§6.1不等式的概念与性质
一.内容归纳
１．知识精讲:
(1)两个＂公理＂：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
；；．以此可以比较两个数（式）的大小，叫作差比较．而作商比较是：；．
(2)可加性：；反之不可；反之不可．
(3)可乘性：；；反之不可．
(4)反之不可．
(5)可除性：反之不可；
如：已知－１＜x＜3 ,求的范围．解得：
(6)关于乘方：反之不可；若n为正奇数，则有：
(7)关于开方：反之不可；可用反证法证之．若n为正奇数，则有：
2.重点难点:(1)正确应用不等式的性质，对数与式的大小判定须进行严格的证明后方可下结
论，不能凭估计就去断言他们间的大小．（２）大多数的性质的推出仅是单向的，并不是充要的，不能乱来．
3.思维方式:严格的逻辑推理．以及比较两数（式）大小的方法．
4.特别注意:区分一个数或式所具有的大小性质与这个数或式所有的范围的差别，只有推导是充要的，或虽不知是充要，但可以证明是取得到的，才是范围．
二.例题分析:
对于实数，判断以下命题的真假：
若a>b,则.
若a若,则.
若,则.
若a>b>0,d>c>0,则
解：1。假 2。假 3。假 4。真。略证：；
５．真．略证：．又一性质：非负异向不等式相除，不等号同被除式．
[思维点拔] 用反例判定假，用严格证明判定真．在不等式中尤其多用．
例2、P(85例2)命题P:若a,b的充分而不必要重要条件;命题q:函数的定义域是,则A. p或q假 B。p且q 真 C. p真q假 D. .p假q 真
例3 P(85例1)已知-1解，P85.
[思维点拔]不能求出a,b的范围再求2a+3b的范围。要有整体思想
例4、P(85例3)
比较的大小.
练习:已知函数，，试比较与的大小．
解 作差—=
当时，得=。
（2）当时，①当时，得=。②当时，得
>。③当时，得
<。
综上所述：当或时=。当且时>。当且时<。
[思维点拔]两数或两式的大小只有大于，小于或等于三者之一。
三、课堂小结
1、熟练掌握准确运用不等式的性质。
2、比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形---判断
四、作业：
课件10张PPT。不等式的概念与性质
高三备课组１．知识精讲:
(1)两个＂公理＂：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a；；． 以此可以比较两个数（式）的大小，叫作差比较．而作商比较是：；．
(2)可加性： ；
反之不可； 反之不可．
(3)可乘性：
反之不可．
(4) 反之不可．
(5).可除性： 反之不可；
如：已知－１＜x＜3 ,
求 的范围．解得： (6)关于乘方：
反之不可；若n为正奇数，则有：
(7)关于开方：
反之不可；可用反证法证之．若n为正奇数，则有： 2.重点难点:(1)正确应用不等式的性质，对数与式的大小判定须进行严格的证明后方可下结
论，不能凭估计就去断言他们间的大小．（２）大多数的性质的推出仅是单向的，并不是充要的，不能乱来．
例1对于实数，判断以下命题的真假：
1、若a>b,则.
2、若a3、若a4、若a5、若a>b>0,d>c>0,则
、例2、P(85例2)
命题P:若a,b 则|a|+|b|>1 是 |a+b|>1的充分而不必要重要条件;命题q:函数
的定义域是 ,则
p或q假 B。p且q 真
C. p真q假 D. .p假q 真
例3 P(85例1)已知-1比较
的大小.练习:已知函数，，
试比较 与 的大小．
三、课堂小结
1、熟练掌握准确运用不等式的性质。
2、比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形---判断【作业布置】不等式的证明(一)
【知识点精讲】
1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：
①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b且b>0，只须证 0。
说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
基本不等式：(1)若则 当且仅当a=b时取等号。
(2)
(3)a,b同号,
3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程
4. 重点难点: 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。
思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。
6. 特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
【例题选讲】
例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a
证明：p= a2+b2+1-ab-a==
显然p>0 ∴得证
[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断
例2、P87例1. 设求证
【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。
【证法一】左边-右边=
=
= = ∴原不等式成立。
【证法二】左边>0，右边>0。
∴原不等式成立。
[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。
例3、P87例2已知a,b,x,y
[思维点拔] 观察特征,用比较法或分析法
例4、设x>0,y>0且x≠y,求证
证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明
只需 即
只需
由条件,显然成立.∴原不等式成立
[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式
练习: .若a、b、c是不全相等的正数，
求证：
【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。
【证法一】（综合法）：，，，
又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有。
∴ 即
【证法二】 （分析法）要证
即证成立。只需证成立。
∵，，。∴ （*）
又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。
∴原不等式成立。
例5.(P88例3)
某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支出运费900元
(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小;
(2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210t时,其价格可优惠9折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.
