课件16张PPT。第六章 不等式不等式的性质(1)1、掌握实数的运算性质与大小顺序间关系； 2、掌握求差法比较两实数或代数式大小； 3、通过教学渗透等价转化思想、数形结合思想。学 习 目 标复习回顾 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 在图中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b． ab若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确．类似地，若a＜b，则a－b是负数；若a=b，则a－b=0．它们的逆命题都正确．这就是说： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容． 求差比较法 比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则． 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． 接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法． 例１：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小。解： (a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0∴ (a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4) 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 例２：已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1大小。解： (x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝ x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2由x≠0，得x2＞0，从而有 (x2＋1)2＞x4＋x2＋1思考：此例中若没有x≠0这个条件，其结果如何？ 分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被忽略． 例３:比较x2+12与6x的大小.解: ∵x2 + 12 – 6x
=x2-6x+9-9+12
=(x-3)2+3>0
∴ x2+12> 6x作差比较法的基本步骤 1.作差
2.变形:
变形是关键：
1°变形常用手段:配方法，因式分解法
2°变形常见形式是：变形为常数；一个 常数与几个平方和；几个因式的积
3.(与0比较大小)定号．
（应有讨论过程）课堂练习 2.比较x2+10与3x的大小课 堂 小 结1、不等式的基本性质：2、作差比较法的基本步骤：作差－变形－定号－判断预 习 提 纲1.理解掌握不等式的基本性质及证明.
2.会运用不等式的基本性质进行简单不等式的证明及相关问题.
3.初步掌握反证法的基本思想.再 见课件24张PPT。不等式的性质(2)学习目标：1、掌握不等式性质定理及推论，熟悉反证法证明不等式。
2、进一步巩固不等式性质定理，并能应用性质解决一些问题。不等式性质定理1:(对称性)证明:由正数的相反数是负数,得(充分性)不等式性质定理1:(对称性)证明:(必要性)不等式性质定理2:(传递性)证明:根据两个正数的和仍是正数,得推论:不等式性质定理3:（加法单调性） 证明:由性质定理3可以直接推得:不等式有可加性,可移项性.推论1:证明:推论2:证明:相加法则相减法则同向可加性异向可减性不等式性质定理4:证明:同号得正异号得负a1> b1 >0, a2 > b2 > 0…..an > bn.> 0 a1 a2……an > b1b2……..bn a1= a2=….=an > 0 , b1 = b2= ……= bn> 0推论1:推论2:推论1:推论2:推论3:不等式性质定理5:证明:不等式的基本性质对称性—a>b传递性—a>b，b>c可加性—a>b移项法则—a+c>b加法法则—a>b，c>d可乘性—a>b,乘法法则—a>b>0，c>d>0乘方法则—a>b>0开方法则—a>b>0(n?R+)(n?N *
且n>1）总 结（假）（假）（真）（真）例1：证明一:证明二:例1：证明:解: 练习１：选择( 1 )下列各式中正确的有: A 若 a
b, B 若 |a|>b则 a>b
C 若a>|b|,则 a>b, D若 a>b ,则a2>b2[ ]C( 2 ) 若a>0>b,db/c; C. a+c>b+d:D.a-d>b-cB( 3 ) 若 a>b>c ,则下列各式中正确的有 [ ]
A .a|c|>b|c|;B ab>ac;C .|ab|>|bc|D .a(b-c)>b(b-c)D小 结预习提纲： １、什么是算术平均数和几何平均数？
２、算术平均数和几何平均数有怎样的大小关系？如何加以证明？
３、会运用均值不等式证明不等式和求最值问题。
再 见课件16张PPT。算术平均数与几何平均数(1)问 题1、掌握两个定理的条件及含义； 2、掌握均值不等式成立的条件； 3、通过教学渗透等价转化思想、数形结合思想。学 习 目 标证明:综合(1),(2),得注意:证明:平均不等式 两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 注意:已知 都是正数，
求证： . 证明：公式的应用:加权平均；算术平均；
几何平均；调和平均的关系证
明小结:均值不等式及其变形再 见!课件27张PPT。算术平均数与几何平均数(2)1、掌握两个定理的条件及含义； 2、掌握均值不等式成立的条件； 4、通过教学渗透等价转化思想、数形结合思想。学 习 目 标3、掌握均值不等式求最值的方法。极值定理:证明:极值定理可以理解为:用极值定理求最值的三个必要条件 :一“正”、二“定”、三“相等”解：=2∵∴当且仅当 x=1时，取得等号。∴≤ -= -2综上所述,y∈（-∞,-2]∪[2,+∞).当且仅当x=-1时，取得等号。例1:分析：∵x>2, ∴x-2>0练习:解:例3:120元/平方米x解:课 堂 练 习24推论:练习:解:构造三个数相 加等于定值.练习:解:构造三个数相 加等于定值.例4：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？ 解：已知量： 边长为60 cm的正方形铁皮。
需设量： 四角截去的小正方形的边长为：x cm
最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高60cm60cmxcm60-2xx60-2xxcm60-2x60-2x所求几何体的体积V=（ 60-2x ）·（ 60-2x ） · x目标函数：
