苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
相似三角形的性质
Properties of similar triangles
苏科版九年级下册第6章图形的相似
教学目标
01
在探索相似三角形性质的过程中，进一步加深对相似比概念的理解
02
掌握相似三角形的性质定理，理解“对应高”、“对应中线”、“对应角平分线”中的“对应”的含义
03
能借助相似三角形的性质定理去理解相似多边形的性质
相似三角形的性质
知识精讲
复习引入
01
Q1：如图，▲ABC~▲DEF，我们可以得到什么？
C
D
F
A
B
E
Q2：相似三角形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有什么性质？
∵▲ABC~▲DEF
∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==
知识精讲
情境引入
01
观察：图中分别是边长为1、2、3的等边三角形
3
1
2
图1
图2
图3
图1与图2的相似比=__________；图2与图3的相似比=__________；
图1与图2的周长比=__________；图2与图3的周长比=__________.
1：2
1：2
2：3
2：3
结论：图中相似三角形周长的比等于相似比
知识精讲
情境引入
01
猜想：相似三角形周长的比等于相似比
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B’，===k
∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'
∴==k，即=k
C
A’
C’
A
B
B’
已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为k.
求证：=k.
知识精讲
情境引入
01
观察：△ABC∽△A’B’C’，相似比为，对应高的比=__________.
结论：图中相似三角形的对应高的比等于相似比
知识精讲
情境引入
01
猜想：相似三角形的对应高的比等于相似比
证明：∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠B=∠B’，===k
∵AD⊥BC，A’D’⊥B’C’
∴∠ADB=∠A’D’B’
∴△ADB∽△A’D’B’
∴==k
C
A’
C’
A
B
B’
D
D’
已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，AD⊥BC，A’D’⊥B’C’.求证：=k.
知识精讲
情境引入
01
观察：图中分别是边长为1、2、3的等边三角形
图1与图2的相似比=__________；图2与图3的相似比=__________；
图1与图2的面积比=__________；图2与图3的面积比=__________.
1：2
1：4
2：3
4：9
结论：图中相似三角形面积的比等于相似比的平方
3
1
2
图1
图2
图3
知识精讲
情境引入
01
猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方
证明：如图，作AD⊥BC交BC于点D，A’D’⊥B’C’交B’C’于点D’
∵△ABC∽△A'B'C'
∴==k
∴=·=k·k=k2，即=k2
C
A’
C’
A
B
B’
D
D’
已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k.
求证：=k2.
02
知识精讲
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形的性质
知识精讲
情境引入
01
在探索“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的过程中，我们发现了“相似三角形对应高的比等于相似比”.
Q3：类似地，相似三角形对应中线、对应角平分线等对应线段的比是否也等于相似比呢？
知识精讲
情境引入
01
观察：△ABC∽△A’B’C’，相似比为，对应中线的比=__________.
结论：图中相似三角形的对应中线的比等于相似比
知识精讲
情境引入
01
猜想：相似三角形的对应中线的比等于相似比
证明：∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠B=∠B’，==k
∵D、D’分别为BC、B’C’中点
∴BD=BC，B’D’=B’C’，∴===k=
C
A’
C’
A
B
B’
D
D’
已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，D、D’分别为BC、B’C’中点.
求证：=k.
∵∠B=∠B’，==k
∴△ABD∽△A’B’D’，∴==k
知识精讲
情境引入
01
观察：△ABC∽△A’B’C’，相似比为，对应角平分线的比=__________.
结论：图中相似三角形的对应角平分线的比等于相似比
知识精讲
情境引入
01
猜想：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比
证明：∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠BAC=∠B’A’C’，∠B=∠B’，=k
∵AD、A’D’分别为∠BAC、∠B’A’C’中点
∴∠BAD=∠BAC，∠B’A’D’=∠B’A’C’
∴∠BAD=∠B’A’D’
C
A’
C’
A
B
B’
D
D’
已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，AD、A’D’分别为∠BAC、∠B’A’C’中点.
求证：=k.
∵∠B=∠B’，∠BAD=∠B’A’D’
∴△ABD∽△A’B’D’
∴==k
02
知识精讲
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形的性质
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比
02
知识精讲
相似三角形的性质总结
相似三角形 面积的比 等于相似比的平方
周长的比 等于相似比
对应高的比 对应线段的比 对应中线的比 对应角平分线的比 知识精讲
例1、已知△ABC与△A'B'C'相似，相似比为2：3；△A'B'C'与△A''B''C''相似，相似比为5：4，那么△ABC与△A''B''C''的相似比为（　　）
A．5：6 B．6：5 C．15：8 D．8：15
【分析】
∵△ABC与△A′B′C′的相似比为2：3=10：15，
△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为5：4=15：12，
∴△ABC与△A″B″C″相似比为10：12=5：6．
【相似三角形的对应边的性质】
A
知识精讲
例2、如图，已知△ADE∽△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（　　）
A．4
B．5
C．20
D．3.2
B
【分析】
∵△ADE∽△ACB，
∴=，
∵AB=10，AC=8，AD=4，
∴=，
解得：AE=5．
知识精讲
例3、如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．
【分析】
∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴=，
∵AC=，AD=1，
∴=，∴AB=3，
∴DB=AB-AD=3-1=2．
知识精讲
例4、两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之和为48cm，那么小三角形的周长为（　　）
A．12cm B．18cm C．24cm D．30cm
【分析】
根据题意，两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x+3x=48，解得：x=6，
∴3x=18，即小三角形的周长为18cm.
