2022-2023学年广西贵港市港北区八年级（上）期中数学试卷 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年广西贵港市港北区八年级（上）期中数学试卷 （含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 479.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-28 08:56:04 | ||
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文档简介
2022-2023学年广西贵港市港北区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）在式子，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）在△ABC中，且满足∠A+∠B＝90°，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．
4．（3分）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．（3分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
6．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（3分）已知，则的值是（ ）
A．66 B．64 C．62 D．60
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．一个数的立方根等于他本身，则这个数是﹣1，0，1
9．（3分）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．y+
10．（3分）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AD＝CD B．∠A＝∠C C．∠B＝∠ADC D．DE＝DF
11．（3分）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：
天数 第3天 第5天
工作进度
若乙单独完成这项工作，则需要（ ）
A．9天 B．10天 C．12天 D．24天
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分式没有意义，则x的值为 ．
14．（3分）人体细胞的平均直径为0.000105微米，用科学记数法可表示为 微米．
15．（3分）如图，l1∥l2，AE⊥BE于点E．若∠2＝140°，则∠1的度数为 ．
16．（3分）如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为 ．
17．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝，若5*（3x﹣1）＝2，则x的值为 ．
18．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，当v＝ 时，△ABP与△PQC全等．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算．
20．（6分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠α，和线段a．求作：Rt△ABC，使∠BAC＝∠α，∠ACB＝90°，斜边AB＝a．
21．（10分）（1）计算：÷+．
（2）解方程．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连接DE．若∠A＝56°，求∠DEC的度数．
23．（8分）阅读理解题．
（1）观察：，，……，填空：＝ ；
（2）填空：＝ ；
（3）利用上述规律解分式方程：．
24．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
25．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
26．（12分）已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；
（3）作∠FEG＝120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．
2022-2023学年广西贵港市港北区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）在式子，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义解答即可．
【解答】解：在式子，，，中，分式是，，
故分式有2个．
故选：B．
2．（3分）在△ABC中，且满足∠A+∠B＝90°，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】根据三角形内角和等于180°，可得∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°．据此可得三角形是直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．
【分析】根据分式值为零的条件，可得：x+1＝0且2x﹣1≠0，据此求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+1＝0且2x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：C．
4．（3分）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据等腰三角形的定义求周长即可得出答案．
【解答】解：6+5+5＝16，
故选：B．
5．（3分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
6．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
7．（3分）已知，则的值是（ ）
A．66 B．64 C．62 D．60
【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+＝8，
∴原式＝（x+）2﹣2＝64﹣2＝62．
故选：C．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．一个数的立方根等于他本身，则这个数是﹣1，0，1
【分析】根据全等三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定，立方根的定义一一判断即可．
【解答】解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题，本选项不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个内角，是假命题，应该是三角形的一个外角大于任何和 它不相邻一个内角，本选项符合题意；
C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，本选项不符合题意；
D、一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
9．（3分）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．y+
【分析】设，则＝，再把方程变形求解．
【解答】解：设，
原方程可化为：y﹣+3＝0，
故选：B．
10．（3分）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AD＝CD B．∠A＝∠C C．∠B＝∠ADC D．DE＝DF
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，CD＝BD，求出AD＝BD＝CD，根据等边对等角得出∠A＝∠2，∠1＝∠C，再逐个判断即可．
【解答】解：连接BD，如图1，
∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴AD＝BD，CD＝BD，
即AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠2，∠1＝∠C，
不能推出∠A和∠C相等，∠ABC和∠ADC相等，DE和DF相等，
故选：A．
11．（3分）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：
天数 第3天 第5天
工作进度
若乙单独完成这项工作，则需要（ ）
A．9天 B．10天 C．12天 D．24天
【分析】求出甲单独完成这项工程所需时间，设乙单独完成这项工作需x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝这项工程的，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：甲单独完成这项工作所需天数为3÷＝12（天）．
设乙单独完成这项工作需x天，
依题意，得：+＝，
解得：x＝24
经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意．
故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