V=(60-2x)·(60-2x)·x≤3=2·(20)3 =16000 (cm)3当且仅当30-x=2x即x=10时，Vmax =16000(cm) 3
答：截去小正形的边长为10cm时，水箱容积最大，最大容积为16000(cm)3 =2·(30-x)· (30-x) · 2x例5:一块长方形的铁皮长为80厘米，宽为50厘米，从四角处截掉四个同样大小的正方形，然后做成一个无盖的小箱，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大。80cm50cm 解：已知量： 长为80 cm，宽为50cm
需设量： 截去小正方形的边长为：x cm
最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高xcmxcm80-2x50-2x此题若按例1的解法来解
当且仅当 80-2x = 50-2x这样的x不存在！！目标函数： V= (80-2x) ·(50-2x) · x解法一: V = (80-2x) (50-2x) x
= 2 (40-x) (50-2x) ·x =18000(cm) 3当且仅当40-x=50-2x=3x即小正方形边长x=10时，Vmax=18000 (cm) 3解法二：V=4(40-x) ·(25-x) ·x
= (40a - ax) ·(25b - bx) ·x · (4/ab) 解得a=1/3，b=2/3，x=10V=18 (40/3-x/3) ·(50/3-2x/3) ·x
≤18·[(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/3] 3
=18000
当且仅当40/3 - x/3=50/3 - 2x/3 = x
即x=10时 V max =18000(cm) 3 若满足练习:将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角
（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，
要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？
最大容积是多少？解:则其容积为 :C2181.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 均值不等式及其变形再 见!课件18张PPT。不等式的证明比较法1、掌握不等式证明的方法—比较法； 2、掌握做差、与做商比较要注意的事项；3、通过教学渗透等价转化思想。学 习 目 标一、复习： （不等式的性质）1.2.比较法（一）比差法： 方法与步骤：作差——变形——定号。其中的“其中变形”
可以变成平方和，也可以变成若干因式的
积或常数。（二）比商法： 方法与步骤：作商——变形——与1比较。其中有关指数
式的不等式通常用比商法。
证明:作差变形判别符号证明:作差变形判别符号例3:证明:作差变形判别符号证明:作差变形判别符号例4:甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,
甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度
n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程
以速度n行走，如果m ? n，问:甲乙两人谁先到
达指定地点？解:作差比较法的一般步骤：作差变形判别符号关键：变形变形方法：主要是配方和因式分解证明:作商变形与1比较大小
判别符号与1比较大小
判别符号作商变形练习:作商比较法的一般步骤：作商变形判别符号关键：变形注意：作商时分母的符号小 结 预 习 提 纲1.理解掌握不等式的基本证明方法—综合法、分析法；
2.会运用不等式的基本性质进行简单不等式的证明.课件18张PPT。不等式的证明综合法 重点：综合法证明不等式的原理和思维特点
难点：综合法证明不等式的方法操作1. 理解用综合法证明不等式的原理和思维特点.
2. 掌握由学过的基本不等式来证明新的简单的不等式.
3. 培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及论证能力 ⒈ 比较法证明不等式的依据：复习变形判断符号
判断商与1
的大小作差
作商⒉ 比较法证明不等式的步骤：作差法作商法(a，b∈R＋) 利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．(由因导果)综合法的定义：证明：∵ b2＋c2 ≥2bc，a＞0∴ a(b2＋c2)≥2abc. ①同理b(c2＋a2)≥2abc. ②c(a2＋b2)≥2abc. ③∵ a，b，c是不全相等的正数，∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，a2＋b2≥2ab
三式不能全取“＝”号∴ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc 从而①、②、③三式不能全取“＝”号。综合法证题方法：
由已知推出结论，证明思路是“由因导果”．这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
寻找启动不等式是综合法的难点，常用启动不等式有：例2:已知a，b，c为正数， 证明：∵a2b2＋b2c2≥2ab2c ①b2c2＋c2a2≥2bc2a ②a2b2＋c2a2≥2ca2b ③∴由①＋②＋③得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2abc(a＋b＋c)∴ a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)求证：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)练习证明:练习证明:例3.已知a,b,c ，且abc=1,
求证：
证明1:证明2:练习证明一:证明二:练习证明:证明:课堂小结1. 综合法证题方法：由已知推结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质. 2.用综合法证题过程中要适当将原不等式变形，使其转化为易证的不等式. 3.运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注意他们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误. 预 习 提 纲1.理解掌握用不等式的基本性质证明不等式.
2.会运用不等式的基本性质进行简单不等式的证明及相关问题.
3.初步掌握反证法的基本思想.数学使人聪颖 数学使人严谨??
数学使人深刻???数学使人缜密???
数学使人坚毅???数学使人勇敢???
