复数[下学期]

一． 选择题：
1．下列命题中正确的是（ ）。
（A）复数集C与复平面内所有向量组成的集合是一一对应的
（B）原点是复平面的实轴与虚轴的公共点
（C）若|z|≤1，则－1≤z≤1
（D）若z1, z2为共轭虚数，则z1＋z2∈R且z1z2∈R
2．复数isin的三角形式是（ ）。
（A）cos＋isin （B）sin(cos＋isin)
（C）sin(cos＋isin) （D）sin (cos＋isin)
3．设z＝(sin14－icos14)，则复数的辐角主值是（ ）。
（A）8 （B）10 （C）14 （D）26
4．若复数z满足z＋＝－1＋2i，则z等于（ ）。
（A）－－2i （B）－＋2i （C）2i （D）2i或－＋2i
5．已知复数z1＝1＋2i, z2＝3－4i，它们的辐角主值分别是α、β，则2α－β的值是（ ）。
（A）－π （B）－ （C） （D）π
6．复数z＝x＋yi(x, y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2)，则2x＋4x的最小值是（ ）。
（A）2 （B）4 （C）4 （D）8
7．设z∈C，且|z|＝1, 当|z－1＋i|取最大值时，z等于（ ）。
（A）(1＋i) （B）(＋i) （C）(－1＋i) （D）(－1＋i)
8．若z∈C，且|z1|≤, z2＝z1＋i，则z2的辐角主值的范围是（ ）。
（A）[, ] （B）[, ] （C）[, ] （D）[0, ]∪[,2π]
9．已知关于x的方程ax2＋(1＋2i)x－2a(1－i)＝0有实根，则实数a的值是（ ）。
（A）±3 （B）± （C）0, ±3 （D）0,±
10．设复数z1, z2满足10z12＋5z22＝2z1z2，且z1＋2z2为纯虚数，则3z1－z2为（ ）。
（A）实数 （B）虚数 （C）纯虚数 （D）零
二．填空题：
11．计算：＝ .
12．若z＝1－cos2θ＋isin2θ,θ∈(－, 0)，则z的辐角主值是 .
13．设z1＝, z2＝，则|z2|＝ .
14．设f (z)＝1－, z1＝2＋3i，z2＝5－i, 则f ()＝ .
三．解答题：
15．计算：.
16．设z∈C，且|z－2|＝2, z＋∈R，求z.
17．设，ω＝z＋ai, (a∈R), z＝,
(1) 求z的三角形式；
(2) 当0≤a≤3时，求|ω|的取值范围；
(3) 当|ω|≤2时, 求argω的取值范围。
18．满足z＋2i(－z)＋2＝0且arg(z－2)＝的复数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由。
高中三年级 班 学号 姓名 成绩 .
一．选择题：(每题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二．填空题：(每题5分，共20分)
11
12
13
14
三．解答题：(每题10分，共40分)
15．计算：.
16．设z∈C，且|z－2|＝2, z＋∈R，求z.
17．设，ω＝z＋ai, (a∈R), z＝,
(1) 求z的三角形式；
(2) 当0≤a≤3时，求|ω|的取值范围；
(3) 当|ω|≤2时, 求argω的取值范围。
18．满足z＋2i(－z)＋2＝0且arg(z－2)＝的复数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由。
参考答案
一．选择题：(每题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
A
C
D
A
D
A
二．填空题：(每题5分，共20分)
11
－1＋i
12
－θ
13
14
三．解答题：(每题10分，共40分)
15．－1－i
16．设z=x＋yi, (x, y∈R), 则z－2==(x－2)＋yi,
∴ z＋=(x＋yi)＋=(x＋)＋(y－)i,
由已知条件z＋∈R可得y－=0, ∴y=0或x2＋y2=4,
当y=0时, 得z∈R, ∴ 由|z－2|=2, 解得z=4或z=0(舍去)，
当x2＋y2=4时, 由|z－2|=2,得(x－2)2＋y2=4, ∴ , z=1＋i或z=1－i,
∴ z=4或z=1±i,
17．(1) z=1－i=(cos＋isin);
(2) ∵ ω=1＋(a－1)i, ∴ |ω|2=1＋(a－1)2, 又0≤a≤3), ∴ 1≤|ω|≤;
(3) ∵|ω|2=1＋(a－1)2≤2, ∴ －1≤a－1≤1, 设α＝argω, 则0≤α<2π,
∵ tgα=a－1, 又ω的实部为1，虚部为a－1，∴ ,
∴ argω∈[0, ]∪[, 2π).
18．设存在满足条件的复数z=x＋yi, (x, y∈R),
则有已知z＋2i(－z)＋2＝0可得x2＋y2＋2i(－2yi)＋2＋2=0即x2＋y2＋4y＋2=0,
又z－2=(x－2)＋yi, arg(z－2)＝, ∴ y=x－2, 联立解得,
即z=1－i, 或z=－1－3i, 这两个复数与arg(z－2)=都矛盾，
∴ 满足条件的复数不存在。