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河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·信阳期中）在空间直角坐标系中，点关于平面yoz对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二上·信阳期中）下列直线在轴上的截距为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·信阳期中）直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·信阳期中）设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二上·信阳期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高二上·信阳期中）设，，为空间单位向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·信阳期中）若圆与圆外切，则实数n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022高二上·信阳期中）如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022高二上·信阳期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2022高二上·信阳期中）将一条线段AB分为两线段AC，CB，若，则称点C为线段AB的黄金分割点.已知圆O以AB为直径，C为线段AB的黄金分割点，直线l过点C且垂直于AB，则圆O上到直线l的距离等于的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2022高二上·信阳期中）过点作直线l分别交x，y轴于A，B两点，当（O为坐标原点）的面积等于12时，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．（2022高二上·信阳期中）已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二上·信阳期中）与向量反向的单位向量的坐标为 .
14．（2022高二上·信阳期中）平面的法向量为，平面β的法向量为，若，则m= .
15．（2022高二上·信阳期中）已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为
16．（2022高二上·信阳期中）某镇有、两所卫生院，分别位于镇政府的西侧和东侧，都距镇政府1公里，为使居民打新冠疫苗有序且不拥挤，规定：某地到院的距离小于到院距离的2倍，在院打疫苗，到院的距离大于到院距离的2倍，在院打疫苗，到院的距离等于到院距离的2倍，在、两院都可打疫苗.则、两院都可打疫苗的点的轨迹的形状是 ，到院打疫苗的居民的最远距离为 公里.
三、解答题
17．（2022高二上·信阳期中）如图，设E是正方体棱的中点，.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值.
18．（2022高二上·信阳期中）已知圆经过，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于两点，求；
（3）过作圆的两条切线，求切线的长.
19．（2022高二上·信阳期中）四边形四个顶点是.
（1）证明：四边形为直角梯形；
（2）求边垂直平分线的方程；
（3）求平分线所在直线的方程.
20．（2022高二上·信阳期中）已知点，，圆以为直径，点为圆上任一点，过作轴的垂线段，垂足为，在上，且，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设点为曲线上异于的任一点，求的值.
21．（2022高二上·信阳期中）如图，在三棱锥 中，，O为 的中点，，平面平面 ，点E在棱 上，为等边三角形.
（1）若E是的中点，求与平面所成角的正弦值；
（2）若，求二面角的大小.
22．（2022高二上·信阳期中）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于平面yoz对称点的坐标为，
故答案为：A.
【分析】利用空间点关于平面的对称求解.
2．【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】分别令，A中得，B中得，C中得，只有D中，，
故答案为：D.
【分析】令，求出直线与轴交点的纵坐标，即可得解.
3．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，则向量与平行，
所以，，
所以，，.
所以.
故答案为：B.
【分析】由线面垂直时，直线的方向向量与平面法向量平行，得解决即可.
4．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为向量，，不共面，，
所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面，
对于A，，A不符合题意；
对于B，，B符合题意；
对于C，，C不符合题意；
对于D，，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时，两直线方程分别为与，满足两直线平行.
当时，两直线方程分别为与，也满足两直线平行，因此直线与直线平行时不能得出.
“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由充分条件和必要条件的定义，分别对充分性和必要性作出判断.
6．【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】由 ，，为空间单位向量 ，由，并结合数量积的运算公式，从而求出.
7．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由，配方，得，
圆心，半径为3；
又圆，圆心（1，0），半径为.
因为两圆外切，则，解得：.
故答案为：C.
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，然后利用两圆外切，圆心距等于半径之和即可求解.
8．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，M(1，1，0).
则有，，
设平面的法向量为，
则 即
令，得平面的一个法向量为，又，
所以A1到平面的距离.
故答案为：D.
【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离．
9．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】方程可化为，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，故，.
故答案为：D.
【分析】先将方程化椭圆的标准方程，再由焦点在轴上得到，从而得解.
10．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】，，，，
因为，所以，
所以，圆O上到直线l的距离等于的点有4个.
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的定义得到，，然后与比较大小，即可得到圆O上到直线l的距离等于的点的个数.
11．【答案】C
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】设直线，则，
即①或②
方程①有两解，方程②有唯一解.故这样的直线有3条.
故答案为：C.
【分析】设直线的截距式方程，结合三角形面积列方程组，方程组解的个数即为直线的条数.
12．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】，由已知得，由得，，
，直线与轴交于，
当在点与点之间（包括点）时，
，，
则有，所以，，
，故，所以，，又，，故；
当在点的左侧时，
解得，，
由得，此时，，
点到直线的距离，
，得，
则有，所以，，
又，，故，，即.
综上所述：实数b的取值范围.
故答案为：D.
【分析】计算直线和轴的交点，计算，考虑当在点与点之间（包括点）时，和当在点的左侧时两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案.
