2014年中考数学复习专题知识突破讲座（10个专题）（精选2013年中考题）
文档属性
| 名称 | 2014年中考数学复习专题知识突破讲座（10个专题）（精选2013年中考题） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-02-04 21:51:24 | ||
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文档简介
2014年中考数学复习专题知识突破讲座
（精选2013年中考试题）
专题一 选择题解题方法
一、中考专题诠释
选择题是各地中考必考题型之一，2013年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.
选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.
二、解题策略与解法精讲
选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
三、中考典例剖析
考点一：直接法
从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.
例1 （2013 陕西）根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（ ）
x -2 0 1
y 3 p 0
A．1 B．-1 C．3 D．-3
思路分析：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1时，y=0代入即可得出kb的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值．
解：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵x=-2时y=3；x=1时y=0，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，
∴当x=0时，y=1，即p=1．
故选A．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
对应训练
1．（2013 安顺）若y=(a+1)xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1 B．-l C．±l D．任意实数
1．A
考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）
分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.
例2 （2013 莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
思路分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，
∴AN=1．
∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．
①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；
②当动点M到达C点时，x=6，y=3-1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况．
对应训练
2．（2013 自贡）如图，已知A、B是反比例函数y= (k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．A
考点三：逆推代入法
将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.
例3 （2013 邵阳）下列四个点中，在反比例函数y＝ 的图象上的是（ ）
A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
思路分析：根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y= 中，k=xy为定值是解答此题的关键．
对应训练
3．（2013 重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（ ）
A．y=2x B．y=-2x C．y＝x D．y＝ x
3．B
考点四：直观选择法
利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.
例4 （2013 鄂州）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；
②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；
③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
结合图象可得B选项的图象符合．
故选B．
点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始终保持在容器的正中间．
对应训练
4．（2013 巴中）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
4．D
考点五：特征分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法
例5 （2013 三明）如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）
思路分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：因为直线y=mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（-3，-4）．
故选：C．
点评：此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
对应训练
5．（2013 宁波）已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为 ．
5．y=-
考点六：动手操作法
与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.
例6 （2013 宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
故选：C．
点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的动手操作能力和空间想象能力．
对应训练
6．（2013 菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
6．D
四、中考真题演练
1．（2013 邵阳）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
1．B
2．（2013 湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（ ）
A．- B．-2 C． D．2
2．D
3．（2013 天门）下列事件中，是必然事件的为（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．江汉平原7月份某一天的最低气温是-2℃
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》
3．C
4．（2013 徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（ ）
A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x
4．C
5．（2013 盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．C
6．（2013 达州）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏中奖的概率是 ，则做100次这样的游戏一定会中奖
B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式
C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D．若甲组数据的方差＝0.2，乙组数据的方差＝0.5，则乙组数据比甲组数据稳定
6．C
7．（2013 贵阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的位置是（ ）
A． B． C． D．
7．A
8．（2013 三明）如图，已知直线y=mx与双曲线y= 的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）
8．C
9．（2013 天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．D
10．（2013 义乌）为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，1，2，这三个数字组成，但具体顺序忘记了，他第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．C
11．（2013 南宁）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．三角形 B．线段 C．矩形 D．正方形
11．A
12．（2013 泰州）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．B
13．（2013 台州）有一篮球如图放置，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
13．B
14．（2013 长沙）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）
A． B． C． D．
14．C
15．（2013 达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
15．C
16．（2013 陕西）如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
16．D
17．（2013 广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动1格
C．向上移动2格 D．向下移动2格
17．D
18．（2013 玉林）若∠α=30°，则∠α的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
18．D
19．（2013 襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
19．C
20．（2013 宜昌）某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
20．C
21．（2013 遂宁）已知反比例函数的图象经过点（2，-2），则k的值为（ ）
A．4 B．- C．-4 D．-2
21．C
22．（2013 钦州）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
22．B
23．（2013 锦州）为响应“节约用水”的号召，小刚随机调查了班级35名同学中5名同学家庭一年的平均用水量（单位：吨），记录如下：8，9，8，7，10，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4
23．B
24．（2013 恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
24．C
25．（2013 巴中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．大 B．伟 C．国 D．的
25．D
26．（2013 怀化）如图，在方格纸上上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，-1） C．（1，-3） D．（1，3）
26．B
27．（2013 宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．B
28．（2013 吉林）端午节期间，某市一周每天最高气温（单位：℃）情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是（ ）
A．22 B．24 C．25 D．27
28．B
29．（2013 黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA→→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
29．C
30．（2013 北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
30．
31．（2013 荆门）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（ ）
A．（3，4） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（4，-3）
31．C
32．（2013 盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
32．C
33．（2013 咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
33．C
34．（2013 雅安）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
34．A
35．（2013 衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
35．B
36．（2013 柳州）如图，点P（a，a）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA的面积是（ ）
A．3 B．4 C． D．
36．D
37．（2013 苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2
C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
37．B
38．（2013 贺州）直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130°
38．A
39．（2013 莱芜）下列说法错误的是（ ）
A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心
B．2+与2-互为倒数
C．若a＞|b|，则a＞b
D．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半
39．D
40．（2013 无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
40．C
41．2013 南充）下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）
A． B． C． D．
41．C
42．（2013 贵阳）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ ）
A．1圈 B．2圈 C．3圈 D．4圈
42．B
43．（2013 钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙
43．D
44．（2013 福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ）
A．2.5cm B．3.0cm C．3.5cm D．4.0cm
44．B
45．（2013 佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A．3 B．4 C． D．
45．C
46．（2013 达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=300米，则这段弯路的长度为（ ）
A．200π米 B．100π米 C．400π米 D．300π米
46．A
47．（2013 绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
47．B
48．（2013 红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
