含参数的不等式[上学期]
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课件24张PPT。专题一 含参数不等式问题含有参数不等式问题主要有四种类型:
1、解含有参数不等式。
2、已知含有参数不等式成立的条件，求参数的范围。
3、已知含有参数不等式在某个条件下恒成立、能成立、恰成立或部分成立，求 参数的范围。
4、综合问题中的含有参数不等式的问题。一、解含有参数不等式：依据分类讨论的思想、集合的思想、函数的性质。当a＞1时,解集是R；
当a≤时，解集为 ｛x｜x＜a或x＞2-a｝例３、已知 -9≤a≤1解关于x的不等式 ax2-5x+4＜0
【分析及解】是已知参数的范围,解不等式问题.
由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以a为主变量的不等 式由于g(x)是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在x轴的下方,于是, 关于x的不等式 的解等价于 于是,不等式的解为从以上几个例题可以看出,在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究 二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围.有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.【例1】(2004年，上海卷，理19)
记函数f(x)= 的定义域为A, g(x)=lg[(x
－a－1)(2a－x)] (a<1) 的定义域为B.
(Ⅰ) 求A；(Ⅱ) 若B A求实数a的取值范围.
【分析及解】(Ⅰ)f(x) 的定义域满足不等式2- ≥0(Ⅱ) 条件B?A表明,集合B是集合A成立的充分条件,首先要求出集合B.
由（x-a-1)(2a-x)＞0
得 (x-a-1)(x-2a)＜0
∵a＜1∴ a+1＞2a
∴ B=(2a,a+1)∵ B?A
∴2a≥1或a+1≤-1．
即a≥1/2或a≤-2,a＜1
∴1/2≤a＜1或a≤-2．
Ｂ?A时, 实数a的取值范围是（－∞，－２）∪［１／２，１）．例２、设Ａ＝｛x｜1＜x＜3｝，又设Ｂ是关于的不等式组
的解集，若X∈Ａ是X∈Ｂ的充分条件,试确定a,b的取值范围. 【分析及解】本题相当于对所有满足A的x的值,都满足B,为此,设
f(x)=x2-2x+a,g(x)=X2-2bx+5.于是有不等式组解得 a≤-3, b≥3.【例3】(2005年，全国卷Ⅲ,理22)已知函数
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
. (Ⅱ）设a≥1，函数 ,若对于任意x1∈ [0,1],总存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1) 成立，求a的取值范围.【分析及解】（I）对函数求导，
得
令f ’(x)=0解得
当x变化时，f ’(x) .f(x)的变化情况如下表： 所以,当x∈(0,1/2)时,f(x)是减函数;
当x∈(1/2,1)时,f(x)是增函数;
当[0 ,1 ]时,f(x )的值域为[-4,-3 ]（II）对函数g(X)求导，得 g’(x)=3(x2-a2)
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g’(x)＜3(1-a2) ≤0.
因此 当x∈(0,1)时,g(x )为减函数.
从而当x∈[0,1]时,有g(x )∈[g(1 ), g(0 )],解①得 a≥1或 a≤-5/3
解②得 a≤3/2
又 a≥1 故a的取值范围为1≤ a≤3/2.【例4】已知集合 ,
求使
和 同时成立的a,b的值 三. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?
它的操作程序如下：
1.恒成立问题
若不等式f(x)＞A在区间D上恒成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最小值大于A,
若不等式f(x)＜B在区间D上恒成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最大值小于B.2. 能成立问题
若在区间D上存在实数X使不等式f(x)＞A成立,即f(x)＞A在区间D上能成立, 则等价于函数f(x)在区间D上的最大值大于A,
若在区间D上存在实数X使不等式f(x)＜B成立,即f(x)＜B在区间上能成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最小值小于 B.3. 恰成立问题
若不等式f(x)＞A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)＞A的解集为D.
若不等式f(x)＜B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)＜B的解集为D, 【例1】(2005年春考，北京卷，理14)
若关于x的不等式x2-ax-a ＞0的解集为(-∞,＋∞)，则实数a的取值范围是 ；若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ．或者: ?=(-a)2-4(-a)=a2+4a＜0求得结果亦可.设g(x)=3x2-2x .x∈(-1,1).