13．【答案】
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：与向量反向的单位向量为.
故答案为：.
【分析】根据向量的反向的单位向量的定义求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，即，所以.
故答案为：
【分析】因为，所以，由数量积坐标运算求解.
15．【答案】（答案不唯一，<1）
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意当为短轴端点时，为钝角，∴，∴，，，∴．
答案可为．
【分析】当为短轴端点时，最大，因此满足题意时，此角必为钝角．
16．【答案】圆；2
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：如图，以镇政府为坐标原点，向东，向北方向分别为、轴建立坐标系，
则，，设为到、两院都可打疫苗的点，依题意，，
，，得，
化简，得，即，
所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
显然圆上或内的点在院打疫苗，院打疫苗的居民的最远距离，
即为圆上的点离院最远距离为公里.
故答案为：圆；2.
【分析】以镇政府为坐标原点，向东，向北方向分别为、轴建立坐标系，则、两所卫生院的坐标为，，设为到、两院都可打疫苗的点，依题意，，由两点间距离公式可得轨迹方程为圆，当过点的直径时有最远距离.
17．【答案】（1）证明：如图，分别以，，所在直线为 轴建立直角坐标系，
则，，，，，
，，
，故
所以，.
（2）解：由，，
，
即与所成角的余弦值为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得 ，， 计算， 所以，；
（2）求出 ，， 利用向量的夹角公式即可求得答案.
18．【答案】（1）解：设圆心坐标为，则，解得，
圆心，半径为，所求圆的方程为
（2）解：圆心到直线即的距离为，
则
（3）解：设两个切点分别为，，则，
即切线长为3.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为 ，则，解得， 可得圆的方程为 ；
（2）计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可；
（3）计算，再利用切线长公式计算得到答案.
19．【答案】（1）证明：由，，，，
，，所以，，与不平行，所以为梯形，
又，，所以为直角梯形.
（2）解：由的中点，边垂直平分线的斜率，
利用点斜式可得边垂直平分线的方程为：，
即.
（3）解：解法1：直线，即，直线，即，
设是平分线所在直线上的一点，则，即，或.
易知，平分线的倾斜角为锐角，故平分线所在直线的方程为.
解法2：设直线AD的倾斜角为，则，设平分线的倾斜角为，则
，所以平分线的方程为，即.
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）在四边形中，由两直线的斜率相等，则两直线平行，反之则两直线不平行，可得， 与不平行 ，所以为梯形，又，所以为直角梯形；
（2） 由的中点，边垂直平分线的斜率，利用点斜式可得边垂直平分线的方程；
（3）解法1：利用角平分线上的点到角两边的距离相等，易知平分线的倾斜角为锐角，从而求出平分线所在直线的方程；解法2：设平分线的倾斜角为，并求出即平分线的斜率，利用点斜式可得平分线所在直线的方程.
20．【答案】（1）解：由题知，圆的方程为：，
因为点为圆上任一点，过作轴的垂线段，垂足为，在上，
设，，则，，
因为，所以，
因为，
所以，即.
所以曲线的方程为
（2）解：由（1）知曲线的方程为，
设，则，，
所以
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题知 ，故设 ，，进而根据向量关系得，再根据即可得答案；
（2）设，则，进而计算即可得答案.
21．【答案】（1）解：，O为 中点，
，平面平面，平面，
平面平面，平面.
取 中点F，为正三角形，，过O作与交于M点，
则， 两两垂直，以O为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，，， ，，
则，，
设平面的法向量为，则 ，
，设，则，
，设与平面所成角为，
则
另解：，O为 中点，
，平面平面，平面，
平面平面，平面.
因为为等边三角形，O为 中点，
故，所以，为直角三角形，且，
又，分别以为 轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，若E是 的中点，则，
，
设平面 的法向量为，则
，不妨设，则，
，设与平面所成角为，
则.
（2）解：若，，则，，
设平面的法向量为，则 ，
，设，则，
因为平面，可取平面的法向量为，
，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
另解：若，则，，
设平面的法向量为，则，，
不妨设，则，
平面 的法向量为，
，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）证明两两垂直， 分别以为 轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得相关点以及向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案；
（2）求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.
22．【答案】（1）解：设椭圆C的方程为，
由，知，代入椭圆方程，
得，解得，
则 ，解得，，
所以椭圆C的标准方程为
（2）解：显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，由
，消去y得.
由，得.①
所以，
.
即切点N的坐标为，
以为直径的圆恒过点，则.
又M的坐标为，，
，，
，
化简，得.
上式满足①式任意的k，m成立，则.
故存在直线满足题意.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据可得，进而，解方程组即可；
（2）设直线MN的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理求出点N的坐标，根据圆的性质可得，结合点M、的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可.
