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广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2023高三上·光明期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可知：，
故答案为：C
【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.
2．（2022高三上·孝感月考）若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】，
，，
所以.
故答案为：B
【分析】根据共轭复数和复数的模即可求解.
3．（2023高三上·光明期中）在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
4．（2023高三上·光明期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列与不等式的综合
【解析】【解答】取，则，故为等差数列，
但，，，不为等比数列，故数列不是等比数列，
故“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，故，其中，
故，
故，故数列为等差数列，
故“数列为等比数列”可推出“数列为等差数列”，
故“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】取，得到为等差数列，而不为等比数列，可判定充分性不成立；由数列为等比数列，根据等比数的通项公式，化简得到，得到数列为等差数列，得出必要性成立，即可求解.
5．（2023高三上·光明期中）已知向量．若不超过5，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的加法及其几何意义；平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】因为，所以，，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据题意，求得，结合题意和向量的模长公式，列出不等式，即可求解.
6．（2023高三上·光明期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】圆内接四边形中，，所以 ，
过点C作交延长线于点E，所以四边形是直角梯形，
，故 是等腰直角三角形；
所以四边形沿旋转一周，得到的旋转体是圆锥与圆台的组合体，
即圆台挖去一个以圆台上底面为底面的圆锥，
， ，
所以旋转体的体积 ．
故答案为：D．
【分析】过点C作交延长线于点E，得到四边形是直角梯形，根据旋转体的定义，得到将四边形沿旋转一周得到的旋转体是圆锥与圆台的组合体，结合圆台和圆锥的体积公式，即可求解.
7．（2023高三上·光明期中）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）参考数据：
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】，令，两边同时取常用对数得，
∴，∴，结合选项知与最接近的数为.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得，令，两边同时取常用对数得，结合对数的预算公式，即可求解.
8．（2023高三上·光明期中）定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题知为偶函数，，
①，
将代换为可得：
②
①-②可得，
，
周期为4，
，，
，，
时单调递增，
由以上可知：
；
，
，
将代入上式，则有，
，
，
，
将代入上式，则有，
，
，
若比较的大小，只需比较的大小，
，
只需要比较的大小，
两式相减可得：，
记，
，
，
单调递增，
则，
即，
故，
时单调递增，
，
，
.
故答案为：C
【分析】由题意推得，得到周期为4，再求得，的函数为单调递增函数，可得；，将代入，得到，进而得到，再将代入得到，得出，转化为比较和的大小，进而比较的大小，作差得到，令函数，利用导数求得函数的单调性，利用单调性得到，即，进而得到答案.
二、多选题
9．（2023高三上·光明期中）已知数列满足，则下列结论中确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列递推式
【解析】【解答】，则 ，又 ，
同理 ，A符合题意；
而 ，故不是等比数列，B不符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据数列的递推关系式，可求得的值，可判定A符合题意；根据 ，可判定B不符合题意；根据，结合等比数列的求和公式，可判定C符合题意；由，结合等比数列的求和公式，可判定D符合题意.
10．（2023高三上·光明期中）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由图象（1）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
由图（2）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
对于A，的最小正周期为，A不符合题意；
对于B，，
故函数的图象关于直线对称，B符合题意；
对于C，即为，
故或，，
故或，.
令，故；
令，故；
故在区间上有4个零点，C符合题意.
对于D，函数的图像向左平移，
其图象对应的解析式为：
.
D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】根据图象（1），结合三角函数的图象与性质，求得函数，由图（2）求得，再利用三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，结合选项，逐项判定，即可求解.
11．（2023高三上·光明期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】A,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【解答】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，A符合题意；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，B不符合题意；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，C不符合题意；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】求得，得出函数的单调区间，结合极值点的概念，可判定A符合题意；
由，，，结合零点的存在性定理，可判定B错误；令，求得是奇函数，结合函数的图象变换，得到点是曲线的对称中心，可判定C不符合题意；令，求得，结合导数的几何意义，即可求得切线方程，可判定D符合题意.
