
使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1,
则|AC| |AF| < |CF|
6． 若x, y, z > 0，则
作AOB = BOC = COA = 120, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z
A
B
C
D
O
1b
b
a
1a
A
B
C
D
F