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河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·信阳期中）在空间直角坐标系中，点关于平面yoz对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于平面yoz对称点的坐标为，
故答案为：A.
【分析】利用空间点关于平面的对称求解.
2．（2022高二上·信阳期中）下列直线在轴上的截距为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】分别令，A中得，B中得，C中得，只有D中，，
故答案为：D.
【分析】令，求出直线与轴交点的纵坐标，即可得解.
3．（2022高二上·信阳期中）直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，则向量与平行，
所以，，
所以，，.
所以.
故答案为：B.
【分析】由线面垂直时，直线的方向向量与平面法向量平行，得解决即可.
4．（2022高二上·信阳期中）设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为向量，，不共面，，
所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面，
对于A，，A不符合题意；
对于B，，B符合题意；
对于C，，C不符合题意；
对于D，，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.
5．（2022高二上·信阳期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时，两直线方程分别为与，满足两直线平行.
当时，两直线方程分别为与，也满足两直线平行，因此直线与直线平行时不能得出.
“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由充分条件和必要条件的定义，分别对充分性和必要性作出判断.
6．（2022高二上·信阳期中）设，，为空间单位向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】由 ，，为空间单位向量 ，由，并结合数量积的运算公式，从而求出.
7．（2022高二上·信阳期中）若圆与圆外切，则实数n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由，配方，得，
圆心，半径为3；
又圆，圆心（1，0），半径为.
因为两圆外切，则，解得：.
故答案为：C.
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，然后利用两圆外切，圆心距等于半径之和即可求解.
8．（2022高二上·信阳期中）如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，M(1，1，0).
则有，，
设平面的法向量为，
则 即
令，得平面的一个法向量为，又，
所以A1到平面的距离.
故答案为：D.
【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离．
9．（2022高二上·信阳期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】方程可化为，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，故，.
故答案为：D.
【分析】先将方程化椭圆的标准方程，再由焦点在轴上得到，从而得解.
10．（2022高二上·信阳期中）将一条线段AB分为两线段AC，CB，若，则称点C为线段AB的黄金分割点.已知圆O以AB为直径，C为线段AB的黄金分割点，直线l过点C且垂直于AB，则圆O上到直线l的距离等于的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】，，，，
因为，所以，
所以，圆O上到直线l的距离等于的点有4个.
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的定义得到，，然后与比较大小，即可得到圆O上到直线l的距离等于的点的个数.
11．（2022高二上·信阳期中）过点作直线l分别交x，y轴于A，B两点，当（O为坐标原点）的面积等于12时，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】设直线，则，
即①或②
方程①有两解，方程②有唯一解.故这样的直线有3条.
故答案为：C.
【分析】设直线的截距式方程，结合三角形面积列方程组，方程组解的个数即为直线的条数.
12．（2022高二上·信阳期中）已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】，由已知得，由得，，
，直线与轴交于，
当在点与点之间（包括点）时，
，，
则有，所以，，
，故，所以，，又，，故；
当在点的左侧时，
解得，，
由得，此时，，
点到直线的距离，
，得，
则有，所以，，
又，，故，，即.
综上所述：实数b的取值范围.
故答案为：D.
【分析】计算直线和轴的交点，计算，考虑当在点与点之间（包括点）时，和当在点的左侧时两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案.
二、填空题
13．（2022高二上·信阳期中）与向量反向的单位向量的坐标为 .
【答案】
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：与向量反向的单位向量为.
故答案为：.
【分析】根据向量的反向的单位向量的定义求解即可.
14．（2022高二上·信阳期中）平面的法向量为，平面β的法向量为，若，则m= .
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，即，所以.
故答案为：
【分析】因为，所以，由数量积坐标运算求解.
15．（2022高二上·信阳期中）已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为
【答案】（答案不唯一，<1）
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意当为短轴端点时，为钝角，∴，∴，，，∴．
答案可为．
【分析】当为短轴端点时，最大，因此满足题意时，此角必为钝角．
16．（2022高二上·信阳期中）某镇有、两所卫生院，分别位于镇政府的西侧和东侧，都距镇政府1公里，为使居民打新冠疫苗有序且不拥挤，规定：某地到院的距离小于到院距离的2倍，在院打疫苗，到院的距离大于到院距离的2倍，在院打疫苗，到院的距离等于到院距离的2倍，在、两院都可打疫苗.则、两院都可打疫苗的点的轨迹的形状是 ，到院打疫苗的居民的最远距离为 公里.
【答案】圆；2
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：如图，以镇政府为坐标原点，向东，向北方向分别为、轴建立坐标系，
则，，设为到、两院都可打疫苗的点，依题意，，
，，得，
化简，得，即，
所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
显然圆上或内的点在院打疫苗，院打疫苗的居民的最远距离，
即为圆上的点离院最远距离为公里.