【解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
CD＝BE，故D选项不符合题意；
B．∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠ACD＝∠ABE＝36，
∵∠DCA＝∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分式没有意义，则x的值为 1 ．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：当2x﹣2＝0时，此时分式无意义，
∴x＝1，
故答案为：x＝1．
14．（3分）人体细胞的平均直径为0.000105微米，用科学记数法可表示为 1.05×10﹣4 微米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000105微米＝1.05×10﹣4微米．
故答案为：1.05×10﹣4．
15．（3分）如图，l1∥l2，AE⊥BE于点E．若∠2＝140°，则∠1的度数为 130° ．
【分析】根据平角的定义得出∠4＝40°，根据平行线的性质得出∠3＝∠4，由垂直的定义求出∠AEB的度数，最后根据三角形外角的性质得出∠1的度数．
【解答】解：如图：
∵∠2＝140°，∠4+∠2＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝40°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°．
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝40°，
∴∠1＝∠3+∠AEB＝40°+90°＝130°．
故答案为：130°．
16．（3分）如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为 8 ．
【分析】连接AP，BP，PC，根据S△ABC＝AB×PF+×AC×PE+BC×PD＝×AB×（PF+PE+PD），求解即可．
【解答】解：连接AP，BP，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵S△ABC＝AB×PF+×AC×PE+BC×PD＝×AB×（PF+PE+PD）＝16，PD+PE+PF＝4
∴AB＝8，
故答案为8．
17．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝，若5*（3x﹣1）＝2，则x的值为 ．
【分析】根据规定，把5*（3x﹣1）＝2，转化为我们学过的方程，再求解即可．
【解答】解：∵a*b＝，5*（3x﹣1）＝2，
∴﹣＝2，
去分母得，15﹣2（3x﹣1）＝10（3x﹣1），
整理得，36x＝27，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
故答案为．
18．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，当v＝ 4或4.8 时，△ABP与△PQC全等．
【分析】分两种情况①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：设运动时间为t秒，
∵点P从点B出发，以2cm的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，
∴BP＝2t（cm），CQ＝vt（cm），
∴PC＝10﹣2t（cm），
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∴AB＝PC＝6cm，
∴BP＝4cm＝CQ，
∴2t＝4，
解得：t＝2，
∴v＝＝2；
②当BA＝CQ＝6cm，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝BC＝5cm，
∴2t＝5，
解得：t＝2.5，
∴v＝＝2.4，
解得：v＝2.4，
综上所述：当v＝2或2.4时△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或2.4．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算．
【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：
＝﹣1+1+2﹣3
＝﹣1．
20．（6分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠α，和线段a．求作：Rt△ABC，使∠BAC＝∠α，∠ACB＝90°，斜边AB＝a．
【分析】先作∠MAN＝∠α，再在AM上截取AB＝a，然后过B点作AN的垂线，垂足为C点，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，Rt△ABC为所作．
21．（10分）（1）计算：÷+．
（2）解方程．
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝ （a+1）（a﹣1）+＝+＝＝2；
（2）去分母得：x﹣3+x﹣2＝3，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连接DE．若∠A＝56°，求∠DEC的度数．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得∠EDC＝∠ECD，根据等腰三角形的性质进一步可得∠EDC＝∠ABC，根据平行线的性质可得∠DEC的度数，根据等腰三角形的性质即可求出∠DEF的度数．
【解答】解：∵EF垂直平分CD，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ABC，
∴DE∥AB；
∵DE∥AB，∠A＝56°，
∴∠DEC＝∠A＝56°，
23．（8分）阅读理解题．
（1）观察：，，……，填空：＝ ﹣ ；
（2）填空：＝ ；
（3）利用上述规律解分式方程：．
【分析】（1）根据前三个式子的结果直接写出答案；
（2）根据以上等式的规律直接写出答案；
（3）根据规律变形，然后解分式方程即可．
【解答】解：（1）＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）
＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（3），
1﹣＝2﹣，
去分母得：x+1﹣1＝2x+2﹣7
解得：x＝5，
经检验：x＝5是方程的根，
∴原方程的解为x＝5．
24．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
【分析】先猜想AP＝CQ，再在△ABP与△CBQ中，由AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，进而可判断出△ABP≌△CBQ，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【解答】猜想：AP＝CQ
证明：在△ABP与△CBQ中，
∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC＝∠CBQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ
25．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量+后来2天的工作量＝600，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x﹣20）米，
由题意可得：5（x﹣20）+2x＝600，
解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+20%）＝1.2m米，
由题意可得：，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
26．（12分）已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；
（3）作∠FEG＝120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．
【分析】（1）先判断出AD是BC的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先判断出等腰三角形AEF的腰，再用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）先判断出，∠AFE＝BGE，进而构造出全等三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AD是等边△ABC的高，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵△AEF为等腰三角形，AE为腰，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝75°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CBF＝∠AFE﹣∠ACB＝75°﹣60°＝15°，
∵BE＝CE，
∴∠ECD＝∠CBF＝15°；
（3）解：结论：EF＝EG，
理由：∵∠BAC＝60°，∠FEG＝120°，