48．D
49．（2013 邗江区一模）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．
（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．
（4）连结AE、AF，如图（5）所示．
经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆=3：4π，
以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．D
50．（2013 恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对2009年恩施州各县市的固定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题：
2009年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元）
单位 恩施市 利川县 建始县 巴东县 宜恩县 咸丰县 来凤县 鹤峰县 州直
投资额 60 28 24 23 14 16 15 5
下列结论不正确的是（ ）
A．2009年恩施州固定资产投资总额为200亿元
B．2009年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是16亿元
C．2009年来凤县固定资产投资额为15亿元
D．2009年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为110°
50．D
专题二 新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新定义
例1 （2013 湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= 1
；①
sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= 1
；②
sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= 1
．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= 1
．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．
思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；
④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；
（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．
解：∵sin30°=，cos30°=，
∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①
∵sin45°=，cos45°=，
∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②
∵sin60°=，cos60°=，
∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
∵sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，
∵∠ADB=90°，
∴BD2+AD2=AB2，
∴sin2A+cos2A=1．
（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，
∴cosA=．
点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
对应训练
1．（2013 绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 的最大值．
2.（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．
∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴=2，
∵AD=AO+OD，
∴=．
（2）答：点O是△ABC的重心．
证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．
由（1）可知，=，
而=，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心．
（3）解：如答图3所示，连接DG．
设S△GOD=S，由（1）知=，即OA=2OD，
∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，
∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．
设OH=k OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．
∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．
∴== ①
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴，
∴OF=CD=BC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE=；
∴=，
∴=．
∵OF∥GE，
∴，
∴，
∴k=，代入①式得：
==-x2+x+1=-（x-）2+，
∴当x=时，有最大值，最大值为．
考点二：运算题型中的新定义
例2 （2013 河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。
（1）求（-2） 3的值；
（2）若3 x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．
思路分析：（1）按照定义新运算a b=a（a-b）+1，求解即可；
（2）先按照定义新运算a b=a（a-b）+1，得出3 x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．
解：（1）∵a b=a（a-b）+1，
∴（-2） 3=-2（-2-3）+1=10+1=11；
（2）∵3 x＜13，
∴3（3-x）+1＜13，
9-3x+1＜13，
-3x＜3，
x＞-1．
在数轴上表示如下：
点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．
对应训练
2．（2013 十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．
（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是 -2≤a＜-1
．
（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．
2．解：（1）∵[a]=-2，
∴a的取值范围是-2≤a＜-1；
（2）根据题意得：
3≤[]＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
考点三：探索题型中的新定义
例3 （2013 钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
思路分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．
解：如图，
∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，
到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，
∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．
故选C．
点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．
对应训练
3.（2013 台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）
依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）
3．解：（1）如图1，①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③作线段OC，使OC=AB，
④连接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形．
（2）如图2，取AC的中点D，连接BD
∵∠C=90°，tanA=，
∴=，
∴设BC=x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD=AC=x
∴BD==2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；
（3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴．
∵PE=CE，
∴．
Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
=2，
∴=，
Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于N，如图4
∴MN=AN=MP．
∴QN=MN，
∴tan∠APQ==，
∴tan∠APE==，
∴=+。
②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．
（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，
则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．
考点四：开放题型中的新定义
例4 （2013 宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
对应训练
4．（2013 常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b-1（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积
多边形1 8 1
多边形2 7 3
… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S= a+2（b-1）
（用含a、b的代数式表示）．
4．解：填表如下：
格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积
多边形1 8 1 8
多边形2 7 3 11
… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S=a+2（b-1）（用含a、b的代数式表示）．
考点五：阅读材料题型中的新定义
例5 （2013 舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C D=D E=E F=F D，则C，D，E，F四点（ ）
A．在同一条直线上
B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上
D．是同一个正方形的四个顶点
思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上．
解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C D=（x3+x4）+（y3+y4），
D E=（x4+x5）+（y4+y5），
E F=（x5+x6）+（y5+y6），
F D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C D=D E=E F=F D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），
∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上，
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．
故选A．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．
对应训练
5．（2013 天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．
7．解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：
（2）裁剪线的示意图如下：
（3）b：c的值为，
规律如下：第4次操作前短边与长边之比为：；
第3次操作前短边与长边之比为：；
第2次操作前短边与长边之比为：；
第1次操作前短边与长边之比为：．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2013 成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A．y=-x+3 B．y= C．y=2x D．y=-2x2+x-7
1．C
2．（2013 绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
2．D
3．（2013 潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[]=5，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
3．C
4．（2013 乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（ ）
A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5）
4．D
5．（2013 常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．C
二、填空题
6．（2013 上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30°
．
6．30°
7．（2013 宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 4π
．
7．4π
8．（2013 淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 3
条．
8．3
9．（2013 乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n-≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．
给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）=1；
②（2x）=2（x）；
③若（x-1）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；
⑤（x+y）=（x）+（y）；
其中，正确的结论有 ①③④
（填写所有正确的序号）．
9．①③④
三、解答题
10．（2013 莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
10．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
∴AD2=AC CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC=．
11．（2013 大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
11．解：（1）由题意得，
sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=，
cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-，
sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，-，
将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，
解得：m=0，
经检验-是方程4x2-1=0的根，
∴m=0符合题意；
②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，
解得：m=0，
经检验不是方程4x2-1=0的根．