故答案为：圆；2.
【分析】以镇政府为坐标原点，向东，向北方向分别为、轴建立坐标系，则、两所卫生院的坐标为，，设为到、两院都可打疫苗的点，依题意，，由两点间距离公式可得轨迹方程为圆，当过点的直径时有最远距离.
三、解答题
17．（2022高二上·信阳期中）如图，设E是正方体棱的中点，.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，分别以，，所在直线为 轴建立直角坐标系，
则，，，，，
，，
，故
所以，.
（2）解：由，，
，
即与所成角的余弦值为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得 ，， 计算， 所以，；
（2）求出 ，， 利用向量的夹角公式即可求得答案.
18．（2022高二上·信阳期中）已知圆经过，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于两点，求；
（3）过作圆的两条切线，求切线的长.
【答案】（1）解：设圆心坐标为，则，解得，
圆心，半径为，所求圆的方程为
（2）解：圆心到直线即的距离为，
则
（3）解：设两个切点分别为，，则，
即切线长为3.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为 ，则，解得， 可得圆的方程为 ；
（2）计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可；
（3）计算，再利用切线长公式计算得到答案.
19．（2022高二上·信阳期中）四边形四个顶点是.
（1）证明：四边形为直角梯形；
（2）求边垂直平分线的方程；
（3）求平分线所在直线的方程.
【答案】（1）证明：由，，，，
，，所以，，与不平行，所以为梯形，
又，，所以为直角梯形.
（2）解：由的中点，边垂直平分线的斜率，
利用点斜式可得边垂直平分线的方程为：，
即.
（3）解：解法1：直线，即，直线，即，
设是平分线所在直线上的一点，则，即，或.
易知，平分线的倾斜角为锐角，故平分线所在直线的方程为.
解法2：设直线AD的倾斜角为，则，设平分线的倾斜角为，则
，所以平分线的方程为，即.
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）在四边形中，由两直线的斜率相等，则两直线平行，反之则两直线不平行，可得， 与不平行 ，所以为梯形，又，所以为直角梯形；
（2） 由的中点，边垂直平分线的斜率，利用点斜式可得边垂直平分线的方程；
（3）解法1：利用角平分线上的点到角两边的距离相等，易知平分线的倾斜角为锐角，从而求出平分线所在直线的方程；解法2：设平分线的倾斜角为，并求出即平分线的斜率，利用点斜式可得平分线所在直线的方程.
20．（2022高二上·信阳期中）已知点，，圆以为直径，点为圆上任一点，过作轴的垂线段，垂足为，在上，且，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设点为曲线上异于的任一点，求的值.
【答案】（1）解：由题知，圆的方程为：，
因为点为圆上任一点，过作轴的垂线段，垂足为，在上，
设，，则，，
因为，所以，
因为，
所以，即.
所以曲线的方程为
（2）解：由（1）知曲线的方程为，
设，则，，
所以
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题知 ，故设 ，，进而根据向量关系得，再根据即可得答案；
（2）设，则，进而计算即可得答案.
21．（2022高二上·信阳期中）如图，在三棱锥 中，，O为 的中点，，平面平面 ，点E在棱 上，为等边三角形.
（1）若E是的中点，求与平面所成角的正弦值；
（2）若，求二面角的大小.
【答案】（1）解：，O为 中点，
，平面平面，平面，
平面平面，平面.
取 中点F，为正三角形，，过O作与交于M点，
则， 两两垂直，以O为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，，， ，，
则，，
设平面的法向量为，则 ，
，设，则，
，设与平面所成角为，
则
另解：，O为 中点，
，平面平面，平面，
平面平面，平面.
因为为等边三角形，O为 中点，
故，所以，为直角三角形，且，
又，分别以为 轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，若E是 的中点，则，
，
设平面 的法向量为，则
，不妨设，则，
，设与平面所成角为，
则.
（2）解：若，，则，，
设平面的法向量为，则 ，
，设，则，
因为平面，可取平面的法向量为，
，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
另解：若，则，，
设平面的法向量为，则，，
不妨设，则，
平面 的法向量为，
，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）证明两两垂直， 分别以为 轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得相关点以及向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案；
（2）求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.
22．（2022高二上·信阳期中）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，
【答案】（1）解：设椭圆C的方程为，
由，知，代入椭圆方程，
得，解得，
则 ，解得，，
所以椭圆C的标准方程为
（2）解：显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，由
，消去y得.
由，得.①
所以，
.
即切点N的坐标为，
以为直径的圆恒过点，则.
又M的坐标为，，
，，
，
化简，得.
上式满足①式任意的k，m成立，则.
故存在直线满足题意.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据可得，进而，解方程组即可；
（2）设直线MN的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理求出点N的坐标，根据圆的性质可得，结合点M、的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可.
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