数学使人智慧???数学使人美丽 课件15张PPT。不等式的证明分析法1、掌握分析法的思想方法； 2、掌握分析法与综合法的关系； 3、通过教学渗透等价转化思想。学 习 目 标即证 14＜18∵14＜18 思考：一、分析法：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。注意： （1）分析法证明问题的特点：执果索因.（2）证明某些不等式用综合法有时比较困难，通常用分析法. （3）在证明不等式时，分析法占有重要位置，有时我们用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明的过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.二 、 用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，
只需证命题B2为真，
……
只需证命题Bn为真，
只需证命题A为真，
令已知命题A为真，
故命题B为真。证明：∵ a＞b ＞0例2：若a、b、c是不全相等得正数∵a、b、c是正数∵a、b、c不全相等证明:例3:证明:当周长相等时,圆的面积比正
方形的面积大.证
明证明:练习:证明:练习:证明:小 结1.这节课我们学习了证明不等式的方法分析法。对于分析法要求同学们记忆重要的基本不等式并能够熟练运用不等式的性质。
2.要注意分析法是“由果索因”。
3.证明某些不等式用综合法有时比较困难，通常用分析法.在证明不等式时，分析法占有重要位置，有时我们用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明的过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.
预 习 提 纲1.理解掌握不等式的基本性质及证明.
2.会运用不等式的基本性质进行简单不等式的证明及相关问题.
3.初步掌握反证法的基本思想.课件20张PPT。不等式的证明比较法、分析法、综合法【例1】已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2即a3+b3≥a2b+ab2.证明一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴( a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而( a-b)2≥0.=( a-b)2(a+b).=(a-b)( a2-b2)故a3+b3≥a2b+ab2.证明二：比较法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，所以有a3+b3≥a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b3≥a2b+ab2，只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a>0，b>0，所以a+b>0，故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。即证明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab 显然是成立的即a3+b3≥a2b+ab2.证明四：综合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).【例2】已知a>0，b>0，求证：证明一：比较法（作差）证明二：比较法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0. 证明三:综合法a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, ≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).证明一：(比较法)∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).=2abcd- a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc)2≤0.证明二：(分析法)证明三：(综合法)一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)【例4】设-1 .证明一:比较法(作差)∵-10，1-a2>0,1-b2>0,1-ab>0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0, 证明二:分析法证明三:综合法∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab.从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2, 1-ab>0.思考 ≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+…)【例5】设a>0,b>0,且a+b=1,求证：证明一:(分析法)(4a+1)(4b+1) ≤916ab+4a+4b+1≤9 证明二:(综合法) 因为a>0,b>0,且a+b=1,所以
从而 +
≤ 【例6】已知m>0,求证:m+ ≥3.证明一:(比较法) ∵m+ -3=∴ m+≥3证明二:(综合法)m+ = =3小 结1.这节课我们学习了证明不等式的三种方法即比较法、综合法、分析法，其中比较法有比差法和比商法。对于综合法和分析法要求同学们记忆重要的基本不等式并能够熟练运用不等式的性质。
2.要注意综合法是“由因导果”、分析法是“由果索因”。
3.证明某些不等式用综合法有时比较困难，通常用分析法.在证明不等式时，分析法占有重要位置，有时我们用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明的过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.
数学使人聪颖 数学使人严谨??
数学使人深刻???数学使人缜密???
数学使人坚毅???数学使人勇敢???
数学使人智慧???数学使人美丽 课件10张PPT。不等式的证明
其它方法例1:已知：求证：证明：练习证明一(综合法)证明二(换元法)练
习证明一证明二练习证明∴原式成立练习证明放缩法练习证明:这与(1)式矛盾,所以原式成立. 反证法练习证明:构造法例：已知x,y,z?R，A,B,C为一个三角形的三内角，试证明：x2+y2+z2?2yzcosA+2xzcosB+2xycosC.证:令f(x)=x2+y2+z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC
=x2 ?2(zcosB+ycosC)x+y2+z2?2yzcosA
∵ f(x)的判别式??0
∴ f(x)?0恒成立.
即原不等式成立.判别式法作差、变形、
判断、结论分解、
通分、
配方、
展开.证明不等式(含比较大小)的常用方法利用函数的单调性综
合
法分析法函数性质法课件12张PPT。不等式的证明函数法 根据所给不等式的特征，利用函数的性质
及函数图象来证明不等式成立的方法，称
之为函数法。
教学目标重点掌握函数 的单调性,三角
函数的有界性等.