综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．
12．（2013 安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： ；
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）
12．解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；
（2）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
∵AE∥DC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE．
∵在△ABE和△DEC中，
，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
∴；
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∴∠BFE=∠CHE=90°．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中
，
∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），
∴∠3=∠4．
∵BE=CE，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB，
∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴ABCD是“准等腰梯形”．
当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：
如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，
∴∠B=∠C，
∴ABCD是“准等腰梯形”．
如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC，
∴∠EBF=∠ECH．
∵BE=CE，
∴∠3=∠4，
∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4，
即∠1=∠2，
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．
13．（2013 北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，-2），F（2，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 D，E
．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．
13．解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
∵⊙O的半径为1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴E点是⊙O的关联点，
∵D（，），E（0，-2），F（2，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，
故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；
故答案为：D，E；
②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，
由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，
连接BC，则PC==2BC=2r，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，
如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，
过点O作l轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF==，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=；
sin∠OPH=，
∴∠OPH=60°，
可得点P1与点G重合，
过点P2作P2M⊥x轴于点M，
可得∠P2OM=30°，
∴OM=OP2cos30°=，
从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，
∴0≤m≤；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；
考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，
此时，r=1，
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．
专题三 开放型问题
一、中考专题诠释
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
二、解题策略与解法精讲
解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲
考点一：条件开放型
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．
例1 （2013 盐城）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式： y=-x+3
．（填上一个答案即可）
思路分析：首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y=kx+b（k≠0）．根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．
解：设此一次函数关系式是：y=kx+b．
把x=0，y=3代入得：b=3，
又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．
故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=-x+3．（答案不唯一）
故答案是：y=-x+3．
点评：本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．
对应训练
1．（2013 达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为 -1
．（只需写出符合条件的一个k的值）
1．-1
考点二：结论开放型：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
例2 （2013 常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： ．
思路分析：根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
解：∵图象在第二、四象限，
∴y=-，
故答案为：y=-．
点评：此题主要考查了反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
对应训练
2．（2013 山西）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息： 该班有50人参与了献爱心活动
．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）
2．该班有50人参与了献爱心活动（答案不唯一）
考点三：条件和结论都开放的问题：
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．
例3 （2013 广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 =
S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
思路分析：（1）根据S1=
S矩形BDEF，S2+S3= S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．
解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，
∴S1=S矩形BDEF，
∴S2+S3=S矩形BDEF，
∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．
对应训练
3．（2013 荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．
3．解：△ACD≌△BCE．
证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE．
四、中考真题演练
一、填空题
1．（2013 徐州）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称： 平行四边形
．
1．平行四边形
2．（2013 钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 y=x（答案不唯一）．
．
2．y=x（答案不唯一）．
3．（2013 连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 -2
．（写出一个即可）
3．-2
4．（2013 连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 -2
．（写出一个即可）
4．-2
5．（2013 北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ．
5．x2+1（答案不唯一）
6．（2013 莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件 AB=DE
，使△ABC≌△DEF．
6．AB=DE
7．（2013 绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 AE=CB
，使得△EAB≌△BCD．
7．AE=CB
8．（2013 义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 AC=AB
．
8．AC=AB
9．（2013 齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 ∠C=∠BAD
（填一个即可）
9．∠C=∠BAD
10．（2013 邵阳）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是 ∠A与∠C（答案不唯一）
．
10．∠A与∠C（答案不唯一）
11．（2013 吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是 6
cm（写出一个符合条件的数值即可）
11．6
12．（2013 昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 4s
．（填出一个正确的即可）
12．4s
三、解答题
13．（2013 杭州）（1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数 (x＞0)的图象经过点B，D，求k的值．
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．
13．解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，
∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，
又∵∠EDM=84°，
∴∠A+3∠A=84°，
解得，∠A=21°；
②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，
∴点B（3，），
∵BC=2，
∴点C（3，+2），
∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，
∴A（1，+2），
∵点A也在反比例函数图象上，
∴+2=k，
解得，k=3；
（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）
14．（2013 盐城）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；
（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）
14．解：（1）调查的总人数是：55+30+15=100（人）；
（2）经常闯红灯的人数是：1500×=225（人）；
（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．
专题四 探究型问题
一、中考专题诠释
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、中考考点精讲
考点一：条件探索型：
此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．
例1 （2013 襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为 60
度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．
解答：（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；
（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵边AD′落在AE上，
∴旋转角=∠DAE=60°；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′与△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
故答案为：60．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过．
对应训练
1．（2013 新疆）如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
考点二：结论探究型：
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．
例2 （2013 牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2
，CB= +1
．
思路分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB-AE即可证得；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
解：（1）如图（2）：AB-BD=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=CB．
如图（3）：BD-AB=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=CB．
（2）如图（2），过点B作BH⊥CD于点H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH=BD=×=1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH=，
∴CB=CH+BH=+1；
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
对应训练
2．（2013 河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC
；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2
．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
2．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF=S△BDE，
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°=2÷=，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，
故BF的长为或．
考点三：规律探究型：
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.