【相似三角形的周长与面积的性质】
B
知识精讲
例5、两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（　　）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
【分析】
根据题意，两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x-3x=12，解得：x=6，
∴3x=18，即小三角形的周长为18cm.
C
知识精讲
例6、如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A'D'=3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（　　）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
C
【分析】
∵△ABC∽△A'B'C'，
AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD=2，A'D'=3，
∴==，
∴△ABC与△A'B'C'的面积的比=()2=.
知识精讲
例7、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）
A．=
B．=
C．=
D．=
D
【分析】
∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，
∴=，A错误；=，C错误；=，D正确；
不能得出=，B错误.
知识精讲
例8、下列四个命题中，错误的是（　　）
A．相似三角形对应角平分线的比等于相似比
B．相似三角形面积的比等于对应中线的比的平方
C．相似三角形对应高的比等于对应中线的比
D．相似三角形周长的比等于相似三角形面积的比
【分析】
A、相似三角形对应角平分线的比等于相似比，A√；
B、相似三角形面积的比等于对应中线的比的平方，B√；
C、相似三角形对应高的比等于对应中线的比，C√；
D、相似三角形周长的比等于相似三角形面积的比的算术平方根，D×．
【相似三角形的对应线段的性质】
D
知识精讲
例9、若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为________．
【分析】
∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为，
∴△ABC与△DEF的相似比为＝，
∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为．
相似多边形的性质
知识精讲
复习引入
01
Q1：如图，五边形ABCDE~五边形A’B’C’D’E’，我们可以得到什么？
Q2：同样地，相似多边形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有什么性质？
∵五边形ABCDE~五边形A’B’C’D’E’
∴∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’，∠D=∠D’，∠E=∠E’，====
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
知识精讲
情境引入
01
问题：如图，如果两个多边形相似，它们的周长有什么关系？
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
猜想：类比相似三角形，相似多边形周长的比等于相似比
知识精讲
情境引入
01
证明：∵五边形ABCDE∽五边形A’B’C’D’E’
∴=====k（设相似比为k）
∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CD=kC'D'，DE=kD'E'，EA=kE'A'
∴==k
即=k
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
知识精讲
情境引入
01
问题：如图，如果两个多边形相似，它们的面积有什么关系？
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
猜想：类比相似三角形，相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识精讲
情境引入
01
证明思路：
（一）将两幅图中的五边形分别切割成如图的三个三角形
（二）分别证明两幅图中对应的三组三角形相似
（三）将两幅图中五边形的面积转化成对应图中的三个三角形面积之和
由此可得：=相似比2
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
02
知识精讲
相似多边形周长的比等于相似比
相似多边形面积的比等于相似比的平方
相似多边形的性质
知识精讲
例10、如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是________.
【相似多边形的对应边的性质】
【分析】
∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴=，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴=，解得：C1D1=．
知识精讲
例11、如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（　　）
A．2
B．2.4
C．2.5
D．3
A
【分析】
∵矩形ABCD∽矩形ADFE，
∴=，
∵AE=1，AB=4，
∴=，解得：AD=2．
知识精讲
例12、下列说法错误的是（　　）
A．若把一个多边形的各边扩大为原来的k倍，则其周长也扩大为原来的k倍
B．若把一个多边形的面积扩大为原来的k倍，则其各边扩大为原来的k2倍
C．相似三角形的对应中线、对应角平分线、对应高的比都等于相似比
D．相似三角形的面积比等于周长比的平方
【相似多边形的周长与面积的性质】
B
【分析】
A．一个多边形的各边扩大为原来的k倍，其周长也扩大为原来的k倍，A√；
B．一个多边形的面积扩大为原来的k倍，其各边扩大为原来的倍，B×；
C．相似三角形的对应中线、对应角平分线、对应高的比都等于相似比，C√；
D．相似三角形的面积比等于周长比的平方，D√．
知识精讲
例13、若两个相似多边形的面积比为9：64，则它们的周长比为（　　）
A．8：3 B．3：8 C．9：64 D．64：9
B
知识精讲
例14、若两个相似多边形的面积之比为1：4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是__________．
【分析】
∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴两个相似多边形的周长之比为1：2，
设两个多边形的周长分别为x，x+6，
则x+6=2x，解得：x=6，
∴这两个相似多边形的周长分别是6，12．
6， 12
课后总结
相似三角形 面积的比 等于相似比的平方
周长的比 等于相似比
对应高的比 对应线段的比 对应中线的比 对应角平分线的比
相似多边形周长的比等于相似比
相似多边形面积的比等于相似比的平方
谢谢学习
Thank you for learning