∴∠BAC+∠FEG＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝BGE，
过点E作EN⊥AB，EM⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴EN＝EM；
在△ENG和△EMF中，
，
∴△ENG≌△EMF，
∴EG＝EF．
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）在式子，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）在△ABC中，且满足∠A+∠B＝90°，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．
4．（3分）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．（3分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
6．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（3分）已知，则的值是（ ）
A．66 B．64 C．62 D．60
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．一个数的立方根等于他本身，则这个数是﹣1，0，1
9．（3分）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．y+
10．（3分）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AD＝CD B．∠A＝∠C C．∠B＝∠ADC D．DE＝DF
11．（3分）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：
天数 第3天 第5天
工作进度
若乙单独完成这项工作，则需要（ ）
A．9天 B．10天 C．12天 D．24天
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分式没有意义，则x的值为 ．
14．（3分）人体细胞的平均直径为0.000105微米，用科学记数法可表示为 微米．
15．（3分）如图，l1∥l2，AE⊥BE于点E．若∠2＝140°，则∠1的度数为 ．
16．（3分）如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为 ．
17．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝，若5*（3x﹣1）＝2，则x的值为 ．
18．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，当v＝ 时，△ABP与△PQC全等．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算．
20．（6分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠α，和线段a．求作：Rt△ABC，使∠BAC＝∠α，∠ACB＝90°，斜边AB＝a．
21．（10分）（1）计算：÷+．
（2）解方程．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连接DE．若∠A＝56°，求∠DEC的度数．
23．（8分）阅读理解题．
（1）观察：，，……，填空：＝ ；
（2）填空：＝ ；
（3）利用上述规律解分式方程：．
24．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
25．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
26．（12分）已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；
（3）作∠FEG＝120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．
2022-2023学年广西贵港市港北区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）在式子，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义解答即可．
【解答】解：在式子，，，中，分式是，，
故分式有2个．
故选：B．
2．（3分）在△ABC中，且满足∠A+∠B＝90°，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】根据三角形内角和等于180°，可得∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°．据此可得三角形是直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．
【分析】根据分式值为零的条件，可得：x+1＝0且2x﹣1≠0，据此求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+1＝0且2x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：C．
4．（3分）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据等腰三角形的定义求周长即可得出答案．
【解答】解：6+5+5＝16，
故选：B．
5．（3分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
6．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
7．（3分）已知，则的值是（ ）
A．66 B．64 C．62 D．60
【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+＝8，
∴原式＝（x+）2﹣2＝64﹣2＝62．
故选：C．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．一个数的立方根等于他本身，则这个数是﹣1，0，1
【分析】根据全等三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定，立方根的定义一一判断即可．
【解答】解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题，本选项不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个内角，是假命题，应该是三角形的一个外角大于任何和 它不相邻一个内角，本选项符合题意；
C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，本选项不符合题意；
D、一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
9．（3分）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．y+
【分析】设，则＝，再把方程变形求解．
【解答】解：设，
原方程可化为：y﹣+3＝0，
故选：B．
10．（3分）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AD＝CD B．∠A＝∠C C．∠B＝∠ADC D．DE＝DF
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，CD＝BD，求出AD＝BD＝CD，根据等边对等角得出∠A＝∠2，∠1＝∠C，再逐个判断即可．
【解答】解：连接BD，如图1，
∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴AD＝BD，CD＝BD，
即AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠2，∠1＝∠C，
不能推出∠A和∠C相等，∠ABC和∠ADC相等，DE和DF相等，
故选：A．
11．（3分）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：
天数 第3天 第5天
工作进度
若乙单独完成这项工作，则需要（ ）
A．9天 B．10天 C．12天 D．24天
【分析】求出甲单独完成这项工程所需时间，设乙单独完成这项工作需x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝这项工程的，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：甲单独完成这项工作所需天数为3÷＝12（天）．
设乙单独完成这项工作需x天，
依题意，得：+＝，
解得：x＝24
经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意．
故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
【解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
CD＝BE，故D选项不符合题意；
B．∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠ACD＝∠ABE＝36，