[点评]
【课堂小结】
不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法
比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b且b>0，只须证 0
综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件
分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程
【作业布置】
P
课件10张PPT。不等式的证明(一)高三备课组 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：
①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b且b>0，只须证 1。 说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。 (1)若 则
当且仅当a=b时取等号。 (2) (3)a,b同号, 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程 例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a
例2、P81例1设 求证 例4、设x>0,y>0且x≠y,求证 P87例2已知
a,b,x,y 练习: .若a、b、c是不全相等的正数，
求证： 例5.(P88例3)
某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支出运费900元
(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小;
(2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210t时,其价格可优惠9折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.． 【课堂小结】
不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法
比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b且b>0，只须证 0
综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件
分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程 【作业布置】不等式的证明(二)
【知识点精讲】
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。
用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略
3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B 4. 构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。
【例题选讲】
(一).复习:不等式证明三种主要方法,然后讲P89例1例2
例1 (P89)
设实数x.y 满足y+x2=0,0例2.已知a.b.c,且a+b+c=1,求证(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c)
(二)其它方法:
例3、已知，求证：中至少有一个不小于。
【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。
【证明】（反证法）假设都小于，则
，
而
，相互矛盾
∴中至少有一个不小于。
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
例4、（1）设，且，求证： ；
（2）设，且，求证：
【证明】 （1）设
则 ，
=。
（2）设，
∵，∴ 。
于是。
[思维点拔]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为
或或等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。
例5、.已知，求证：都属于。
【证明】由已知得：，代入中得：
∵，∴△≥0，即
解得，即y∈ 。同理可证x∈ ，z∈ 。
变式：设，且，求证：
因为，而
所以，所以a，b为方程 （1）的二实根
而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。
记，则
解得。
[思维点拔] 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。
【课堂小结】
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。
用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略
3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B 4. 构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。
【作业布置】
课件10张PPT。不等式的证明(二)高三备课组反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。
用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略
放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B例1 (P89)
设实数x.y 满足y+x2=0,0证明例2.已知a.b.c ,且a+b+c=1,求证(1+a)(1+b)(1+c) 8(1-a)(1-b)(1-c)例1、已知 ，求证：
中至少有一个不小于 。
(二)其它方法:[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。 例4、（1）设 ，且 ，
求证： ；
（2）设 ，且 ，
求证：[思维点拔]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为 或 或
等均可三角换元。
（2）换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。例5、.已知 , ，
求证： 都属于 。[思维点拔] 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。【课堂小结】
1.? 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
2.?? 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。
3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B 4. 构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。 【作业布置】
不等式的解法
内容归纳:
知识精讲：
一元一次不等式（略）
一元二次不等式,与二次函数、二次不等式结合。
高次不等式的解法：
降次化作不等式组求解；
f（x）·g（x）＞0 f(x) ＞0 或 f(x)＜0
g(x) ＞0 g(x)＜0
f(x) ＞0 f(x)＜0
f（x）·g（x）＜0 g(x)＜0 或 g(x) ＞0
b)数轴标根法求解.：
分式不等式的解法:
记f(x),g(x)为x的整式函数,分式不等式与f(x)·g(x)>0同解;
与f(x)·g(x)<0同解.
一般形式的分式不等式可先化为上述形式.