例3 （2013 闸北区二模）观察方程①：x+=3，方程②：x+=5，方程③：x+=7．
（1）方程①的根为： x1=1，x2=2
；方程②的根为： x1=2，x2=3
；方程③的根为： x1=3，x2=4
；
（2）按规律写出第四个方程： =9
；此分式方程的根为： x1=4，x2=5
；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： =2n+1
；此方程解是： x1=n，x2=n+1
．
思路分析：先计算出方程的根，再根据根的变化规律求出方程的一般形式及根的变化规律．
解：（1）两边同时乘以x得，x2-3x+2=0，
方程①根：x1=1，x2=2；
两边同时乘以x得，x2-5x+6=0，
方程②根：x1=2，x2=3；
两边同时乘以x得，x2-7x+12=0，
方程③根：x1=3，x2=4；
（2）方程④：x+=9；方程④根：x1=4，x2=5．
（3）第n个方程：x+=2n+1．
此方程解：x1=n，x2=n+1．
点评：本题考查了分式方程的解，从题目中找出规律是解题的关键．
对应训练
3．（2013 南沙区一模）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是 （2013，1）
．
3．（2013，1）
考点四：存在探索型：
此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．
例4 （2013 呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1） 的值为 ；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
思路分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE=，
∵sin∠BAE==sin∠FEC=，
∴=，
（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB-BK=BC-BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD∥EP，MD=EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
对应训练
4．（2013 陕西）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
4．解：（1）如图1所示，
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，
则直线EF、OM将正方形的面积四等份，
理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AP=CQ，EB=DF，
在△AOP和△EOB中
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOP=∠BOE，
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
∴△AOP≌△EOB，
∴AP=BE=DF=CQ，
设O到正方形ABCD一边的距离是d，
则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，
∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM，
直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；
（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，
理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
∵在△ABP和△DEP中
，
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S△BPC=S△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面积公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP
∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP
即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2013 永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
1．C
2．（2013 安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
2．B
3．（2013 湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
3．C
二、填空题
4．（2013 娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD
（添加一个条件即可）．
4．∠B=∠C或AE=AD
5．（2013 白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD
．（答案不唯一，只需填一个）
5．AC=CD
6．（2013 上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF
．（只需写一个，不添加辅助线）
6．AC=DF
7．（2013 黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： AD=DC
，使得平行四边形ABCD为菱形．
7．AD=DC
8．（2013 西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．
第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；
第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；
第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；
第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；
…
依此规律进行，点A6的坐标为 （-2-3）
；若点An的坐标为（2013，2012），则n= 4023
．
8．（-2-3），4023
9．（2013 湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 -1）
，A92的坐标是 （31，-31）
．
9．（0，），（31，-31）
10．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12°
．
10．12°
三、解答题
11．（2013 茂名）如图，在 ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．
11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE．
∵在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE．
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF．
12．（2013 白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
12．解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
13．（2013 无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）
13．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．
14．（2013 宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．
14．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，-3）代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），
即y=-x2+4x-3，
∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．
15．（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
解：在抛物线y=-x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（-1，3），再向下平移2个单位得到A″（-1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c．则点A″（-1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：
，解得：．所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2．
根据以上信息解答下列问题：
将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
15．解：在直线y=2x-3上任取一点A（0，-3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，-2），
设平移后的解析式为y=2x+b，
则A′（3，-2）在y=2x+b的解析式上，
-2=2×3+b，
解得：b=-8，
所以平移后的直线的解析式为y=2x-8．
16．（2013 湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
16．（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
。
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．
理由是：如图，
设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，
即AP=3x，CD=x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′
17．（2013 淄博）分别以 ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF．
18．（2013 张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
18．（1）证明：如图，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∴OC=EF=6.5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．（2013 衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
19．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴，
即，
∴DM=，
当x=2时，DM有最大值为1．
20．（2013 宁夏）在 ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时， ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
20．解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF=DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE CF，
即y=×x×（10-x）=-x2+5x，
配方得：y=-（x-5）2+，
当x=5时，y有最大值，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°=，
∴CM=CD，
∴CE=CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB．
21．（2013 南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 =k．
（1）证明：△BGF是等腰三角形；
（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？
（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．
21．解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴GF=AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG=AE，
∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形；
（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴=tan∠ACB=，
∴当k=时，△BGF为等边三角形；
（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=∠BGF，
∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k=＞1；
当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k==1；
当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°
∴AB＜BC，
∴k=＜1；
∴0＜k＜1．
22．（2013 德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．
22．（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG2=BO BF，
∴CG2=BO BF；
（3）解：连结OE，如图，
由（2）得BG⊥BC，
∴OG=，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG==2，
由（2）得BG2=BO BF，
∴BF==4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF==2，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4．
23．（2013 泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值．
23．（1）解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴，即，
∴EF=6×=2．
（2）①画图，如答图1所示：
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴；
∵EF∥AB，
∴；
∴．
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得：，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴=．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．
（3）解：由（2）可得：=，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
24．（2013 梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
24．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC sin30°=3×=，
∴CP=CF tan∠CFP=×=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，
∴PG=CG-CP=-1=．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=．
（2）由（1）可知，FC=．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．
过点A过AG⊥BC于点G
（精选2013年中考试题）
专题一 选择题解题方法
一、中考专题诠释
选择题是各地中考必考题型之一，2013年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.