∵∠DCA＝∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分式没有意义，则x的值为 1 ．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：当2x﹣2＝0时，此时分式无意义，
∴x＝1，
故答案为：x＝1．
14．（3分）人体细胞的平均直径为0.000105微米，用科学记数法可表示为 1.05×10﹣4 微米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000105微米＝1.05×10﹣4微米．
故答案为：1.05×10﹣4．
15．（3分）如图，l1∥l2，AE⊥BE于点E．若∠2＝140°，则∠1的度数为 130° ．
【分析】根据平角的定义得出∠4＝40°，根据平行线的性质得出∠3＝∠4，由垂直的定义求出∠AEB的度数，最后根据三角形外角的性质得出∠1的度数．
【解答】解：如图：
∵∠2＝140°，∠4+∠2＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝40°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°．
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝40°，
∴∠1＝∠3+∠AEB＝40°+90°＝130°．
故答案为：130°．
16．（3分）如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为 8 ．
【分析】连接AP，BP，PC，根据S△ABC＝AB×PF+×AC×PE+BC×PD＝×AB×（PF+PE+PD），求解即可．
【解答】解：连接AP，BP，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵S△ABC＝AB×PF+×AC×PE+BC×PD＝×AB×（PF+PE+PD）＝16，PD+PE+PF＝4
∴AB＝8，
故答案为8．
17．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝，若5*（3x﹣1）＝2，则x的值为 ．
【分析】根据规定，把5*（3x﹣1）＝2，转化为我们学过的方程，再求解即可．
【解答】解：∵a*b＝，5*（3x﹣1）＝2，
∴﹣＝2，
去分母得，15﹣2（3x﹣1）＝10（3x﹣1），
整理得，36x＝27，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
故答案为．
18．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，当v＝ 4或4.8 时，△ABP与△PQC全等．
【分析】分两种情况①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：设运动时间为t秒，
∵点P从点B出发，以2cm的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，
∴BP＝2t（cm），CQ＝vt（cm），
∴PC＝10﹣2t（cm），
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∴AB＝PC＝6cm，
∴BP＝4cm＝CQ，
∴2t＝4，
解得：t＝2，
∴v＝＝2；
②当BA＝CQ＝6cm，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝BC＝5cm，
∴2t＝5，
解得：t＝2.5，
∴v＝＝2.4，
解得：v＝2.4，
综上所述：当v＝2或2.4时△ABP与△PQC全等，
故答案为：2或2.4．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算．
【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：
＝﹣1+1+2﹣3
＝﹣1．
20．（6分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠α，和线段a．求作：Rt△ABC，使∠BAC＝∠α，∠ACB＝90°，斜边AB＝a．
【分析】先作∠MAN＝∠α，再在AM上截取AB＝a，然后过B点作AN的垂线，垂足为C点，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，Rt△ABC为所作．
21．（10分）（1）计算：÷+．
（2）解方程．
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝ （a+1）（a﹣1）+＝+＝＝2；
（2）去分母得：x﹣3+x﹣2＝3，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连接DE．若∠A＝56°，求∠DEC的度数．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得∠EDC＝∠ECD，根据等腰三角形的性质进一步可得∠EDC＝∠ABC，根据平行线的性质可得∠DEC的度数，根据等腰三角形的性质即可求出∠DEF的度数．
【解答】解：∵EF垂直平分CD，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ABC，
∴DE∥AB；
∵DE∥AB，∠A＝56°，
∴∠DEC＝∠A＝56°，
23．（8分）阅读理解题．
（1）观察：，，……，填空：＝ ﹣ ；
（2）填空：＝ ；
（3）利用上述规律解分式方程：．
【分析】（1）根据前三个式子的结果直接写出答案；
（2）根据以上等式的规律直接写出答案；
（3）根据规律变形，然后解分式方程即可．
【解答】解：（1）＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）
＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（3），
1﹣＝2﹣，
去分母得：x+1﹣1＝2x+2﹣7
解得：x＝5，
经检验：x＝5是方程的根，
∴原方程的解为x＝5．
24．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
【分析】先猜想AP＝CQ，再在△ABP与△CBQ中，由AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，进而可判断出△ABP≌△CBQ，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【解答】猜想：AP＝CQ
证明：在△ABP与△CBQ中，
∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC＝∠CBQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ
25．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量+后来2天的工作量＝600，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x﹣20）米，
由题意可得：5（x﹣20）+2x＝600，
解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+20%）＝1.2m米，
由题意可得：，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
26．（12分）已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；
（3）作∠FEG＝120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．
【分析】（1）先判断出AD是BC的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先判断出等腰三角形AEF的腰，再用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）先判断出，∠AFE＝BGE，进而构造出全等三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AD是等边△ABC的高，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵△AEF为等腰三角形，AE为腰，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝75°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CBF＝∠AFE﹣∠ACB＝75°﹣60°＝15°，
∵BE＝CE，
∴∠ECD＝∠CBF＝15°；
（3）解：结论：EF＝EG，
理由：∵∠BAC＝60°，∠FEG＝120°，
∴∠BAC+∠FEG＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝BGE，
过点E作EN⊥AB，EM⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴EN＝EM；
在△ENG和△EMF中，
，
∴△ENG≌△EMF，
∴EG＝EF．
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