12．（2023高三上·光明期中）下列命题中真命题有（ ）
A．若，则是钝角
B．数列的前n项和为，若，则
C．若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则
D．若，分别表示的面积，则
【答案】C,D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A，若，则，A不符合题意；
对于B，因为，所以当时有，
两式相减可得，即，
当时，，所以，B不符合题意；
对于C，因为函数为偶函数，所以，所以，
因为是定义域为的奇函数，所以，C符合题意；
对于D，如图，设线段的中点分别为，连接，
因为，所以，
所以，即，
即点是线段靠近点的三等分点，
所以，D符合题意；
故答案为：CD
【分析】由得到，可判定A不符合题意；由当时有，两式相减得到，结合所以，可判定B不符合题意；由为偶函数，推得，进而可判定C符合题意；设线段的中点分别为，连接，根据，得到，即点是线段靠近点的三等分点，进而可判定D符合题意.
三、填空题
13．（2023高三上·光明期中）已知函数，则函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数 的单调递增区间是.
故答案为：.
【分析】求得，结合，即可求解.
14．（2023高三上·光明期中）当时，函数的最小值为 ；
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，则，则.
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
15．（2023高三上·光明期中）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象．如图（1）是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；向量在几何中的应用
【解析】【解答】在中，设，，
则，所以，
又，
所以，
所以，，
所以
故答案为：
【分析】设，利用余弦定理求得，再由，求得的长度，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
16．（2023高三上·光明期中）已知数列的前项和为，，，则数列 ．
【答案】
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】由题意得到，化简得到，结合累积法，即可求解.
四、解答题
17．（2023高三上·光明期中）已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）的内角的对边分别为．若，求的面积．
【答案】（1）解：
结合正弦函数的图象与性质，可得当，
即时，函数单调递增，
∴函数的单调递增区间为．
（2）解：∵由余弦定理得，
所以，即
解得，所以，
．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换的公式，求得 ，结合三角函数的性质，即可求得 的单调递增区间；
（2） 由余弦定理列出方程求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
18．（2023高三上·光明期中）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
由得，
因为是与的等比中项，
所以．
化简得且，
解方程组得或．
故的通项公式为或（其中）；
因为，
所以，，
所以，
因为，满足上式，
所以；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
所以
，
易见随n的增大而增大，从而恒成立，
所以，故的最小值为.
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1） 设等差数列的公差为d，根据题意得到和的关系式，求得的值，求得的通项公式；再由，结合，即可求得 的通项公式；
（2） 由（1）求得，结合裂项法求和求得，结合题意进而求得，即可求解..
19．（2023高三上·光明期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，得：
由正弦定理得：
又，所以，
故，即，则；
（2）解：由正弦定理得：
所以
又因为，所以，又，故，
故，则，所以
故的取值范围为．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到，再由正弦定理和三角形的内角和定理化简得到，即可求解；
（2） 由正弦定理得到，化简，结合，利用正弦函数的性质，即可求解.
20．（2023高三上·光明期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，．点E为棱的中点，点F为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明：取中点H，连接，
∵，
∴，
∵底面，底面，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，点E，H分别为的中点，∴，
又，∴，
∵H为中点．∴，
∵，∴四边形为平行四边形，，
∵，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴．
（2）解：如图，以A为原点，分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 取中点H，连接，证得和，根据线面垂直的判定定理证得平面，从而得到，再利用线面垂直的判定定理证得平面，即可证得；
（2） 以A为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
21．（2023高三上·光明期中）已知公比大于1的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和．
【答案】（1）解：设的公比为．
由题设得解得或 （舍），
所以的通项公式为；
（2）解：由（1）得，所以…①，运用错位相减法：
…②，①-②得：
，
所以；
综上， ，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 设的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2） 由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求得.