重点、难点：一元一次不等式（组）、一元二次不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法。
3、思维方法：归类、转化。数形结合。
4、特别提示：解分式不等式时，注意先移项，使右边为０。
二、题型剖析
[一元一次不等式]
已知关于x的不等式（a+b）x+（2a-3b）＜0解为（-∞，-1/3），求关于x的不等式（a-3b）x+（b-2a）＞0的解集。
〖解〗由（a+b）x＜（2a-3b）解集为（-∞，-1/3），所以有a+b＞0，且
从而a=2b，又a+b=3b＞0，∴b＞0，将a=2b代入（a-3b）x+（b-2a）＞0
得-bx-3b＞0，x＜-3，所求解集为（-∞，-3）。
思维点拨：挖掘隐含条件a+b>0很重要。
[可转化为一元二次不等式]：
例3P92
若不等式的所有m都成立。求m的取值范围。
〖解〗原不等式化为（x2-1）m-（2x-1）＜0记f（m）=（x2-1）m-（2x-1）
（-2≤m≤2），根据题意有 f（-2）=-2（x2-1）-（2X-1）＜0
f（2）=2（x2-1）-（2X-1）＜0
即 2x2+2x-3＞0
2x2-2x-1＜0 解之，x的取值范围为
[思维点拨]从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实际上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2，2]，求参数x的取值范围。
[一元二次不等式]
P92求实数m的范围，使对任意恒有意义。
[练习]：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，求不等式cx2+bx+a＜0的解集。
〖解〗由已知条件得a＜0，∴原不等式可化为，
∵α，β为方程的两根，
，a＜0得c＜0，∴不等式cx2+bx+a＜0可化为
∵，，
∴不等式即∴它的解集.
[思维点拨]根据解集的形式可以确定a＜0及c＜0。
[简单高次、分式不等式]
P92 例1解不等式
解：P92
思维点拨：1.如果出现重因式，若n是奇数，则该因式可视为x-a来解，若n为偶数，则先将因式去掉，最后讨论x=a是否为原不等式的解。
2.分式不等式标准形；（2）数轴标根法。
[含参数不等式]
【例5】解关于ｘ的不等式
〖解〗原不等式等价于∵∴等价于：
（*）
当ａ>１时，（*）式等价于>０∵<１∴ｘ<或ｘ>２
ａ<１时，（*）式等价于<０由２－＝知：
当０<ａ<１时，>２，∴２<ｘ<；
当ａ<０时，<２，∴<ｘ<２；
当ａ＝０时，当＝２，∴ｘ∈φ
综上所述可知：当ａ<０时，原不等式的解集为（，２）；当ａ＝０时，原不等式的解集为φ；当０<ａ<１时，原不等式的解集为（２，）；当ａ>１时，原不等式的解集为（－∞，）∪（２，＋∞）。
思维点拨:含参数不等式,对所含字母分类讨论,不重不漏.
三、课堂小结
1、解不等式基本思想是化归转化；
2、解分式不等式时注意先化为标准式，使右边为0；
含参数不等式的基本途径是分类讨论（1）要考虑参数的总体取值范围
（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏。
四、作业
课件11张PPT。不等式的解法
高三备课组 一、 内容归纳:
1、知识精讲：
①一元一次不等式（略）
②一元二次不等式,与二次函数、二次不等式结合。
③高次不等式的解法：
A a）降次化作不等式组求解；
f（x）·g（x）＞0 f(x) ＞0 或 f(x)＜0
g(x) ＞0 g(x)＜0
f(x) ＞0 f(x)＜0
f（x）·g（x）＜0 g(x)＜0 或 g(x) ＞0 b)数轴标根法求解.：
(4)分式不等式的解法:
记f(x),g(x)为x的整式函数,分式不等式 与f(x)·g(x)>0同解;
与f(x)·g(x)<0同解.
一般形式的分式不等式可先化为上述形式.
2。、重点、难点：一元一次不等式（组）、一元二次不等式、简单的高高次不等式、分式不等式的解法。
3、思维方法：归类、转化。数形结合。
4、特别提示：解分式不等式时，注意先移项，使右边为０。
二、题型剖析
[一元一次不等式]
?【例1】???????????
已知关于x的不等式（a+b）x+（2a-3b）＜0解为（-∞，-1/3），求关于x的不等式（a-3b）x+（b-2a）＞0的解集。
思维点拨：挖掘隐含条件a+b>0很重要。
例3 P92
若不等式
的所有m都成立。求m的取值范围。
[思维点拨]从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实际上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2，2]，求参数x的取值范围。 [一元二次不等式]??????