通过数形结合,培养学生思维能力,提高逻辑能正确证明有关不等式.推理能力.例1：求函数 的最小值。分析：请思考下面解法对否？∴函数的最小值是2。上面的解 法是错误的‘此时“=”不能达到，因为当故取等号时的 x 值不存在。
思考1、函数 在 0＜x≤1, x＞1时的单调性。设 01、当x∈R+ 时,下列函数中最小值是2的为 (A)y=x2－2x+4 (B) (C)(D) （ ） D2、设，求 的最小值。解：设 t=sinx 则 （0 ymin=33、若 a>b>1, 则4、若x2+y2=1, 可设x= y= , ≤x+y≤5、 求证：证明：设=－2x+3 (x≤1)
1 (12x－3 (x>2) >【能力训练】6、设 x2+y2=1, 求(1+xy)(1－xy) 的最大值,最小值.7、设 x2+xy+y2=3, 求证：2≤x2+y2≤6设： x=cosA, y=sinA ∴(1+xy)(1－xy)=(1+cosAsinA)(1－cosAsinA)=1－sin2Acos2A证明：设 x=rcosB y=rsinB∴r2=x2+y2∵x2+xy+y2=r(cos2B+sin2B+sinBcosB)∴2≤r2≤6课堂总结1、用函数可求两个正数的最小值。但必须判断 自变量所在的区间的增减性。2、对于有x+y=1,x2+y2=r2,a≤x2+y2≤b, 条件的不等式的
证明可设x=cos2A y=sin2A ，x=rcosB y=rsinB等。3、通过函数图象，可直接求证含绝对值及难以推理
的不等式。思考：求证：证明：设 则（1－y)x2+x+1－y=0当 y=1 时， x=0 ①当 y≠1时，∵x∈R ∴△=1－4（1－y) 2 ≥0
4y2－8y+3≤0 ②
由①②得点评：⑴求证分式不等式，若分子分母的变量指数 最高
为二次时，宜用二次函数“△”法。 ⑵当 x2项系数不定时
必须讨论系数是0与不是0两种情况。
课件22张PPT。不等式?????????????????????? ? 不等式的定义┓
?????????????????????????????????????????????????? ┣????? 不等式的概念
?????????????????? 实数大小的比较┛ ??????????????? ┃???????? ┏ 不等式的性质
????????????????? ????????????????????????????????????????? ?? 不等式的性质? ┫
????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? ┃??????????? ┗含绝对值的不等式的性质
????????????????????????????????? ??????????????????? ┃??? ??????????
? ? 常用的重要不等式 ┓?????? ┏━━━━━━━━━┓??? ┏ 不等式的同解原理
??????????????????????????????????????? ┣? 不等式的证明?????? 不等式的解法? ┫
?? 证明不等式的方法 ┛?????? ┗━━━━━━━━━┛?????? ┗ 不等式的解法
????????????????????????????????????????????????????? ? ┃
????????????????????????????????????????????? ? 不等式的应用
不等式的同解原理 使不等式成立的未知数的值的集合叫做不等式的解集。
不等式组中，各个不等式的解集的交集叫做不等式组的解集。
如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。
一个不等式（组）变形为另一个不等式（组）时，如果这两个不等式（组）是 同解不等式（组），那么这种变形就叫做不等式（组）的同解变形。
不等式的同解原理：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式式同解不等式;
(2)不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与远不登时式同解不等式；
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式式同解不等式。
返回不等式的解法 各种类型的不等式，解法各不相同，但代数解法的思路基本相同。都是根据有关的定义、性质或定理，把不等式同解变形为一元一次或一元二次不等式（组）后再求解。
一元一次不等式的解法
一元二次不等式的解法
简单的高次不等式的解法
分式不等式的解法
无理不等式的解法
指数不等式、对数不等式的解法
含绝对值的不等式的解法
返回 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b和ax 返回
一元二次不等式的解法 设一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根为x1 x2，（x1 < x2 ），判别 ＝b2－4ac，a>0时，一元二次不等式的解集是：
返回 简单的高次不等式的解法 设一元高次不等式为f（x）>0 (或f（x）<0),如果f（x）在实数范围内能分解成若干个一次因式或不可分的二次因式的积的形式，则采用列表法或数轴表根法（也叫零点分区间法）求解较简便。
用数轴表根法解高次不等式时，应注意以下几点：
（1）必须将f（x）的最高次项的系数化为正数。
（2） 出现重根时，偶次重根切不可标在数轴上，但要检验是否为不等 式的解，奇次重根作单根处理。
（3） 在解含“≤”或“≥”号的不等式时，要注意使等号成立的条件。
返回分式不等式的解法 解分式不等式一般步骤是：
（1）将分式不等式转化为[f（x）/g(x)]>0或[f（x）/g(x)]<0的标准形式。
（2）把标准形式转化为与它同解的整式不等式（组）。
同解原理是：
[f（x）/g(x)]>0（或<0）?f(x) ﹡g(x)>0（或<0)
g(x) ≠0
[f（x）/g(x)] ≥0(或≤0)?