22．（2023高三上·光明期中）已知函数（a为常数）．
（1）若函数在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
是定义域上的单调递增函数，
在定义域上恒成立，即在上恒成立．
即，令，则，当且仅当等号成立．
实数的取值范围为，．
（2）解：由（1）知，
根据题意由有两个极值点，即方程有两个正根，．
所以，，
不妨设，则在，上是减函数，
，
，
令，则，又，
即，解得，．
设，
则，在，上单调递增，
， ，，
即，
所以的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1） 求得，根据题意转化为在定义域上恒成立，即在上恒成立，令，结合基本不等式求得的最小值，即可求解；
（2） 根据题意转化为方程有两个正根，，得到，，不妨设，得到，令，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
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广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2023高三上·光明期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·孝感月考）若，则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·光明期中）在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·光明期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023高三上·光明期中）已知向量．若不超过5，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·光明期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·光明期中）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）参考数据：
A． B． C． D．
8．（2023高三上·光明期中）定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023高三上·光明期中）已知数列满足，则下列结论中确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
10．（2023高三上·光明期中）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
11．（2023高三上·光明期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
12．（2023高三上·光明期中）下列命题中真命题有（ ）
A．若，则是钝角
B．数列的前n项和为，若，则
C．若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则
D．若，分别表示的面积，则
三、填空题
13．（2023高三上·光明期中）已知函数，则函数的单调递增区间是 ．
14．（2023高三上·光明期中）当时，函数的最小值为 ；
15．（2023高三上·光明期中）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象．如图（1）是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形，若，则 ．
16．（2023高三上·光明期中）已知数列的前项和为，，，则数列 ．
四、解答题
17．（2023高三上·光明期中）已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）的内角的对边分别为．若，求的面积．
18．（2023高三上·光明期中）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．
19．（2023高三上·光明期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，且，求的取值范围．
20．（2023高三上·光明期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，．点E为棱的中点，点F为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
21．（2023高三上·光明期中）已知公比大于1的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和．
22．（2023高三上·光明期中）已知函数（a为常数）．
（1）若函数在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可知：，
故答案为：C
【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】，
，，
所以.
故答案为：B
【分析】根据共轭复数和复数的模即可求解.
3．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列与不等式的综合
【解析】【解答】取，则，故为等差数列，
但，，，不为等比数列，故数列不是等比数列，
故“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，故，其中，
故，
故，故数列为等差数列，
故“数列为等比数列”可推出“数列为等差数列”，
故“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】取，得到为等差数列，而不为等比数列，可判定充分性不成立；由数列为等比数列，根据等比数的通项公式，化简得到，得到数列为等差数列，得出必要性成立，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】向量的加法及其几何意义；平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】因为，所以，，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据题意，求得，结合题意和向量的模长公式，列出不等式，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】圆内接四边形中，，所以 ，
过点C作交延长线于点E，所以四边形是直角梯形，
，故 是等腰直角三角形；
所以四边形沿旋转一周，得到的旋转体是圆锥与圆台的组合体，
即圆台挖去一个以圆台上底面为底面的圆锥，
， ，
所以旋转体的体积 ．
故答案为：D．
【分析】过点C作交延长线于点E，得到四边形是直角梯形，根据旋转体的定义，得到将四边形沿旋转一周得到的旋转体是圆锥与圆台的组合体，结合圆台和圆锥的体积公式，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】，令，两边同时取常用对数得，
∴，∴，结合选项知与最接近的数为.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得，令，两边同时取常用对数得，结合对数的预算公式，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题知为偶函数，，
①，
将代换为可得：
②
①-②可得，
，
周期为4，
，，
，，
时单调递增，
由以上可知：
；
，
，
将代入上式，则有，
，
，
，
将代入上式，则有，
，
，
若比较的大小，只需比较的大小，
，
只需要比较的大小，
两式相减可得：，
记，
，
，
单调递增，
则，
即，
故，
时单调递增，
，
，
.
故答案为：C
【分析】由题意推得，得到周期为4，再求得，的函数为单调递增函数，可得；，将代入，得到，进而得到，再将代入得到，得出，转化为比较和的大小，进而比较的大小，作差得到，令函数，利用导数求得函数的单调性，利用单调性得到，即，进而得到答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列递推式
【解析】【解答】，则 ，又 ，
同理 ，A符合题意；
而 ，故不是等比数列，B不符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据数列的递推关系式，可求得的值，可判定A符合题意；根据 ，可判定B不符合题意；根据，结合等比数列的求和公式，可判定C符合题意；由，结合等比数列的求和公式，可判定D符合题意.
10．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由图象（1）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
由图（2）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
对于A，的最小正周期为，A不符合题意；
对于B，，
故函数的图象关于直线对称，B符合题意；
对于C，即为，
故或，，
故或，.
令，故；
令，故；
故在区间上有4个零点，C符合题意.
对于D，函数的图像向左平移，
其图象对应的解析式为：
.