例2 P92
求实数m的范围，
使
对任意恒有意义。
[练习]：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，求不等式cx2+bx+a＜0的解集。
[简单高次、分式不等式]
P92 例1解不等式
[含参数不等式]
【例5】解关于ｘ的不等式 思维点拨:含参数不等式,对所含字母分类讨论,不重不漏.
三、课堂小结
1、解不等式基本思想是化归转化；
2、解分式不等式时注意先化为标准式，使右边为0；
13、含参数不等式的基本途径是分类讨论（1）要考虑参数的总体取值范围
（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏。
四、作业
含绝对值不等式
一、基础知识
1、绝对值的基本性质：
2、绝对值的运算法则
（注意不等式成立的条件）
（注意不等式成立的条件）
3、绝对值不等式的解法
（4）含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段求解。
4、解含绝对值问题的几种常用策略
定义策略；（2）平方策略；（3）定理策略；（4）等价转化策略；（5）分段讨论策略；
（6）数形结合策略
二、题型剖析
[含绝对值不等式的解法]
例1 P94 解不等式
练习：[变式1]求使不等式有解的a的取值范围。
一般用定理策略或数形结合解的范围是a>1
例2 P94 解不等式
解：（1）法一：原不等式①或②
由①解得，由②解得
∴原不等式的解集是
法二：原等式等价于
∴原不等式的解集是
法三：设，由解得非曲直，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使的的范围是，
∴原不等式的解集是
【思维点拨】数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。
[不等式解的反问题]
例3 P94 设f(x)=ax+2,不等式|f(x)|<6的解集为（-1，2），试求不等式的解集。
[含绝对值不等式的证明]
例4：
证：，欲证，只需证
即证
即证此为显然，所以原不等式成立。
思维点拨：含绝对值不等式证明常用分析法。
例5、已知二次函数，若
证明：
证明：由可得
又
思维点拨：证明含绝对值不等式常用定理策略：
三、课堂小结
1、含绝对值不等式的解法的基本思想是设法去掉绝对值符号
常用方法是（1）由定义零点分析法；（2）题型法；（3）平方法；（4）数形结合法等。
2、含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法
3、灵活运用绝对值不等式两个重要性质定理，特别关注等号成立的条件。
四、作业
解下列不等式
课件12张PPT。含绝对值不等式 高三备课组一、基础知识
1、绝对值的基本性质：
2、绝对值的运算法则
（注意不等式成立的条件）
（注意不等式成立的条件）
3、绝对值不等式的解法
（4）含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段求解。
4、解含绝对值问题的几种常用策略
?定义策略；
平方策略；
定理策略；
等价转化策略；
分段讨论策略；
数形结合策略
例1 P94 解不等式
二、题型剖析
[含绝对值不等式的解法]
练习：求使不等式 有解的a的
取值范围。
[含绝对值不等式的证明]
例2;P94 解不等式
[不等式解的反问题]
例3 P94 设f(x)=ax+2,不等式|f(x)|<6的解集为（-1，2），试求不等式 的解集。
[含绝对值不等式的证明]
例4： 例5、已知二次函数，
若
证明：
三、课堂小结
1、含绝对值不等式的解法的基本思想是设法去掉绝对值符号
常用方法是（1）由定义零点分析法；（2）题型法；（3）平方法；（4）数形结合法等。
2、含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法
3、灵活运用绝对值不等式两个重要性质定理，
特别关注等号成立的条件。 作业不等式的应用
一、内容归纳
1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.
2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.
3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.
4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.
二、例题选讲
题型1、不等式在方程、函数中的应用。
例1、P96 函数的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。
小结：本题用的是判别式法的思想
练习：P96深化拓展
练习：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解：
题型2：不等式在几何中的应用
例2、
用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？
解：如图：A—CC1---B是二墙面所成直二面角, CC1面ABC
（AC=CB时取”=”）
当AB=a,AA1=b时，
当AB=b,AA1=a时，
因此，所围成直三棱柱的底面是等腰，高等于b时，这柱体的体积有最大值.
题型3、建立函数关系式，利用均值不等式求最值。
例3，已知a>0,求函数的最小值。
练习：. 设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上下各留的空白，左右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
解：设画面的高为，宽为，则，设纸张面积为，则有
，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.
