湖北省问津联合体2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题
一、单选题
1．（2021高二上·上虞期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】化为，
直线的斜率为，倾斜角为150 .
故答案为：D.
【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角.
2．（2020高二上·武汉期中）已知椭圆 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以该椭圆的焦距为 .
故答案为：B
【分析】利用椭圆的性质以及即可求出椭圆的焦距。
3．（2021高二上·雅安期末）已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）
A．3 B．-5 C．3或-5 D．3或5
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由解得或，
当时，直线：，直线：，有，
当时，直线：，直线：，有，
所以a的值是3或5。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用两直线平行斜率相等的判断方法，从而得出a的值。
4．（2022高二下·梅州期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】即
故答案为：D．
【分析】根据题意由已知条件结合向量加减运算性质，整理化简计算出结果即可。
5．（2022高二上·湖北期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据题意将三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，则可得即为异面直线与所成角（或补角），然后在中利用余弦定理可求得结果.
6．（2022高二上·湖北期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，
直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，
设直线与半圆相切于点，则
，解得（舍去）或，
所以，
因为，，所以，
因为直线与曲线恰有两个交点，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案.
7．（2022高二上·湖北期中）已知点，圆，点是圆上一动点，线段的垂直平分线与交于点.则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】圆，圆心为，半径为6，
由垂直平分线的性质得：，
，
又，
点的轨迹是以，为焦点，长轴长等于6的椭圆，
，，
即，，
，
点的轨迹方程是；
故答案为：D.
【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由，点的轨迹是以，为焦点，长轴长等于6的椭圆，再写出椭圆的方程即可.
8．（2022高二上·温州期中）如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点
则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因为，所以，
故答案为：B．
【分析】 确定直线AB1的斜率、直线BF的斜率，可得斜率的积为-1，由此可求出椭圆的离心率.
二、多选题
9．（2022高二上·保定月考）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）
A．A与B相互独立. B．A与D互为对立.
C．B与C互斥. D．B与D相互独立；
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题可得，，，
，，
所以，，
所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，AD符合题意；
对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，B符合题意；
对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，C不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断A、D；根据对立事件，互斥事件的定义可判断B、C.
10．（2022高二上·湖北期中）下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
C．点关于直线的对称点为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】对A：任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为时，没有斜率，A符合题意；
对B：直线与直线平行，故可得，解得，
则直线，即，则两平行线之间的距离，B不符合题意；
对C：设点关于直线的对称点为，则，且，
解得，故点关于直线的对称点为，C符合题意；
对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据直线倾斜角和斜率的相关知识，即可判断；对B：根据直线平行求得参数，再利用平行线之间的距离公式求解两平行直线之间的距离，即可判断；对C：设出所求对称点，根据中点坐标满足直线，以及直线斜率之间的关系，即可求得结果，从而判断；对D：考虑直线经过原点的情况，即可判断.
11．（2022高二上·湖北期中）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．取圆上点，则的最大值为
【答案】B,D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】对A：到直线的距离，又圆的半径，
故圆上存在3个点到直线的距离为，A不符合题意；
对B：圆和圆相交于两点，
故直线的方程为：，即，B符合题意；
对C：圆心到直线的距离，故，C不符合题意；
对D：圆，即，
因为在圆上，故可设，
则，
又的最大值为，故的最大值为，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】对A：到直线的距离，又圆的半径，即可判断；对B：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对C：根据弦长公式进行求解即可；对D：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果.
12．（2021高一下·运城期末）正方体 的棱长为1，点 是 的中点，点 是 的中点， 为 的中点，点 在正方形 及其内部运动，若 面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过点 ， ， 的截面为菱形
B．三棱锥 的体积为定值
C． 与平面 所成角正切值的最小值为
D．三棱锥 外接球的表面积为
【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：
取 ， 分别为 的中点，
连接 ，
则易知四边形 为平行四边形， 为平行四边形，
进而有 ，又易知 ，
从而可证明平面 平面 ，
由题意 面 ，可知 在线段 上；
对于A：过点 ， ， 的截面为平行四边形 ，A不符合题意；
对于B： ，由 ， 在线段 ，
可知 为定值，又 到平面 的距离 也为定值，
所以 为定值，B符合题意；
对于C：设 与平面 所成角为 ，
则 ，易知当 最大时， 最小，
结合图象可知 ，
所以 的最小值为 ，C符合题意；
对于D：三棱锥 外接球，相当于长方体 的外接球，
且此时外接球的半径 满足： ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】取 ， 分别为 的中点，连接 ，结合条件可得到Q在线段FG上，对A：根据图像可知截面为平行四边形MBGF；对B：根据体积公式可得体积是定值；对C：结合图像得到 ，易知当 最大时， 最小，求出DQ最大值即可判断C；对D：三棱锥外接球即长方体MHNE- BB1C1C的外接球，数形结合即可求得答案.