f(x) ﹡g(x) ≥ 0 (或≤0)
（3）解整式不等式（组）
返回
无理不等式的解法 解无理不等式常用两种方法：
（1）把无理不等式转化为与它同解的有理不等式组求解。
同解原理是
f (x) ≥0
√f (x)>√g (x) ? g (x) ≥0
f (x)>g (x)
f (x) ≥0 f (x) ≥0
√f (x)>g (x) ? g (x) ≥0 或 g (x) < 0
f (x)>[g(x)]2
f (x) ≥0
√f (x) f (x)<[g (x)]2
（2）图象法
返回指数不等式、对数不等式的解法 解指数不等式与对数不等式的一般步骤是：
（1）把不等式中不同底的幂或对数，化成同底数底幂或同底数底对数。
（ 2）根据指数函数和对数函数底单调性，把指数不等式或对数不等式化 为与它同解底代数不等式（组）
指数不等式底同解原理是：
当0a g(x)?f (x) a>1时， a f (x)>a g(x) ?f (x)>g (x)
对数不等式底同解原理是：
f (x)>0
当0㏒ag (x)? g (x)>0
f (x) f (x)>0
a>1时 ㏒af (x)>㏒ag (x)? g (x)>0
f (x)>g (x)
返回 下一页 (3) 解代数不等式（组）
解较复杂底指数不等式与对数不等式，经常用换元法，有时也可用图象法，解指数不等式，有时用取对数法。
上一页
含绝对值的不等式的解法 把含绝对值的不等式转化为与它同解的不含绝对值的不等式（组），有三种方法：
（1）平方法，同解原理：
︱f (x)︱ >︱g (x)︱ ? [f (x)]2 >[g (x)]2
（2）根据绝对值的定义，推广得到的同解原理：
︱f (x)︱ > g (x) ? f (x)< - g (x) 或 f (x)> g (x)
︱f (x)︱ < g (x) ? - g (x)< f (x)（3）分段讨论法：
解含绝对值的不等式，也可以用图象法
返回常用的重要不等式 （1）若a∈R，则a2≥0，当且仅当a=0时等号成立
（2）若a，b∈R，则a2 ＋ b2 ≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
（3）若a，b ∈R＋，则（a＋b）/2≥√ab ，当且仅当a＝b时等号成立
（4）若a，b，c∈ R＋， 则a2 ＋ b2 ＋ c2 ≥3abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立
（5）若a，b，c∈ R＋ ，则（a＋b＋c）/3≥3√abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立
推论：n个（ n∈Z，n>1）正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的 几何平均数
即 （a1+a2+…an ）/n≥n √ a1a2…an
当且仅当a1 ＝ a2 ＝ …＝ an 时等号成立
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证明不等式的方法
????????????????????????????????????????????????????? ┏求差比较法
┏ 比较法 ┃
┃ ┗ 求商比较法
?证明不等式的主要方法??╋ 综合法
┃
┗ 分析法???
证明不等式还有数学归纳法、反证法等，适用于一些特殊的不等式的证明。 例如，证明关于自然数命题的不等式，就可以试用数学归纳法。
放缩代换使证明不等式的重要技巧。
证明不等式时，应根据具体问题的特点，选择适当的证明方法，有时也可以综合运用这些方法证明同一个题。
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注：求商比较法 把不等式的问题，转化为判断这个不等式左、右两边的商比1大或比1小的问题，这种证明的方法通常叫做求商比较法。
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求差比较法 把不等式的问题，转化为判断这个不等式左、右两边差比0大或比0小的问题，这种证明的方法通常叫做求差比较法。
返回含绝对值不等式的性质(1)
当a>0时，
︱x︱> a2 ?x2 > a ? x < -a 或 x > a
-a 0 a x
︱x︱> a2 ?x2 < a ?-a < x < a
- a 0 a x
(2)
︱a︱－︱b︱≤ ︱a±b︱≤ ︱a︱+ ︱b︱
推论： ︱a1+a2+…an ︱ ≤ ︱a1︱＋ ︱a2︱ ＋………＋︱an ︱（n∈Z）
返回不等式的应用 不等式在数学中有十分广泛的应用，高中数学中，主要应用再一下三个方面：
（1）方程实根的讨论
解含字母系数的方程，讨论含参数的代数方程、指数方程和对数方程的实根的个数或性质，研究方程的根的分布情况等，往往归结为不等式（组）的求解问题。
(2 )研究函数的性质
求函数的定义域、值域、判断函数的单调性等问题，一般都转化为解不等式（组）或证明不等式的问题来解决。
(3 )用平均值定理来求函数的最大值或最小值
由平均值定理，可以得到两个重要的结论：
a 如果两个（或三个）正变数的和为常数，则当且仅当这两个（或三个）正数相等时，他们的积取最大值;
b 如果两个（或三个）正变数的积为常数，则当且仅当这两个（或三个）正数相等时，它们的和取最小值。
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不等式的定义 用不等号连接两个解析式，得到的式子叫做不等式。在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边（或每一个的左边都小于右边），那么这两个不等式就是同向不等式。
在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式就是异向不等式。
??????????????????????????????????????????????????????????? ?? 返回实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b
如果a－b是负数，那么a如果a－b等于零，那么a＝b。反过来也对
即：
a－b>0?a>b
a－b<0?a a－b=0?a=b
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不等式的性质定理1（对称性）a > b?b < a
定理2（传递性）a > b,b > c => a > c
定理3 a>b => a+c > b+c
推论a > b,c > d => a+c > b+d