如果，则上述等号不能成立.现证函数在上单调递增.设,
则 ，因为，又，所以，故在上单调递增，因此对，当时，取得最小值.
[思维点拔] 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.
题型四、 综合问题
P96 例3
已知函数
若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；
今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且，试求f(x)的解折式。
解：P96
三、小结
1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非不等式的问题；
2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一定要准确到位，尤其是使用基本不等式求最值时，一定要检验等号能否成立。
四、作业：
课件11张PPT。不等式的应用
高三备课组一、内容归纳
1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明 和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.
2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.
3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时 数形结合.
4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.
?
题型1、不等式在方程、函数中的应用。
例1、P96 函数
的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。
小结：本题用的是判别式法的思想
练习：P96深化拓展
例1、
已知集合 函数
的定义域为Q
（1）若 ，求实数a的取值范围。
（2）若方程 在 内
有解，求实数a的取值范围。
练习：
若关于x的方程
有实根,求实数a的取值范围。
例2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？
题型2：不等式在几何中的应用
题型3、建立函数关系式.利用均值不等式求最值。 例3，已知a>0,求函数
的最小值 练习设计一幅宣传画，要求画面面积为
，画面的宽与高的比为 ，画面的上下各留 的空白，左右各留
的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果 ，那么 为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
题型四、 综合问题
P96 例3
已知函数
（1）?若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；
（2 今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且 ，试求f(x)的解折式。
预备：
例5：.若关于 的方程 有
两个不等的实根，求实数 的取值范围.
三、小结
1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非
不等式的问题；
2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一
定要准确到位，尤其是使用基本不等式求
最值时，一定要检验等号能否成立。
四、作业：P248不等式的综合问题
一知识梳理
方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题
解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点和解法，充分利用数学思想和数学方法求解
二、例题剖析；
P97
已知（1）判断F（X）在（1。+）上的单调性。并加以证明
（2）当时F（X）的值域为（1。+），求a与r的值。 （3）若求X的取值范围
例2、P98 已知抛物线上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围
例3、设函数＝ｘ2+8x+3 (<0),对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间［０，］上，不等式｜｜≤５都成立。问为何值时最大？求出这个最大的，证明你的结论。
【解法】：＝，∵<０∴max=
当>５，即－８<<０时，０<<－ （如图１）
∴是方程ｘ2+8x+3＝５的较小根＝
≤５，即≤－８时，>－ （如图２）
∴是方程ｘ2+8x+3＝－５的较大根＝＝，当且仅当＝－８时等号成立，由于>，
因此当且仅当＝－８时，取最大值。
评述：本题是典型的函数、方程、不等式的综合问题，数形结合利于开拓思路，找到解决办法。
三、小结
四、作业
2004年高考试题汇编－不等式
1．(2004年辽宁卷)对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是 ( D )
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
2.(2004年浙江卷)设z=x—y ,式中变量x和y满足条件则z的最小值为
（ A ）
(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3
3．(2004年重庆卷）不等式的解集是 （ A ）
A． B．
C． D．
4． (2004年天津卷)不等式的解集为 （ A ）
A． B．
C． D．
5．(2004年重庆卷）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ C ）
A． B． C． D．
6． (2004年重庆卷）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ B ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
7．(2004年北京卷）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是 （ C ）
A． B． C． D．
8．(2004年湖北卷)函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 （ B ）
A． B． C．2 D．4
9．(2004年湖北卷)若，则下列不等式①；②③；
④中，正确的不等式有 （ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(2004年湖南卷)设集合
，那么点P（2，3）的充要条件是（ A ）
A． B．
C． D．
11．(2004年湖南卷)设则以下不等式中不恒成立的是 （ B ）
A． B．
C． D．
12．(2004年福建卷)命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；
命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞.则 （ D ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
13．(2004年全国卷I)的最小值为
（ B ）
A．－ B．－ C．－－ D．+
14．(2004年全国卷III)不等式的解集为 （ A ）
A． B．
C． D．
15．(2004年全国卷IV)设函数 ，则使得的自变量的取值范围为 （ A ）
A． B．
C． D．
16．(2004年全国卷IV)不等式的解集为 （ D ）
A． B． C． D．
17．(2004年全国卷I)不等式|x+2|≥|x|的解集是 {x|x≥－1} .
