2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷 （含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．反比例函数图象经过点P（2，3），则下列各点中，在该函数图象上的是（　　）
A．（﹣，3） B．（9，） C．（6，﹣1） D．（﹣9，）
2．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
3．已知函数y＝kx中y随x的增大而减小，那么它和函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2+y+3＝0
C．x（x﹣1）＝x2﹣2 D．x2＝1
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知点A（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．点（2，6）在该函数图象上
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当y≥﹣4时，x≥3
8．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且++x1x2＝0，则k的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
9．某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2020年植树造林2000亩，计划2022年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　）
A．2000（1+x）2＝2880 B．2000（1﹣x）2＝2880
C．2000（1+2x）＝2880 D．2000x2＝2880
10．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，其中真命题有（　　）
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
11．如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为　 　．
12．若反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象的交点的横坐标为1和﹣3，则关于x的方程＝mx﹣n的解是　 　．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数与常数项的和是 　 　．
14．请你写出一个没有实数根的一元二次方程：　 　．
15．已知菱形的面积是10，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为 　 　．
16．关于x2﹣x﹣6＝0与有一个解相同，则m＝　 　．
17．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　 　．
18．如果函数y＝（m+1）表示反比例函数，且这个函数的图象与直线y＝﹣x有两个交点，则m的值为　 　．
三、解答题（本题共计8小题，共计66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2021x＝0（因式分解法）；
（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝﹣，的图象都经过点A（3，m）、B（n，﹣3）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）不等式kx+b≥﹣的解集是？
21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2＝﹣6，求方程的两根．
22．（8分）反比例函数y＝和一次函数y＝（b+1）x+2的图象如图所示，化简：|a﹣b|+．
23．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
24．（8分）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
25．（8分）阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1＝，x2＝﹣，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值．
26．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．
知识迁移：
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．反比例函数图象经过点P（2，3），则下列各点中，在该函数图象上的是（　　）
A．（﹣，3） B．（9，） C．（6，﹣1） D．（﹣9，）
【分析】将（2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：设解析式为y＝，把点P（2，3）代入上式得，k＝xy＝6，只有B中9×＝6．
故选：B．
2．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先判断出k2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案．
【解答】解：∵k2≥0，
∴k2+1≥1，是正数，
∴反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）都在反比例函数图象上，
∴0＜y2＜y1，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
3．已知函数y＝kx中y随x的增大而减小，那么它和函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可．
【解答】解：∵函数y＝kx中y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴函数y＝kx的图象经过二、四象限，故可排除A、B；
∵k＜0，
∴函数y＝的图象在二、四象限，故C错误，D正确．
故选：D．
4．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．x2+y+3＝0
C．x（x﹣1）＝x2﹣2 D．x2＝1
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．不是整式方程，故本选项不合题意；
B．含有两个未知数，故本选项不合题意；
C．方程整理得﹣x+2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．
故选：B．
6．用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
移项得：x2﹣4x＝1，
配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，
所以m＝5．
故选：B．
7．已知点A（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．点（2，6）在该函数图象上
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当y≥﹣4时，x≥3
【分析】先根据点A（3、﹣4）是反比例函数y＝图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．
【解答】解：∵点A（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy＝3×（﹣4）＝﹣12，
A、∵k＝﹣12＜0，
∴此函数的图象位于二、四象限，故本选项错误；
B、∵2×6＝12≠﹣12，
∴点（2、6）不在此函数的图象上，故本选项错误；
C、∵k＝﹣12＜0，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、∵当y≥﹣4时，即﹣≥﹣4，
解得x＜0或x≥3，故本选项错误；
故选：C．
8．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且++x1x2＝0，则k的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
【分析】根据根与系数的关系x1+x2＝﹣，x1 x2＝求解．
【解答】解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1 x2＝2．
则由++x1x2＝0得到：+x1x2＝+2＝0，即+2＝0．
解得k＝4．
故选：C．
9．某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2020年植树造林2000亩，计划2022年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　）
A．2000（1+x）2＝2880 B．2000（1﹣x）2＝2880
C．2000（1+2x）＝2880 D．2000x2＝2880
【分析】利用计划2022年植树造林的面积＝2020年植树造林的面积×（1+植树造林面积的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2000（1+x）2＝2880．
故选：A．
10．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，其中真命题有（　　）
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】①a+b+c＝0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：①若a+b+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，﹣1×2＝，整理得：2a+c＝0，正确；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有三个，故选：C．
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