进而在区间上恒成立等价于 t≥gmax(x) X∈(-1,1)
∵ g(x)=3x2-2x .x∈(-1,1).在(-1,1/3)上是减函数,在(1/3,1) 是增函数∴ gmax(x) =g(-1)=5 .t于是的取值范围是t≥5.【例3】(2005年，湖南卷，理21)
已知函数f(x)=ln(x)， ,a≠0
（Ⅰ）若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；【分析及解】只研究第（I）问.
b=2,h(x)=ln(x)-?ax2+2x, a≠0
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h’(x)<0有解. 由题设可知,h(x)的定义域是(0,+∞) ,
因此,h’(x)＜0有解等价于h’(x)＜0在区间(0,+∞)能成立,即 成立, 进而等价于
成立其中
由 得umax(x)=-1
于是a＞-1.
由题设a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
【例4】(2000年,上海卷)
(Ⅰ)已知 对任意x∈[1,+∞)恒
成立,试求实数a的取值范围;
(Ⅱ)已知 当x∈[1,+∞),f(x)的
值域是[0,+∞),试求实数a的值.【分析及解】 本题的第(Ⅰ)问是一个恒成立问题,
≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,等价于φ(x)=x2+2x+a≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,又等价于x≥1时, φ(x) 的最小值≥0成立.由于φ(x)=(x+1)2+a-1在x∈[1,+∞)上为增函数,则φmin(x) = φ(1)=a+3
所以a+3≥0, a≥-3 .【例5】已知命题P：对实数a，不等式:ax2-5x+4＞0 对所有实数x都成立,命题Q：a满足a2-4a+3≤0，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求实数a的取值范围.4、综合问题中涉及的含有参数不等式的问题例1、（06年大纲试题示例）
已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex,
(x)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设f(x)在[-1，1]上时单调函数，求a的取值范围。例2、已知函数f(x)=xe-x2+ax(a∈R)的定义域为（0，1）。
(1)f(x)是否为单调函数?若是,则说明理由;若不是,求出a的取值范围,使f(x)为单调函数.
(2)若函数y=f(x)的图象在(0,1)上任一点处的斜率为k,且k≥f(x),求实数a的取值范围.再见！????∪∩∪∩
1、解含有参数不等式。
2、已知含有参数不等式成立的条件，求参数的范围。
3、已知含有参数不等式在某个条件下恒成立、能成立、恰成立或部分成立，求 参数的范围。
4、综合问题中的含有参数不等式的问题。一、解含有参数不等式：依据分类讨论的思想、集合的思想、函数的性质。当a＞1时,解集是R；
当a≤时，解集为 ｛x｜x＜a或x＞2-a｝例３、已知 -9≤a≤1解关于x的不等式 ax2-5x+4＜0
【分析及解】是已知参数的范围,解不等式问题.
由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以a为主变量的不等 式由于g(x)是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在x轴的下方,于是, 关于x的不等式 的解等价于 于是,不等式的解为从以上几个例题可以看出,在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究 二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围.有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.【例1】(2004年，上海卷，理19)
记函数f(x)= 的定义域为A, g(x)=lg[(x
－a－1)(2a－x)] (a<1) 的定义域为B.
(Ⅰ) 求A；(Ⅱ) 若B A求实数a的取值范围.
【分析及解】(Ⅰ)f(x) 的定义域满足不等式2- ≥0(Ⅱ) 条件B?A表明,集合B是集合A成立的充分条件,首先要求出集合B.
由（x-a-1)(2a-x)＞0
得 (x-a-1)(x-2a)＜0
∵a＜1∴ a+1＞2a
∴ B=(2a,a+1)∵ B?A
∴2a≥1或a+1≤-1．
即a≥1/2或a≤-2,a＜1
∴1/2≤a＜1或a≤-2．
Ｂ?A时, 实数a的取值范围是（－∞，－２）∪［１／２，１）．例２、设Ａ＝｛x｜1＜x＜3｝，又设Ｂ是关于的不等式组
的解集，若X∈Ａ是X∈Ｂ的充分条件,试确定a,b的取值范围. 【分析及解】本题相当于对所有满足A的x的值,都满足B,为此,设
f(x)=x2-2x+a,g(x)=X2-2bx+5.于是有不等式组解得 a≤-3, b≥3.【例3】(2005年，全国卷Ⅲ,理22)已知函数
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
. (Ⅱ）设a≥1，函数 ,若对于任意x1∈ [0,1],总存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1) 成立，求a的取值范围.【分析及解】（I）对函数求导，
得
令f ’(x)=0解得
当x变化时，f ’(x) .f(x)的变化情况如下表： 所以,当x∈(0,1/2)时,f(x)是减函数;
当x∈(1/2,1)时,f(x)是增函数;
当[0 ,1 ]时,f(x )的值域为[-4,-3 ]（II）对函数g(X)求导，得 g’(x)=3(x2-a2)
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g’(x)＜3(1-a2) ≤0.