18.(2004年浙江卷)已知则不等式≤5的解集是 .
19．(2004年北京卷)在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最____大__________值（填“大”或“小”），且该值为_____-3_________.
20．(2004年全国卷IV)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
21．(2004年全国卷IV)已知数列的前项和满足.
（1）写出数列的前三项；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有 .
本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）解：由
由
由
（Ⅱ）解：当时，有
……
所以
经验证a1也满足上式，所以
（Ⅲ）证明：由通项公式得
当且n为奇数时，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以对任意整数m>4，有
22．(2004年江苏卷）已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.
设实数a0，a，b满足 和
(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；
(Ⅱ)证明；
(Ⅲ)证明.
本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
证明：（I）任取
和 ②
可知 ，
从而 . 假设有①式知
∴不存在
（II）由 ③
可知 ④
由①式，得 ⑤
由和②式知， ⑥
由⑤、⑥代入④式，得
（III）由③式可知
（用②式）
（用①式）
23．(2004年湖南卷)如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）比较的大小.
（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得
点Qn、Pn+1的坐标分别是：
由Pn+1在直线l1上，得
所以 即
（Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ，
所以数列 是首项为公比为的等比数列.
从而
（Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）.
所以
（i）当时，>1+9=10.
而此时
（ii）当时，<1+9=10.
而此时
24．(2004年福建卷）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].
因为函数y=x(x+1) －－10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；
当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
2004年高考试题汇编－不等式
1．(2004年辽宁卷)对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是 ( )
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
2.(2004年浙江卷)设z=x—y ,式中变量x和y满足条件则z的最小值为
(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 ( )
3．(2004年重庆卷）不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
4． (2004年天津卷)不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
5．(2004年重庆卷）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ ）
A． B． C． D．
6． (2004年重庆卷）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ B ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
7．(2004年北京卷）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8．(2004年湖北卷)函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 （ ）
A． B． C．2 D．4
9．(2004年湖北卷)若，则下列不等式①；②③；
④中，正确的不等式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(2004年湖南卷)设集合
，那么点P（2，3）的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
11．(2004年湖南卷)设则以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
12．(2004年福建卷)命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；
命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞.则 （ ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
13．(2004年全国卷I)的最小值为
A．－ B．－ C．－－ D．+ ( )
14．(2004年全国卷III)不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
15．(2004年全国卷IV)设函数 ，则使得的自变量的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
16．(2004年全国卷IV)不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
17．(2004年全国卷I)不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
18.(2004年浙江卷)已知则不等式≤5的解集是 .
19．(2004年北京卷)在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最____ 值（填“大”或“小”），且该值为______________.
20．(2004年全国卷IV)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
21．(2004年全国卷IV)已知数列的前项和满足.
（1）写出数列的前三项；
（2）求数列的通项公式；
(理科做)（3）证明：对任意的整数，有 .
22．(2004年江苏卷）已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.
设实数a0，a，b满足 和
(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；
(Ⅱ)证明；
(Ⅲ)证明.
23．(2004年湖南卷)如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）比较的大小.