11．如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为　6　．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝3，
由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝6．
故答案为：6．
12．若反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象的交点的横坐标为1和﹣3，则关于x的方程＝mx﹣n的解是　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】先表示出两交点坐标为（1，k），（﹣3，﹣k），再把（1，k），（﹣3，﹣k）代入y＝mx+n可得到，则关于x的方程＝mx﹣n化为＝kx﹣k，然后解此方程即可．
【解答】解：两交点坐标为（1，k），（﹣3，﹣k），
把（1，k），（﹣3，﹣k）代入y＝mx+n得，解得，
关于x的方程＝mx﹣n化为＝kx﹣k，解得x1＝﹣1，x2＝3．
即关于x的方程＝mx﹣n的解是x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为x1＝﹣1，x2＝3．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数与常数项的和是 　﹣9　．
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可．
【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数与常数项分别为﹣2、﹣7，
﹣2+（﹣7）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
14．请你写出一个没有实数根的一元二次方程：　满足b2﹣4ac＜0的一元二次方程即可，如y2+y+1＝0　．
【分析】由根的判别式Δ＜0，方程无实根，任写一个即可，答案不唯一．
【解答】解：y2+y+1＝0，只要满足b2﹣4ac＜0即可．
15．已知菱形的面积是10，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为 　y＝　．
【分析】由菱形的两条对角线长分别为x和y，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：×x×y＝10．
即y＝．
故答案为：y＝．
16．关于x2﹣x﹣6＝0与有一个解相同，则m＝　﹣8　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2﹣x﹣6＝0，将它的根分别代入原方程，去掉不符合题意的根，求出m的值．
【解答】解：解方程x2﹣x﹣6＝0得：x＝﹣2或3；
因为当x＝3，分式无意义，
所以把x＝﹣2代入方程，
∴，
解得m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
17．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　x（x﹣12）＝864　．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
18．如果函数y＝（m+1）表示反比例函数，且这个函数的图象与直线y＝﹣x有两个交点，则m的值为　﹣2　．
【分析】根据反比例函数的定义，求出m的值（两个），再根据函数的图象与直线y＝﹣x有两个交点，判断出m符号，进而得到正确值．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）表示反比例函数，
∴m2+m﹣3＝﹣1，
解得m1＝1，m2＝﹣2．
由于y＝﹣x过二、四象限，反比例函数与直线有两个交点，则反比例函数在二、四象限，
故m+1＜0，
m＜﹣1，
答案为m＝﹣2．
三、解答题（本题共计8小题，共计66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2021x＝0（因式分解法）；
（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2021x＝0，
∴x（x﹣2021）＝0，
则x＝0或x﹣2021＝0，
解得x1＝0，x2＝2021；
（2）整理为一般式，得：5x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝﹣，x2＝1．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝﹣，的图象都经过点A（3，m）、B（n，﹣3）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）不等式kx+b≥﹣的解集是？
【分析】（1）将A（3，m），B（n，﹣3）代入y＝﹣，求出m，n的值，即可得A，B的坐标，再将两点坐标代入y＝kx+b，求出k，b的值，即可得一次函数的表达式．
（2）画出一次函数y＝x﹣5的大致图象，由图可得答案．
【解答】解：（1）将A（3，m），B（n，﹣3）代入y＝﹣，
得m＝﹣2，n＝2，
∴A（3，﹣2），B（2，﹣3），
将A（3，﹣2），B（2，﹣3）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣5．
（2）一次函数y＝x﹣5的图象大致如下：
根据图象可知，不等式x﹣5≥﹣的解集为x≥3或0＜x≤2．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2＝﹣6，求方程的两根．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k﹣3，于是得到k﹣3＝﹣6，求出k得到原方程为：x2+6x+8＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4（﹣2k+2）
＝k2﹣6k+9+8k﹣8
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
所以方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k﹣3，
则k﹣3＝﹣6，
解得k＝﹣3，
所以原方程为：x2+6x+8＝0，
解方程得x1＝﹣2，x2＝﹣4．
22．（8分）反比例函数y＝和一次函数y＝（b+1）x+2的图象如图所示，化简：|a﹣b|+．
【分析】直接利用反比例函数以及一次函数的图象得出a﹣1＞0，b+1＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：由图像可得：a﹣1＞0，b+1＜0，
则a＞1，b＜﹣1，
∴a﹣b＞0，a﹣＞0，1﹣b＞0，
∴
＝a﹣b+a﹣﹣1+b
＝2a﹣．
23．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）＝4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x1＝8，x2＝60．
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
24．（8分）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【解答】解：（1）停止加热时，设y＝，
由题意得：50＝，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为（9，100），
∴B点坐标为（8，100），
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；
（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
25．（8分）阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1＝，x2＝﹣，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值．
【分析】（1）设y＝x2+x，则由已知方程得到：y2﹣5y+4＝0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程；
（2）设x＝a2+b2，则由已知方程得到：x2﹣3x﹣10＝0，利用因式分解法求得该方程的解即可．
【解答】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0，
整理，得
（y﹣1）（y﹣4）＝0，
解得y1＝1，y2＝4，
当x2+x＝1即x2+x﹣1＝0时，解得：x＝；
当当x2+x＝4即x2+x﹣4＝0时，解得：x＝；
综上所述，原方程的解为x1，2＝，x3，4＝；
（2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0，
整理，得
（x﹣5）（x+2）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去），
故a2+b2＝5．
26．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．
知识迁移：
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
【分析】（1）利用“配方法”计算即可；
（2）两式相减，差和0比较，确定大小；
（3）S＝大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+12，
∴y＝（x﹣3）2+3，
∴y的最小值为3；
（2）3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6）
＝3x2﹣x+2﹣2x2﹣3x+6
＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4
∵（x﹣2）2+4＞0
∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6；
（3）根据题意可得：
S＝S△ABC﹣S△PQC，
S＝×4×3﹣（4﹣2t）t，
S＝6﹣2t+t2，
S＝（t﹣1）2+5，
∴S的最小值为5．