D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】根据图象（1），结合三角函数的图象与性质，求得函数，由图（2）求得，再利用三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，结合选项，逐项判定，即可求解.
11．【答案】A,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【解答】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，A符合题意；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，B不符合题意；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，C不符合题意；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】求得，得出函数的单调区间，结合极值点的概念，可判定A符合题意；
由，，，结合零点的存在性定理，可判定B错误；令，求得是奇函数，结合函数的图象变换，得到点是曲线的对称中心，可判定C不符合题意；令，求得，结合导数的几何意义，即可求得切线方程，可判定D符合题意.
12．【答案】C,D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A，若，则，A不符合题意；
对于B，因为，所以当时有，
两式相减可得，即，
当时，，所以，B不符合题意；
对于C，因为函数为偶函数，所以，所以，
因为是定义域为的奇函数，所以，C符合题意；
对于D，如图，设线段的中点分别为，连接，
因为，所以，
所以，即，
即点是线段靠近点的三等分点，
所以，D符合题意；
故答案为：CD
【分析】由得到，可判定A不符合题意；由当时有，两式相减得到，结合所以，可判定B不符合题意；由为偶函数，推得，进而可判定C符合题意；设线段的中点分别为，连接，根据，得到，即点是线段靠近点的三等分点，进而可判定D符合题意.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数 的单调递增区间是.
故答案为：.
【分析】求得，结合，即可求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，则，则.
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
15．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；向量在几何中的应用
【解析】【解答】在中，设，，
则，所以，
又，
所以，
所以，，
所以
故答案为：
【分析】设，利用余弦定理求得，再由，求得的长度，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
16．【答案】
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】由题意得到，化简得到，结合累积法，即可求解.
17．【答案】（1）解：
结合正弦函数的图象与性质，可得当，
即时，函数单调递增，
∴函数的单调递增区间为．
（2）解：∵由余弦定理得，
所以，即
解得，所以，
．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换的公式，求得 ，结合三角函数的性质，即可求得 的单调递增区间；
（2） 由余弦定理列出方程求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
由得，
因为是与的等比中项，
所以．
化简得且，
解方程组得或．
故的通项公式为或（其中）；
因为，
所以，，
所以，
因为，满足上式，
所以；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
所以
，
易见随n的增大而增大，从而恒成立，
所以，故的最小值为.
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1） 设等差数列的公差为d，根据题意得到和的关系式，求得的值，求得的通项公式；再由，结合，即可求得 的通项公式；
（2） 由（1）求得，结合裂项法求和求得，结合题意进而求得，即可求解..
19．【答案】（1）解：由，得：
由正弦定理得：
又，所以，
故，即，则；
（2）解：由正弦定理得：
所以
又因为，所以，又，故，
故，则，所以
故的取值范围为．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到，再由正弦定理和三角形的内角和定理化简得到，即可求解；
（2） 由正弦定理得到，化简，结合，利用正弦函数的性质，即可求解.
20．【答案】（1）证明：取中点H，连接，
∵，
∴，
∵底面，底面，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，点E，H分别为的中点，∴，
又，∴，
∵H为中点．∴，
∵，∴四边形为平行四边形，，
∵，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴．
（2）解：如图，以A为原点，分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 取中点H，连接，证得和，根据线面垂直的判定定理证得平面，从而得到，再利用线面垂直的判定定理证得平面，即可证得；
（2） 以A为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
21．【答案】（1）解：设的公比为．
由题设得解得或 （舍），
所以的通项公式为；
（2）解：由（1）得，所以…①，运用错位相减法：
…②，①-②得：
，
所以；
综上， ，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 设的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2） 由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求得.
22．【答案】（1）解：，
，
是定义域上的单调递增函数，
在定义域上恒成立，即在上恒成立．
即，令，则，当且仅当等号成立．
实数的取值范围为，．
（2）解：由（1）知，
根据题意由有两个极值点，即方程有两个正根，．
所以，，
不妨设，则在，上是减函数，
，
，
令，则，又，
即，解得，．
设，
则，在，上单调递增，
， ，，
即，
所以的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1） 求得，根据题意转化为在定义域上恒成立，即在上恒成立，令，结合基本不等式求得的最小值，即可求解；
（2） 根据题意转化为方程有两个正根，，得到，，不妨设，得到，令，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
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