选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.
二、解题策略与解法精讲
选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
三、中考典例剖析
考点一：直接法
从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.
例1 （2013 陕西）根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（ ）
x -2 0 1
y 3 p 0
A．1 B．-1 C．3 D．-3
思路分析：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1时，y=0代入即可得出kb的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值．
解：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵x=-2时y=3；x=1时y=0，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，
∴当x=0时，y=1，即p=1．
故选A．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
对应训练
1．（2013 安顺）若y=(a+1)xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1 B．-l C．±l D．任意实数
1．A
考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）
分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.
例2 （2013 莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
思路分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，
∴AN=1．
∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．
①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；
②当动点M到达C点时，x=6，y=3-1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况．
对应训练
2．（2013 自贡）如图，已知A、B是反比例函数y= (k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．A
考点三：逆推代入法
将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.
例3 （2013 邵阳）下列四个点中，在反比例函数y＝ 的图象上的是（ ）
A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
思路分析：根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y= 中，k=xy为定值是解答此题的关键．
对应训练
3．（2013 重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（ ）
A．y=2x B．y=-2x C．y＝x D．y＝ x
3．B
考点四：直观选择法
利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.
例4 （2013 鄂州）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；
②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；
③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
结合图象可得B选项的图象符合．
故选B．
点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始终保持在容器的正中间．
对应训练
4．（2013 巴中）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
4．D
考点五：特征分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法
例5 （2013 三明）如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）
思路分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：因为直线y=mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（-3，-4）．
故选：C．
点评：此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
对应训练
5．（2013 宁波）已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为 ．
5．y=-
考点六：动手操作法
与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.
例6 （2013 宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
故选：C．
点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的动手操作能力和空间想象能力．
对应训练
6．（2013 菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
6．D
四、中考真题演练
1．（2013 邵阳）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
1．B
2．（2013 湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（ ）
A．- B．-2 C． D．2
2．D
3．（2013 天门）下列事件中，是必然事件的为（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．江汉平原7月份某一天的最低气温是-2℃
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》
3．C
4．（2013 徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（ ）
A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x
4．C
5．（2013 盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．C
6．（2013 达州）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏中奖的概率是 ，则做100次这样的游戏一定会中奖
B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式
C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D．若甲组数据的方差＝0.2，乙组数据的方差＝0.5，则乙组数据比甲组数据稳定
6．C
7．（2013 贵阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的位置是（ ）
A． B． C． D．
7．A
8．（2013 三明）如图，已知直线y=mx与双曲线y= 的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）
8．C
9．（2013 天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．D
10．（2013 义乌）为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，1，2，这三个数字组成，但具体顺序忘记了，他第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．C
11．（2013 南宁）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．三角形 B．线段 C．矩形 D．正方形
11．A
12．（2013 泰州）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．B
13．（2013 台州）有一篮球如图放置，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
13．B
14．（2013 长沙）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）
A． B． C． D．
14．C
15．（2013 达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
15．C
16．（2013 陕西）如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
16．D
17．（2013 广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向下移动1格 B．向上移动1格
C．向上移动2格 D．向下移动2格
17．D
18．（2013 玉林）若∠α=30°，则∠α的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
18．D
19．（2013 襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
19．C
20．（2013 宜昌）某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
20．C
21．（2013 遂宁）已知反比例函数的图象经过点（2，-2），则k的值为（ ）
A．4 B．- C．-4 D．-2
21．C
22．（2013 钦州）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
22．B
23．（2013 锦州）为响应“节约用水”的号召，小刚随机调查了班级35名同学中5名同学家庭一年的平均用水量（单位：吨），记录如下：8，9，8，7，10，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4
23．B
24．（2013 恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
24．C
25．（2013 巴中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．大 B．伟 C．国 D．的
25．D
26．（2013 怀化）如图，在方格纸上上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，-1） C．（1，-3） D．（1，3）
26．B
27．（2013 宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．B
28．（2013 吉林）端午节期间，某市一周每天最高气温（单位：℃）情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是（ ）
A．22 B．24 C．25 D．27
28．B
29．（2013 黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA→→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
29．C
30．（2013 北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
30．
31．（2013 荆门）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（ ）
A．（3，4） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（4，-3）
31．C
32．（2013 盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
32．C
33．（2013 咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
33．C
34．（2013 雅安）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
34．A
35．（2013 衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
35．B
36．（2013 柳州）如图，点P（a，a）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA的面积是（ ）
A．3 B．4 C． D．
36．D
37．（2013 苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2
C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
37．B
38．（2013 贺州）直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130°
38．A
39．（2013 莱芜）下列说法错误的是（ ）
A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心
B．2+与2-互为倒数
C．若a＞|b|，则a＞b
D．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半
39．D
40．（2013 无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
40．C
41．2013 南充）下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）
A． B． C． D．
41．C
42．（2013 贵阳）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ ）
A．1圈 B．2圈 C．3圈 D．4圈
42．B
43．（2013 钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙
43．D
44．（2013 福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ）
A．2.5cm B．3.0cm C．3.5cm D．4.0cm
44．B
45．（2013 佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A．3 B．4 C． D．
45．C
46．（2013 达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=300米，则这段弯路的长度为（ ）
A．200π米 B．100π米 C．400π米 D．300π米
46．A
47．（2013 绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
47．B
48．（2013 红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
48．D
49．（2013 邗江区一模）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．
（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．
（4）连结AE、AF，如图（5）所示．
经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆=3：4π，