定理4 a>b,c>0 => ac> bc
a>b,c<0 =>ac 推论1 a>b>0,c>d>0=>ac>bd
推论2 a>b>0 =>an > b n（n∈Z,且n>1)
定理5 a>b>0 => n√a > n√b（n∈Z,且n>1)
由不等式的以上性质，可以推出不等式的其他许多性质。
其中最常用的是：
a>b， ab>0 =>1/a<1/b
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综合法 利用题设和某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推倒出所要求证的不等式，这种证明的方法通常叫做综合法。
返回分析法 从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判断原不等式成立，这种证明的方法通常叫做分析法。
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课件38张PPT。第二讲 不等式
“不等式”就其内容而言在高中数学中和高等数学中都占据着重要位置，因此它自然成为高考试题的一个热点。这一专题主要从“不等式”的知识要点出发，结合近几年上海及全国高考试题所涉及的该部分的基础知识、基本技能和一般数学能力等进行分析阐述，并就同学们在迎考复习过程中对该知识的系统掌握、梳理等给予一些指导性的建议。、知识要点实数的性质不等式的性质
均值不等式不等式的证明 比较法 综合法 分析法 反证法函数定义域值域、单调性、最值问题、方程根的分布、取值范围问题、应用题不等式的解法不等式的应用三 个 问 题不等式的性质与证明
不等式的解法
不等式的应用
二、试题精选与分析1. 不等式的性质与证明1）复习目标 理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性及必要性，在解决不等式的相关问题中，合理正确地加以应用；掌握用比较法证明不等式与数或式的大小判定；理解均值不等式的基本应用，解决有关简单的最值问题；学会利用综合法、分析法、反证法证明一些简单的不等式。2）试题分析[例题1]（1999年上海卷）（A）（B）（C）（D） （ ）2）试题分析[例题1]（1999年上海卷）（A）（B）（C）（D）分析：本题考查了不等式的性质，可以利用其性质进行判定；
又由于此题属选择题型，故可借助特征值验证，根据条件令（ ）[例题2]（1999年全国卷）（A）（B）（C）（D）
（ ）[例题2]（1999年全国卷）（A）（B）（C）（D）分析：本题考查了均值不等式的性质，可以利用其性质进行判
定；又由于此题属选择题型，故可借助特征值验证，根据条件令（ ）2.不等式的解法 掌握较基础的解不等式方法，会利用函数的单调性将超越不等式等价转化为代数不等式；理解与把握好将复杂不等式转化为简单不等式过程中的同解原则。1）复习目标2）试题分析[例题3]（2000年上海卷） 分析：本题探求函数成立的条件——即定义域，在求定义域时往往要根据函数的特征建立不等式（组），通过解不等式求出自变量的取值范围，同时，要注意建立不等式（组）时，条件的充要性。。又如：。[例题4]（2004年全国卷）（ D ） （D）（A）（B）（C）[例题5]（2001年全国卷）（A）（B）（C）（D） （ ）[例题5]（2001年全国卷）（A）（B）（C）（D）分析：本题探索对数函数值的取值问题，
要结合函数的图象及底数的取值建立不等式,（ ）[例题5]（2001年全国卷）（A）（B）（C）（D）分析：本题探索对数函数值的取值问题，
要结合函数的图象及底数的取值建立不等式,（ ）[例题5]（2001年全国卷）（A）（B）（C）（D）分析：本题探索对数函数值的取值问题，
要结合函数的图象及底数的取值建立不等式,（ ） 不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，在高考试题中屡见不鲜，充分突出其知识的重要性、思想方法的独特性。比如，函数定义域、值域的判断、单调性证明、最值问题、方程根的分布情况讨论、取值范围问题的研究、实际应用问题等。因此，要认真加以关注。以上问题往往与不等式的性质、解不等式密切相关，同学们要理解与掌握问题的本质，学会把问题合理转化为不等式模型。3. 不等式的应用1）复习目标2）试题分析[例题6]求函数 分析：本题是一个典型的利用均值不等式求函数最值的题型。
而学生往往在运用中不注重其条件的特定性，即它必须具备三个
条件，缺一不可。如：和式（或乘积式）若有最小（大）值，则
必须满足条件1）各个变量均为正数；2）各个变量的乘积（或和）
为定值；3）当且仅当各个变量相等时方可取到最小（大）值。在
求解时，常出现变量之和（或积）无法为定值，那么，就需要将
变量进行均匀分解，以使之出现定值。本题就属此类。的最小值 最值问题在高考题中，屡见不鲜，它成为问题解决里面的一个重要部分。例如：
2000年上海卷第19（1）题，
2003年上海卷第20（2）题，
2004年上海卷第18题等。 [例题7]（2003年上海卷）如图，某隧道设计为双向四车道，车道
总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱
线近似地看成半个椭圆形状。 1.若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
2.若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h与拱宽l，才能使半
个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）
请同学们自行解决。[例题8]（2004年上海卷）记函数的定义域为
的定义域为求2.若分析：本题是一个典型集合问题，通过求出两个函数的定义域，
并根据参量，进行讨论来确定参量的取值范围。本题较充分体现了建立不等式，解不等式的基本解题方法。请同学们自行解决[例题8]（2004年上海卷）记函数的定义域为
的定义域为求2.若分析：本题是一个典型集合问题，通过求出两个函数的定义域，
并根据参量，进行讨论来确定参量的取值范围。本题较充分体）现了建立不等式，解不等式的基本解题方法。请同学们自行解决 对于利用不等式，判定函数的单调性是高中数学的一个重要知识，通常是借助“比较法（作差）”，通过对“差式”的因式分解、配方等基本手段判断“差式”的正、负，进而得出函数的单调性。下面的例题就说明这个问题：[例题9]在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依
次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），