24．(2004年福建卷）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
不等式
选择题：
1．（福建卷）不等式的解集是 （ A ）
A． B．
C． D．
2．（福建卷）下列结论正确的是 （ B ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
3．（湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 （ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. （辽宁卷）6．若，则的取值范围是 （ C ）
A． B． C． D．
5. （辽宁卷）在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则 （ C ）
A． B． C． D．
6. (全国卷Ⅰ) 设，函数，则使的的取值范围是（B）
（A） （B） （C）（D）
7. （山东卷），下列不等式一定成立的是（ A ）
（A）（B）
（C）
（D）
8. （天津卷）9．设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（A ）
A． B． C． D．
9. （天津卷）已知＜＜ ，则
A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b
10. (重庆卷)不等式组的解集为 (C ) (A) (0,)； (B) (,2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。
11.(江西卷）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：
①0 其中不可能成立的关系式有 （ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题：
7. (全国卷Ⅰ) （13）若正整数m满足，则m = 155 。
解答题：
1（湖北卷）22．（本小题满分14分）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
05年高考-------不等式
选择题：
1．（福建卷）不等式的解集是 ( )
A． B． C．D．
2．（福建卷）下列结论正确的是 （ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
3．（湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 ( )
4. （辽宁卷）6．若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5. （辽宁卷）在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则 （ ）
A． B． C． D．
6. (全国卷Ⅰ) 设，函数，则使的的取值范围是（ ）
（A） （B） （C）（D）
7. （山东卷），下列不等式一定成立的是（ ）
（A）（B）
（C）
（D）
8. （天津卷）9．设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9. （天津卷）已知＜＜ ，则 ( )
A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b
10. (重庆卷)不等式组的解集为 ( ) (A) (0,)； (B) (,2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。
11.(江西卷）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：
①0 其中不可能成立的关系式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题：
12. (全国卷Ⅰ) （13）若正整数m满足，则m =
解答题：
13（湖北卷）（本小题满分14分）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
(理)（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
(理)（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第六章《不等式》
一、选择题（共15题）
1．（安徽卷）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：由得：，即，故选D。
2．（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立。
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件
如果
如果a,b是正数，那么
3．（江西卷）若a(0，b(0，则不等式－b((a等价于（ ）
A．(x(0或0(x( B.－(x( C.x(-或x( D.x(或x(
解：
故选D
4．（山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解：令(2（x(2），解得1(x(2。令(2（x(2）解得x(（，+∞）选C
5．(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．
6．(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(07．(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为，a>0，∴ x1+x2=0，x1与x2的中点为0，x18．(陕西卷)设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( )
A. 6 B.9 C.12 D.15
解析：x，y为正数，(x+y)()≥≥9，选B.
9．(上海卷)若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
解：选（A）
方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为；
方法2：求出不等式的解集：≤＋4；
10．(上海卷)如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：如果，那么，∴ ，选A.
11．（浙江卷）“a＞b＞c”是“ab＜”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
【考点分析】本题考查平方不等式和充要条件，基础题。
解析：由能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是。
12．（浙江卷）“a＞0，b＞0”是“ab>0”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
解：由“a＞0，b＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，选A
13．(重庆卷)若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为
（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2
解析：若且 所以，∴ ，则()≥，选D.
14．(重庆卷)若且，则的最小值是
（A） （B）3 （C）2 （D）
解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）2(12，当且仅当b＝c时取等号，故选A
15．（上海春）若，则下列不等式成立的是( )
（A） . （B）. （C）.（D）.
解：应用间接排除法．取a=1,b=0，排除A. 取a=0,b=-1，排除B; 取c=0，排除D．故应该选C．显然 ，对不等式a>b的两边同时乘以 ，立得 成立．
二、填空题（共6题）
16．（江苏卷）不等式的解集为
【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法
【正确解答】，0〈，.
解得
【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.
17．(上海卷)三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．
解：由＋25＋|－5|≥，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，，等号当且仅当时成立；故；
18．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______ 吨．
解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
19.（浙江卷）不等式的解集是 。.
解：(（x＋1）（x－2）(0(x(－1或x(2.
20.（上海春）不等式的解集是 .
解：应用结论： ．不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是 ，所以 ，从而应填 ． 21.（上海春）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .
解：设直线 l 为 ，则有关系 ．??? 对 应用２元均值不等式，得 ，即ab≥8 ．于是，△OAB 面积为 ．从而应填4．
三、解答题（共1题）
22.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:
解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得
，（*）
于是+
当为定值时,,
当且仅当时等号成立.此时
将代入（*）式得
故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是.
当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
课件6张PPT。不等式的综合问题高三备课组一知识梳理
1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题
2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点和解法，充分利用数学思想和数学方法求解二、例题剖析；
例1. P97
已知
（1）判断F（X）在（1。+ ）上的单调性。并加以证明
（2）当 时F（X）的值域为 （1。+ ），求a与r的值。
（3）若 求X的取值范围例2、P98 已知抛物线
上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围例3、设函数
对于给定的负数a，有一个最大的正数 ，使得在整个区间［０， ］上，不等式｜ ｜≤５都成立。问 为何值时 最大？求出这个最大的 ，证明你的结论。三、小结
四、作业