以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．D
50．（2013 恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对2009年恩施州各县市的固定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题：
2009年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元）
单位 恩施市 利川县 建始县 巴东县 宜恩县 咸丰县 来凤县 鹤峰县 州直
投资额 60 28 24 23 14 16 15 5
下列结论不正确的是（ ）
A．2009年恩施州固定资产投资总额为200亿元
B．2009年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是16亿元
C．2009年来凤县固定资产投资额为15亿元
D．2009年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为110°
50．D
专题二 新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新定义
例1 （2013 湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= 1
；①
sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= 1
；②
sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= 1
．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= 1
．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．
思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；
④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；
（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．
解：∵sin30°=，cos30°=，
∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①
∵sin45°=，cos45°=，
∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②
∵sin60°=，cos60°=，
∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
∵sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，
∵∠ADB=90°，
∴BD2+AD2=AB2，
∴sin2A+cos2A=1．
（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，
∴cosA=．
点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
对应训练
1．（2013 绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 的最大值．
2.（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．
∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴=2，
∵AD=AO+OD，
∴=．
（2）答：点O是△ABC的重心．
证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．
由（1）可知，=，
而=，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心．
（3）解：如答图3所示，连接DG．
设S△GOD=S，由（1）知=，即OA=2OD，
∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，
∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．
设OH=k OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．
∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．
∴== ①
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴，
∴OF=CD=BC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE=；
∴=，
∴=．
∵OF∥GE，
∴，
∴，
∴k=，代入①式得：
==-x2+x+1=-（x-）2+，
∴当x=时，有最大值，最大值为．
考点二：运算题型中的新定义
例2 （2013 河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。
（1）求（-2） 3的值；
（2）若3 x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．
思路分析：（1）按照定义新运算a b=a（a-b）+1，求解即可；
（2）先按照定义新运算a b=a（a-b）+1，得出3 x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．
解：（1）∵a b=a（a-b）+1，
∴（-2） 3=-2（-2-3）+1=10+1=11；
（2）∵3 x＜13，
∴3（3-x）+1＜13，
9-3x+1＜13，
-3x＜3，
x＞-1．
在数轴上表示如下：
点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．
对应训练
2．（2013 十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．
（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是 -2≤a＜-1
．
（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．
2．解：（1）∵[a]=-2，
∴a的取值范围是-2≤a＜-1；
（2）根据题意得：
3≤[]＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
考点三：探索题型中的新定义
例3 （2013 钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
思路分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．
解：如图，
∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，
到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，
∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．
故选C．
点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．
对应训练
3.（2013 台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）
依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）
3．解：（1）如图1，①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③作线段OC，使OC=AB，
④连接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形．
（2）如图2，取AC的中点D，连接BD
∵∠C=90°，tanA=，
∴=，
∴设BC=x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD=AC=x
∴BD==2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；
（3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴．
∵PE=CE，
∴．
Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
=2，
∴=，
Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于N，如图4
∴MN=AN=MP．
∴QN=MN，
∴tan∠APQ==，
∴tan∠APE==，
∴=+。
②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．
（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，
则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．
考点四：开放题型中的新定义
例4 （2013 宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
对应训练
4．（2013 常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b-1（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积
多边形1 8 1
多边形2 7 3
… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S= a+2（b-1）
（用含a、b的代数式表示）．
4．解：填表如下：
格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积
多边形1 8 1 8
多边形2 7 3 11
… … … …
一般格点多边形 a b S
则S与a、b之间的关系为S=a+2（b-1）（用含a、b的代数式表示）．
考点五：阅读材料题型中的新定义
例5 （2013 舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C D=D E=E F=F D，则C，D，E，F四点（ ）
A．在同一条直线上
B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上
D．是同一个正方形的四个顶点
思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上．
解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C D=（x3+x4）+（y3+y4），
D E=（x4+x5）+（y4+y5），
E F=（x5+x6）+（y5+y6），
F D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C D=D E=E F=F D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），
∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上，
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．
故选A．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．
对应训练
5．（2013 天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．
7．解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：
（2）裁剪线的示意图如下：
（3）b：c的值为，
规律如下：第4次操作前短边与长边之比为：；
第3次操作前短边与长边之比为：；
第2次操作前短边与长边之比为：；
第1次操作前短边与长边之比为：．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2013 成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A．y=-x+3 B．y= C．y=2x D．y=-2x2+x-7
1．C
2．（2013 绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
2．D
3．（2013 潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[]=5，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
3．C
4．（2013 乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（ ）
A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5）
4．D
5．（2013 常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．C
二、填空题
6．（2013 上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30°
．
6．30°
7．（2013 宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 4π
．
7．4π
8．（2013 淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 3
条．
8．3
9．（2013 乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n-≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．
给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）=1；
②（2x）=2（x）；
③若（x-1）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；
⑤（x+y）=（x）+（y）；
其中，正确的结论有 ①③④
（填写所有正确的序号）．
9．①③④
三、解答题
10．（2013 莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
10．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
∴AD2=AC CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC=．
11．（2013 大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
11．解：（1）由题意得，
sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=，
cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-，
sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，-，
将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，
解得：m=0，
经检验-是方程4x2-1=0的根，
∴m=0符合题意；
②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2-m×-1=0，
解得：m=0，
经检验不是方程4x2-1=0的根．
综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．
12．（2013 安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： ；