其中t求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；
确定函数S（t）的单调区间，并加以证明。
分析与解答： 此题在解决时，注意了分类讨论，并利用比较法证明了函数的单调性。 以下的三道题目，从数学的不同知识层面，体现不等式知识的
综合应用。如：[例题10—（2）] ，[例题11]， [例题12—（2）（3）]。[例题10]（2003年全国卷）证明对任意2.假设对任意注意：我们对原题进行改变，将（1）改为：证明数列，然后可以得到原题（1）中的数列通项公式。[例题11]（2002年上海卷）已知函数当2.求的取值范围，使[例题12]（2000年上海卷）在平面上有一点列求2.若3.设,若取（2）中确定的范围内的最小整}的最大项的项数。{数，求数列三、复习导向 由于不等式知识其在高中数学中的重要地位，它成为在解决问
题时的一个必备工具。就知识分类及其高考命题的内容看，重要
有以下几点，应引起同学们在复习此知识时须重点关注的：
1.不等式性质的考查常以幂、指数、对数函数的性质的考查综合
起来，包括大小比较，求最值等，一般题目难度不大，要求同学
们要有较好的、较全面的基础知识。
2.解不等式的题型常以解答题形式出现；在解答题中，含字母参
数的不等式较多，利用相关函数的单调性等性质将原有不等式转
化为不等式组，然后对所含字母参数进行分类讨论
3．不等式的证明是理科考查的一个较重要的考点，经常同函数、
数列、解析几何中的曲线方程等知识整合起来，一般题目难度较
大，综合性较强，要求做到有较强的逻辑思维能力与较深厚地运
算、演绎推理功底。四、思考练习1．不等式2．已知空间三点P（-2，0，2）、Q（-1，k-2，3）、R（-3，0，-k），
设3．若不等式 的整数解只有-2，则求4．正数2，x，3构成钝角三角形的三边，则x应取值的范围是_______。
5．[例题11]。
6．[例题12]。的解集是___________。k的取值范围是______。的取值范围。谢 谢 ！课件13张PPT。不等式的性质什么是不等式?主要符号有哪些?
用不等号连接的式子
“≤” “≥”
“<” “>” “≠”
一.复习回顾1、掌握实数的运算性质与大小顺序间关系； 2、掌握求差法比较两实数或代数式大小； 3、通过教学渗透等价转化思想、数形结合思想。学 习 目 标复习回顾 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 在图中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b． ab若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确．类似地，若a＜b，则a－b是负数；若a=b，则a－b=0．它们的逆命题都正确．这就是说： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容． 求差比较法 比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则． 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． 接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法． 例题讲解 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被忽略． 例３.比较x2+12与6x的大小解: ∵x2 + 12 – 6x
=x2-6x+9-9+12
=(x-3)2+3>0
∴ x2+12> 6x作差比较法的基本步骤 1.作差
2.变形:
3.(与0比较大小)定号．（应有讨论过程）变形是关键：
1°变形常用手段:配方法，因式分解法
2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积
课堂练习 2.比较x2+10与3x的大小课 堂 小 结1、不等式的基本性质：2、作差比较法的基本步骤：作差－变形－定号－判断预 习 提 纲 不等式的基本性质具体有哪些？如何加以证明 ?课件28张PPT。第六章 不等式6.1 不等式的性质作差,与零比较大小思想方法:练习解:学习目标理解掌握不等式的基本性质及证明
会运用不等式的基本性质进行简单不等式的证明及相关问题
初步掌握反证法的基本思想不等式性质定理1:(对称性)证明:由正数的相反数是负数,得(充分性)不等式性质定理1:(对称性)证明:(必要性)不等式性质定理2:(传递性)证明:根据两个正数的和仍是正数,得推论:不等式性质定理3:（可加性） 证明:由性质定理3可以直接推得:不等式有可加性,可移项性.表明把不等式中任何一项改变符号后可以移到另一边.推论1:证明:推论2:证明:相加法则相减法则同向可加性异向可减性不等式性质定理4:证明:同号得正异号得负推论1. 如果 a>b>0, c>d>0,则 ac>bd.a1> b1 >0, a2 > b2 > 0…..an > bn.> 0 a1 a2……an > b1b2……..bn推论2.如果 a>b>0,那么 an > bn > 0
( n∈N,n > 1 ) a1= a2=….=an > 0 , b1 = b2= ……= bn> 0推论1:推论2:推论3:不等式性质定理5:证明:例１证明:例１证明二:证明:例２ 例３. 已知 a >b >0, c < d < 0 ,比较下列各式的大小,并说明理由. ( 1 ) ac 与 bd ( 2 ) 与 例４. 如果 16 < x <32 , 4 < y < 8 ,分别求 x + y , 2x – 3y , xy2 , y/x 的取值范围.解: 由16（1）如果a >b，d>c>0，则 ac>bd；
（2）如果a > b,ac > bc , 则c > 0 ;
（3）如果a > b > 0, c>0. c > d
则 ac > bd ;
（4） 如果a > b ,c < 0, 则 a/c < b/c 2 .选择( 1 )下列各式中正确的有: A 若 ab, B. 若 |a|>b则 a>b
C 若a>|b|,则 a>b, D.若 a>b ,则a2>b2[ ]C( 2 ) 若a>0>b,db/c; C. a+c>b+d:D.a-d>b-cB( 3 ) 若 a>b>c ,则下列各式中正确的有 [ ]
A .a|c|>b|c|;B ab>ac;C .|ab|>|bc|D .a(b-c)>b(b-c)D3.π/4b>0,c>d>0时,补充解:(1)(2)补充解:(3)补充解:(3)课堂小结1、理解掌握不等式的基本性质
２、多个不等式相乘.相除及不等式的乘方与开方要特别注意成立的条件.
