2014年中考总复习第一轮教学案：第九讲：全等与相似

2014年中考总复习第一轮： 第九讲：全等与相似
一．知识点精析：
1.全等三角形：⑴定义；⑵全等三角形的性质：①②③④⑤；⑶全等三角形的判定：、、、；⑷的判定：、、、、；
2.比例：⑴定义；⑵比例中项，黄金分割，第四比例项；⑶比例的基本性质；⑷重要性质：合分比性质、等比性质。
3.相似三角形：⑴平行线分线段成比例定理；⑵定义；⑶相似三角形的性质：①②③④⑤；⑷相似三角形的判定：①②③；⑸相似的两个基本图形：形图、形图。
4.射影定理：在中，，，则①；
②；③；
二．本知识点在中考中的位置作用：全等与相似在中考中起着极为重要的工具作用，利用相似（或全等）是我们首先想到的处理方法。
三．中考中常见的辅助线作法：⑴中点问题：①倍延中线；②中位线；③直角三角形斜边中线等于斜边一半；⑵二倍角问题；⑶一条线段等于两条线段之和：截长补短；⑷等腰三角形：三线合一；⑸垂直平分线；⑹角平分线；⑺直角三角形：斜边中线等于斜边一半；⑻等腰三角形、角平分线、平行线；⑼关于折叠问题；⑽关于“小河”问题。
四．典型题强化
1. 如图，在ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足
的关系式是（ ）A、 B、 C、 D、
2. 如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，
且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分
别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．
3.如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作
(
（第
4
题）
A
B
C
F
E
P
H
)∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　）
4. 如图，在等腰中，是底边上的高线，点
是线段上不与端点重合的任意一点，连接交于点，连接交
于点．（1）证明：；（2）证明：；
（3）以线段和为边构成一个新的三角形（点与点重合于点），记和的面积分别为和，如果存在点，能使得，求的取值范围．
5. 如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板
如图放置，则矩形ABCD的周长为 _．
6. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，
且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．
(
D
C
B
E
A
H
)7. 在直角梯形中，，为
边上一点，，且．连接交对角线于，
(
A
D
C
E
B
（第
8
题）
)连接．下列结论：①；②为等边三角形；
③； ④．其中结论正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④
8. 如图，等腰△ABC中，底边，，的平分线交AC
于D，的平=线交BD于E，设，则（　　）
A． B． C． D．
9. 如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，
AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P
点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是________cm.
(
A
1
B
1
C
1
C
A
B
a
b
c
c
1
b
1
a
1
第
10
题图
)10. 如图，已知，相似比为k（k>1），且的三边长分别为a、b、c（a>b>c），的三边长分别为、、.
（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件
的一对和，使得a、b、c和、、都是
正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在和使得k=2？请说明理由.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是梯形，，点的坐标为，点的坐标为，．（1）求点的坐标；
（2）点从点出发，沿线段以个单位/秒的速度向终点匀速运动，过点作，垂足为，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；
(
（第
11
题图）
（
第
11
题备用
图）
)（3）在（2）的条件下，过点作交线段于点，过点作，垂足为，线段分别交直线于点，点为线段的中点，连接．当为何值时，？
12. 在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8。过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN．当点T在直线上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为_________ (计算结果不取近似值)．
13.如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；
④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B 2个 C 3个 D4个
14.如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，
且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；
②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（　　）个．
A 1 B 2 C 3 D 4
15. 如图，直角三角形中，，， ，
在线段上取一点，作交于点.现将沿
折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若∽，则=__________.
16.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均
落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于　　；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中
所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺
画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．
17. 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求EB/EF的值（用含m、n的代数式表示）。
18. 已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6．(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点M，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长； (2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与全等(画出一个即可，不需证明)；②试直接写出所给的网格中与相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．
19. 已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E。∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=　　，CB=　　．
20.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF。（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
21.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y。（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．
22.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），
B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上
的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作四边形CDEF．
（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）当m=3时，是否存在点D，使四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得四边形CDEF为矩形，
请求出所有满足条件的m的值．