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）
12．解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；
（2）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
∵AE∥DC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE．
∵在△ABE和△DEC中，
，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
∴；
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∴∠BFE=∠CHE=90°．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中
，
∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），
∴∠3=∠4．
∵BE=CE，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB，
∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴ABCD是“准等腰梯形”．
当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：
如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，
∴∠B=∠C，
∴ABCD是“准等腰梯形”．
如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC，
∴∠EBF=∠ECH．
∵BE=CE，
∴∠3=∠4，
∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4，
即∠1=∠2，
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．
13．（2013 北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，-2），F（2，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 D，E
．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．
13．解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
∵⊙O的半径为1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴E点是⊙O的关联点，
∵D（，），E（0，-2），F（2，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，
故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；
故答案为：D，E；
②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，
由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，
连接BC，则PC==2BC=2r，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，
如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，
过点O作l轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF==，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=；
sin∠OPH=，
∴∠OPH=60°，
可得点P1与点G重合，
过点P2作P2M⊥x轴于点M，
可得∠P2OM=30°，
∴OM=OP2cos30°=，
从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，
∴0≤m≤；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；
考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，
此时，r=1，
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．
专题三 开放型问题
一、中考专题诠释
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
二、解题策略与解法精讲
解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲
考点一：条件开放型
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．
例1 （2013 盐城）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式： y=-x+3
．（填上一个答案即可）
思路分析：首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y=kx+b（k≠0）．根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．
解：设此一次函数关系式是：y=kx+b．
把x=0，y=3代入得：b=3，
又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．
故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=-x+3．（答案不唯一）
故答案是：y=-x+3．
点评：本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．
对应训练
1．（2013 达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为 -1
．（只需写出符合条件的一个k的值）
1．-1
考点二：结论开放型：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
例2 （2013 常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： ．
思路分析：根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
解：∵图象在第二、四象限，
∴y=-，
故答案为：y=-．
点评：此题主要考查了反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
对应训练
2．（2013 山西）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息： 该班有50人参与了献爱心活动
．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）
2．该班有50人参与了献爱心活动（答案不唯一）
考点三：条件和结论都开放的问题：
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．
例3 （2013 广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 =
S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
思路分析：（1）根据S1=
S矩形BDEF，S2+S3= S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．
解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，
∴S1=S矩形BDEF，
∴S2+S3=S矩形BDEF，
∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．
对应训练
3．（2013 荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．
3．解：△ACD≌△BCE．
证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE．
四、中考真题演练
一、填空题
1．（2013 徐州）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称： 平行四边形
．
1．平行四边形
2．（2013 钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 y=x（答案不唯一）．
．
2．y=x（答案不唯一）．
3．（2013 连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 -2
．（写出一个即可）
3．-2
4．（2013 连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 -2
．（写出一个即可）
4．-2
5．（2013 北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ．
5．x2+1（答案不唯一）
6．（2013 莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件 AB=DE
，使△ABC≌△DEF．
6．AB=DE
7．（2013 绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 AE=CB
，使得△EAB≌△BCD．
7．AE=CB
8．（2013 义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 AC=AB
．
8．AC=AB
9．（2013 齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 ∠C=∠BAD
（填一个即可）
9．∠C=∠BAD
10．（2013 邵阳）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是 ∠A与∠C（答案不唯一）
．
10．∠A与∠C（答案不唯一）
11．（2013 吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是 6
cm（写出一个符合条件的数值即可）
11．6
12．（2013 昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 4s
．（填出一个正确的即可）
12．4s
三、解答题
13．（2013 杭州）（1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数 (x＞0)的图象经过点B，D，求k的值．
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．
13．解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，
∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，
又∵∠EDM=84°，
∴∠A+3∠A=84°，
解得，∠A=21°；
②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，
∴点B（3，），
∵BC=2，
∴点C（3，+2），
∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，
∴A（1，+2），
∵点A也在反比例函数图象上，
∴+2=k，
解得，k=3；
（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）
14．（2013 盐城）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；
（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）
14．解：（1）调查的总人数是：55+30+15=100（人）；
（2）经常闯红灯的人数是：1500×=225（人）；
（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．
专题四 探究型问题
一、中考专题诠释
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、中考考点精讲
考点一：条件探索型：
此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．
例1 （2013 襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为 60
度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．
解答：（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；
（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵边AD′落在AE上，
∴旋转角=∠DAE=60°；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′与△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
故答案为：60．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过．
对应训练
1．（2013 新疆）如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
考点二：结论探究型：
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．
例2 （2013 牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2
，CB= +1
．
思路分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB-AE即可证得；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
解：（1）如图（2）：AB-BD=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=CB．
如图（3）：BD-AB=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=CB．
（2）如图（2），过点B作BH⊥CD于点H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH=BD=×=1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH=，
∴CB=CH+BH=+1；
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
对应训练
2．（2013 河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC
；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2
．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
2．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF=S△BDE，
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°=2÷=，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，
故BF的长为或．
考点三：规律探究型：
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.
