不等式证明[上学期]

第十二教时
教材：不等式证明综合练习
目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程：
1、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
2、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。
解一：
∵0 < 1 x2 < 1, ∴
∴
解二：
∵0 < 1 x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∴左 右 =
∵0 < 1 x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴
∴
变题：若将a的取值范围改为a > 0且a 1，其余条件不变。
例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
证二：（综合法）xy =
≥
证三：（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
例三、已知x1, x2均为正数，求证：
证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：
即：
再平方：
化简整理得： （显然成立）
∴原式成立
证二：（反证法）假设
化简可得： （不可能）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形ABCD，
使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2
当APB = DPC时，AP + PD为最短。
取BC中点M，有AMB = DMC, BM = MC =
∴ AP + PD ≥ AM + MD
即：
∴
3、 作业： 2000版 高二课课练 第6课
A
B
C
D
P
M