因此 当x∈(0,1)时,g(x )为减函数.
从而当x∈[0,1]时,有g(x )∈[g(1 ), g(0 )],解①得 a≥1或 a≤-5/3
解②得 a≤3/2
又 a≥1 故a的取值范围为1≤ a≤3/2.【例4】已知集合 ,
求使
和 同时成立的a,b的值 三. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?
它的操作程序如下：
1.恒成立问题
若不等式f(x)＞A在区间D上恒成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最小值大于A,
若不等式f(x)＜B在区间D上恒成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最大值小于B.2. 能成立问题
若在区间D上存在实数X使不等式f(x)＞A成立,即f(x)＞A在区间D上能成立, 则等价于函数f(x)在区间D上的最大值大于A,
若在区间D上存在实数X使不等式f(x)＜B成立,即f(x)＜B在区间上能成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最小值小于 B.3. 恰成立问题
若不等式f(x)＞A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)＞A的解集为D.
若不等式f(x)＜B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)＜B的解集为D, 【例1】(2005年春考，北京卷，理14)
若关于x的不等式x2-ax-a ＞0的解集为(-∞,＋∞)，则实数a的取值范围是 ；若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ．或者: ?=(-a)2-4(-a)=a2+4a＜0求得结果亦可.设g(x)=3x2-2x .x∈(-1,1).
进而在区间上恒成立等价于 t≥gmax(x) X∈(-1,1)
∵ g(x)=3x2-2x .x∈(-1,1).在(-1,1/3)上是减函数,在(1/3,1) 是增函数∴ gmax(x) =g(-1)=5 .t于是的取值范围是t≥5.【例3】(2005年，湖南卷，理21)
已知函数f(x)=ln(x)， ,a≠0
（Ⅰ）若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；【分析及解】只研究第（I）问.
b=2,h(x)=ln(x)-?ax2+2x, a≠0
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h’(x)<0有解. 由题设可知,h(x)的定义域是(0,+∞) ,
因此,h’(x)＜0有解等价于h’(x)＜0在区间(0,+∞)能成立,即 成立, 进而等价于
成立其中
由 得umax(x)=-1
于是a＞-1.
由题设a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
【例4】(2000年,上海卷)
(Ⅰ)已知 对任意x∈[1,+∞)恒
成立,试求实数a的取值范围;
(Ⅱ)已知 当x∈[1,+∞),f(x)的
值域是[0,+∞),试求实数a的值.【分析及解】 本题的第(Ⅰ)问是一个恒成立问题,
≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,等价于φ(x)=x2+2x+a≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,又等价于x≥1时, φ(x) 的最小值≥0成立.由于φ(x)=(x+1)2+a-1在x∈[1,+∞)上为增函数,则φmin(x) = φ(1)=a+3
所以a+3≥0, a≥-3 .【例5】已知命题P：对实数a，不等式:ax2-5x+4＞0 对所有实数x都成立,命题Q：a满足a2-4a+3≤0，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求实数a的取值范围.4、综合问题中涉及的含有参数不等式的问题例1、（06年大纲试题示例）
已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex,
(x)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设f(x)在[-1，1]上时单调函数，求a的取值范围。例2、已知函数f(x)=xe-x2+ax(a∈R)的定义域为（0，1）。
(1)f(x)是否为单调函数?若是,则说明理由;若不是,求出a的取值范围,使f(x)为单调函数.
(2)若函数y=f(x)的图象在(0,1)上任一点处的斜率为k,且k≥f(x),求实数a的取值范围.再见！????∪∩∪∩