例3 （2013 闸北区二模）观察方程①：x+=3，方程②：x+=5，方程③：x+=7．
（1）方程①的根为： x1=1，x2=2
；方程②的根为： x1=2，x2=3
；方程③的根为： x1=3，x2=4
；
（2）按规律写出第四个方程： =9
；此分式方程的根为： x1=4，x2=5
；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： =2n+1
；此方程解是： x1=n，x2=n+1
．
思路分析：先计算出方程的根，再根据根的变化规律求出方程的一般形式及根的变化规律．
解：（1）两边同时乘以x得，x2-3x+2=0，
方程①根：x1=1，x2=2；
两边同时乘以x得，x2-5x+6=0，
方程②根：x1=2，x2=3；
两边同时乘以x得，x2-7x+12=0，
方程③根：x1=3，x2=4；
（2）方程④：x+=9；方程④根：x1=4，x2=5．
（3）第n个方程：x+=2n+1．
此方程解：x1=n，x2=n+1．
点评：本题考查了分式方程的解，从题目中找出规律是解题的关键．
对应训练
3．（2013 南沙区一模）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是 （2013，1）
．
3．（2013，1）
考点四：存在探索型：
此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．
例4 （2013 呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1） 的值为 ；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
思路分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE=，
∵sin∠BAE==sin∠FEC=，
∴=，
（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB-BK=BC-BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD∥EP，MD=EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
对应训练
4．（2013 陕西）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
4．解：（1）如图1所示，
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，
则直线EF、OM将正方形的面积四等份，
理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AP=CQ，EB=DF，
在△AOP和△EOB中
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOP=∠BOE，
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
∴△AOP≌△EOB，
∴AP=BE=DF=CQ，
设O到正方形ABCD一边的距离是d，
则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，
∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM，
直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；
（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，
理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
∵在△ABP和△DEP中
，
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S△BPC=S△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面积公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP
∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP
即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2013 永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
1．C
2．（2013 安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
2．B
3．（2013 湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
3．C
二、填空题
4．（2013 娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD
（添加一个条件即可）．
4．∠B=∠C或AE=AD
5．（2013 白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD
．（答案不唯一，只需填一个）
5．AC=CD
6．（2013 上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF
．（只需写一个，不添加辅助线）
6．AC=DF
7．（2013 黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： AD=DC
，使得平行四边形ABCD为菱形．
7．AD=DC
8．（2013 西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．
第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；
第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；
第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；
第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；
…
依此规律进行，点A6的坐标为 （-2-3）
；若点An的坐标为（2013，2012），则n= 4023
．
8．（-2-3），4023
9．（2013 湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 -1）
，A92的坐标是 （31，-31）
．
9．（0，），（31，-31）
10．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12°
．
10．12°
三、解答题
11．（2013 茂名）如图，在 ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．
11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE．
∵在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE．
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF．
12．（2013 白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
12．解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
13．（2013 无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）
13．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．
14．（2013 宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．
14．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，-3）代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），
即y=-x2+4x-3，
∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．
15．（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
解：在抛物线y=-x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（-1，3），再向下平移2个单位得到A″（-1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c．则点A″（-1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：
，解得：．所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2．
根据以上信息解答下列问题：
将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
15．解：在直线y=2x-3上任取一点A（0，-3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，-2），
设平移后的解析式为y=2x+b，
则A′（3，-2）在y=2x+b的解析式上，
-2=2×3+b，
解得：b=-8，
所以平移后的直线的解析式为y=2x-8．
16．（2013 湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
16．（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
。
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．
理由是：如图，
设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，
即AP=3x，CD=x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′
17．（2013 淄博）分别以 ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF．
18．（2013 张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
18．（1）证明：如图，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∴OC=EF=6.5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．（2013 衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
19．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴，
即，
∴DM=，
当x=2时，DM有最大值为1．
20．（2013 宁夏）在 ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时， ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
20．解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF=DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE CF，
即y=×x×（10-x）=-x2+5x，
配方得：y=-（x-5）2+，
当x=5时，y有最大值，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°=，
∴CM=CD，
∴CE=CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB．
21．（2013 南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 =k．
（1）证明：△BGF是等腰三角形；
（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？
（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．
21．解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴GF=AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG=AE，
∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形；
（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴=tan∠ACB=，
∴当k=时，△BGF为等边三角形；
（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=∠BGF，
∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k=＞1；
当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k==1；
当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°
∴AB＜BC，
∴k=＜1；
∴0＜k＜1．
22．（2013 德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．
22．（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG2=BO BF，
∴CG2=BO BF；
（3）解：连结OE，如图，
由（2）得BG⊥BC，
∴OG=，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG==2，
由（2）得BG2=BO BF，
∴BF==4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF==2，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4．
23．（2013 泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值．
23．（1）解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴，即，
∴EF=6×=2．
（2）①画图，如答图1所示：
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴；
∵EF∥AB，
∴；
∴．
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得：，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴=．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．
（3）解：由（2）可得：=，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
24．（2013 梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
24．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC sin30°=3×=，
∴CP=CF tan∠CFP=×=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，
∴PG=CG-CP=-1=．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=．
（2）由（1）可知，FC=．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．
过点A过AG⊥BC于点G
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