十字相乘法因式分解
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课 题：十字相乘法分解因式（一）
教学目标：1.使学生掌握形如 型的二次三项式的因式分解。
2.进一步培养学生的数学转化思想及对代数式恒等变形能力。
教学重点： 形如 型的多项式的因式分解
教学难点： 利用十字相乘法灵活地分解形如 型的二次三项式
导 学 过 程
一、探索x2＋(a＋b)x＋ab型多项式因式分解
（一）复习引入:
计算下列各式
；
；
由上面各式得到：
等式特点： (1) 等式左边是一个关于x的二次项系数为1的二次三项式.
(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.
(3) 等式右边为两个关于x的一次因式的乘积.
（二）例题选讲
例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。
解：
x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)
像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。
练习： 分解因式
归纳：（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；
（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
（3）注意：二次三项式中如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正；一定要分解到每个因式都不能再分解为止，等等
二、可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。
我们已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式：
例2．把下列两式分解因式。
⑴ x2＋6xy＋8y2；
⑵(a+b) 2－3(a+b)+2；
分析：⑴把x2＋6xy＋8y2看成是x的二次三项式，这里常数项是8y2，
一次项系数是6y， 把8y2分解成2y与4y的积，2y＋4y＝6y，
正好等于一次项系数。
⑴解：
x2＋6xy＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)
⑵题中设“(a+b)”为 “x”;这道题可化归为例１进行分解。
解：(a+b) 2－3(a+b)+2
=(a+b-1) (a+b-2)
课堂训练 分解因式
课 题：十字相乘法分解因式（二）
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
一、探索新知：
计算：
反过来
二、例题选讲
例1：把 6x2－7x－5分解因式。
6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)
必须注意：分解因数及十字相乘法都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。
练习： 分解因式
小结：
1. 因式分解的结果应注意如下几点：
⑴数字写在字母前； ⑵因式之间的乘号省略不写； ⑶相同因式应写成幂的形式； ⑷每个因式中，能合并的同类项要合并. （5）各因式分解到不能分解为止
2. 利用十字相乘法分解因式，应经历大量实践，不断积累经验。
三．因式分解的应用
1.求值题
例：⑴已知x2＋2x=3，求代数式x2＋6x的值；
⑵已知（x2＋y2 ）（x2＋y2 -1）- 6=0，求代数式x2＋y2的值；
疑难问题问答
1、提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？
答：不是，（反例：x2 +３x－2）。
2、提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？
请同学总结：（板书）x2＋px＋q
当q＝ab，p ＝a＋b时，
x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b)
3、提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？
答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。（根据情况，可选择数学符号语言表述）
4．计算：（口答）
⑴ ；
⑵ (x＋1) 2 －２(x－1) (x＋1)＋(x－1) 2；
体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。
例3：把(x2-3x＋2) (x2-3x-4)－72分解因式；
解法1：设“(x2-3x＋2)”为 “y”,
解法2：设“(x2-3x-4)”为 “y”,
解法3：“(x2-3x)”为 “y”。
请同学们自己解答：
变式：⑴(x-1 )(x+1) (x－2) (x－4)-72；
⑵(x2-5x＋4) (x2-x-2)－72
x －１
x －２
教学目标：1.使学生掌握形如 型的二次三项式的因式分解。
2.进一步培养学生的数学转化思想及对代数式恒等变形能力。
教学重点： 形如 型的多项式的因式分解
教学难点： 利用十字相乘法灵活地分解形如 型的二次三项式
导 学 过 程
一、探索x2＋(a＋b)x＋ab型多项式因式分解
（一）复习引入:
计算下列各式
；
；
由上面各式得到：
等式特点： (1) 等式左边是一个关于x的二次项系数为1的二次三项式.
(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.
(3) 等式右边为两个关于x的一次因式的乘积.
（二）例题选讲
例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。
解：
x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)
像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。
练习： 分解因式
归纳：（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；
（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
（3）注意：二次三项式中如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正；一定要分解到每个因式都不能再分解为止，等等
二、可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。
我们已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式：
例2．把下列两式分解因式。
⑴ x2＋6xy＋8y2；
⑵(a+b) 2－3(a+b)+2；
分析：⑴把x2＋6xy＋8y2看成是x的二次三项式，这里常数项是8y2，
一次项系数是6y， 把8y2分解成2y与4y的积，2y＋4y＝6y，
正好等于一次项系数。
⑴解：
x2＋6xy＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)
⑵题中设“(a+b)”为 “x”;这道题可化归为例１进行分解。
解：(a+b) 2－3(a+b)+2
=(a+b-1) (a+b-2)
课堂训练 分解因式
课 题：十字相乘法分解因式（二）
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
一、探索新知：
计算：
反过来
二、例题选讲
例1：把 6x2－7x－5分解因式。
6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)
必须注意：分解因数及十字相乘法都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。
练习： 分解因式
小结：
1. 因式分解的结果应注意如下几点：
⑴数字写在字母前； ⑵因式之间的乘号省略不写； ⑶相同因式应写成幂的形式； ⑷每个因式中，能合并的同类项要合并. （5）各因式分解到不能分解为止
2. 利用十字相乘法分解因式，应经历大量实践，不断积累经验。
三．因式分解的应用
1.求值题
例：⑴已知x2＋2x=3，求代数式x2＋6x的值；
⑵已知（x2＋y2 ）（x2＋y2 -1）- 6=0，求代数式x2＋y2的值；
疑难问题问答
1、提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？
答：不是，（反例：x2 +３x－2）。
2、提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？
请同学总结：（板书）x2＋px＋q
当q＝ab，p ＝a＋b时，
x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b)
3、提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？
答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。（根据情况，可选择数学符号语言表述）
4．计算：（口答）
⑴ ；
⑵ (x＋1) 2 －２(x－1) (x＋1)＋(x－1) 2；
体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。
例3：把(x2-3x＋2) (x2-3x-4)－72分解因式；
解法1：设“(x2-3x＋2)”为 “y”,
解法2：设“(x2-3x-4)”为 “y”,
解法3：“(x2-3x)”为 “y”。
请同学们自己解答：
变式：⑴(x-1 )(x+1) (x－2) (x－4)-72；
⑵(x2-5x＋4) (x2-x-2)－72
x －１
x －２