３、不等式的证明必须依赖定理.推论形式来推理.
４、反证法是数学证明中常用的思想方法之一.
预习提纲： １、什么是算术平均数和几何平均数？
２、算术平均数和几何平均数有怎样的大小关系？如何加以证明？
３、会运用均值不等式证明不等式和求最值问题
课件16张PPT。不等式的解法1、一元一次不等式的解法2、一元二次不等式的解法5、绝对值不等式的解法6、无理不等式的解法7、指数不等式、对数不等式、幂指数不等式的解法8、三角不等式3、高次不等式的解法4、分式不等式的解法不等式的解法两相异的实根两相同的实根没有实根R??二次函数、一元二次方程、一元二次不等式2、把方程的根标在数轴上：x1,x2…,xn3、从右上角引线，注意重根多绕一次注：不等式右边不为零，则移项通分|x|0|x|>aa=0a<0(-a,a)??(-?,-a)?(a,+ ?)(-?,0)?(0,+ ?)R|f(x)|>g(x)
|f(x)||f(x)|>|g(x)|?-g(x)g(x)绝对值不等式注：含两个以上绝对值的不等式，用零点分段法。无理不等式指数不等式、对数不等式a>10g(x)f(x) 数 学
第二册 (上)经全国中小学教材审定委员会
2002年审查通过不等式2019年3月16日高中数学第二册(上)高中数学第六章 不等式课件2019年3月16日书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！6.4.5不等式的解法举例（5）指数不等式的解法不等式的解法举例返回结束下一页§6.4.5 不等式的解法举例（5）
------指数不等式的解法回顾练习指 数 不 等 式 的 解 法不等式lg(x2+2x+2)＜1的解集是______________. {x|-4＜x＜2}不等式的解法举例返回结束下一页§6.4.5 不等式的解法举例（5）
------指数不等式的解法知识回顾指 数 不 等 式 的 解 法1、指数运算性质：aman=am+n(am)n=amnam÷an=am-n2、y=ax的单调性a>1时，单调递增0ag(x)型不等式的解法：不等式的解法举例返回结束下一页典型例题指 数 不 等 式af(x)>bg(x)型不等式的解法：(1) 2x>3x+1(2) 3x-3·5x-2>3x-4+5x-3不等式的解法举例返回结束下一页典型例题指 数 不 等 式A·a2x+B·ax+C>0(<0)型不等式解法：3x-18·3-x>7a2x+1解指数不等式的关键是等价转化.底数 ；(2)单调性 ;(3) 换元法。不等式的解法举例返回结束下一页课堂作业课堂作业：作业：《三味组合》第167页第十二课时练习题课件24张PPT。含有绝对值的不等式抚松县第一中学学习目标1.掌握含绝对值的不等式的基本性质；
2.能证明含绝对值的不等式；
3.理解并掌握放缩法证明含绝对值的不等式的方法；
4.培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力。复习回顾1.不等式的基本性质及证明方法。
2.绝对值的意义及最简单的含绝对值不等式的解集:新课定理
三角形不等式（1）定理特征：（2）定理证明：①②（3）定理推论：推论1
推论2
定理应用（放缩法）c解法一: (D)显然不对，(A)、(B)可两边平方判断是错误的，故应选(C).解法二: （特殊值法）取a=1，b=-1即可。①② 思考题小结这节课我们学习了含有绝对值的不等式中的“三角形不等式”即课本上的定理以及定理的两个推论，要求同学们会证明定理及两个推论，并能够灵活运用。又学习了证明不等式的一种方法——放缩法，希望同学们掌握。
另外，在例题中还渗透了函数与方程、数形结合的数学思想方法。望同学们课后体会。