三、填空题
13．（2022高二上·湖北期中）在空间直角坐标系中，若点关于Oxy坐标平面的对称点为点A，点关于坐标原点O的对称点为点B，则的坐标为 ．
【答案】（-5，-1，-2）
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意知：，，所以，
故答案为：（-5，-1，-2）
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性，即可得，，进而根据向量的坐标运算即可求解.
14．（2019高二上·长沙月考）若以连续掷两次骰子分别得到的点数 作为 的坐标，则点 落在圆 内的概率 .
【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】基本事件总数为 ，且每种结果出现的可能性都相等，记事件 为“点 落在圆 内”，则事件 所包含的基本事件为 ，共8个，故 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出点 落在圆 内的概率。
15．（2022高二上·温州期中）已知圆，直线，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由可得，
即半径，圆心，如图，
由切线性质可知，
，
则最小时，最大，即最小，
所以，
，故四边形为正方形，
所以，又，故共线，
所以原点到直线的距离为.
故答案为：
【分析】把圆的一般式化成标准式，求出圆心和半径，由切线性质可知，得最小时，最大，即最小，根据点到直线的距离公式可求出答案.
16．（2022高二上·湖北期中）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
【答案】-2
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
【分析】连接，设（），则，利用椭圆的定义表示出，，，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.
四、解答题
17．（2022高二上·湖北期中）平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求△的面积.
【答案】（1）解；直线的斜率，故直线的方程为，
即.
（2）解；点A到直线的距离，
又，
则△的面积
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据已知两点，求得直线斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式，求得三角形的高，再结合两点之间的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.
18．（2020高二上·丽江期中）在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心在直线 上，且圆 与直线 相切于点 .
（1）求圆 的方程；
（2）过坐标原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）解：由题意得，过点 且与直线 垂直的直线方程为：
由 ，解得：
圆心 的坐标为
圆 的半径：
圆 的方程为：
（2）解：因为直线 被圆 截得的张长为
圆心 到直线 的距离：
若直线 的斜率不存在，则 为直线 ，此时圆心 到的距离为 ，不符合题意；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，即
由 ，整理得：
解得： 或
直线 的方程为： 或
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 （1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点 的直线 被圆 截 得的弦长为 ，即可求出直线l的方程．
19．（2020高二下·六安月考）已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
【答案】（1）解：连结 ，由 为等边三角形可知：在 中， ， ， ，
于是 ，
故椭圆C的离心率为 ；
（2）解：由题意可知，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ， ，
即 ①
②
③
由②③以及 得 ，又由①知 ，故 ；
由②③得 ，所以 ，从而 ，故 ；
当 ， 时，存在满足条件的点 .
故 ，a的取值范围为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）先连结 ，由 为等边三角形，得到 ， ， ；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ， ，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
20．（2022高二上·湖北期中）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响.
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）该小组能进入第三轮的概率；
（3）乙猜歌曲的次数不小于2的概率.
【答案】（1）解：设该小组未能进入第二轮为事件A，
则，
故该小组未能进入第二轮的概率为．
（2）解：设该小组能进入第三轮为事件B，
则，
故该小组能进入第三轮的概率为．
（3）解：设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C，
．
故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）该小组未能进入第二轮也即甲、乙、丙至少有一人未猜对，根据对立事件求解；
（2）该小组能进入第三轮即前两轮三人都猜对，根据事件积的概率计算即可；
（3）乙猜歌曲的次数不小于2即该组过第一轮且甲猜对，据此求概率即可．
21．（2019高三上·天津月考）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且 ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【答案】解：(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
易知： ，
由 可得点F的坐标为 ，
由 可得 ，
设平面AEF的法向量为： ，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为： ，
很明显平面AEP的一个法向量为 ，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 .
(Ⅲ)易知 ，由 可得 ，
则 ，
注意到平面AEF的一个法向量为： ，
其 且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
22．（2019高二上·石门月考）已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的 倍，且经过点 .
（1）求 的标准方程；
（2） 的右顶点为 ，过 右焦点的直线 与 交于不同的两点 ， ，求 面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意 解得 ， ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）解：点 ，右焦点 ，由题意知直线 的斜率不为0，
故设 的方程为 ， ， ，
联立方程得 消去 ，整理得 ，
∴ ， ， ，
，
当且仅当 时等号成立，此时 ： ，
所以 面积的最大值为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出 ，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．
1 / 1湖北省问津联合体2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题
一、单选题
1．（2021高二上·上虞期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2．（2020高二上·武汉期中）已知椭圆 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·雅安期末）已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）
A．3 B．-5 C．3或-5 D．3或5
4．（2022高二下·梅州期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二上·湖北期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·湖北期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·湖北期中）已知点，圆，点是圆上一动点，线段的垂直平分线与交于点.则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·温州期中）如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·保定月考）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）
A．A与B相互独立. B．A与D互为对立.
C．B与C互斥. D．B与D相互独立；
10．（2022高二上·湖北期中）下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
C．点关于直线的对称点为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
11．（2022高二上·湖北期中）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．取圆上点，则的最大值为
12．（2021高一下·运城期末）正方体 的棱长为1，点 是 的中点，点 是 的中点， 为 的中点，点 在正方形 及其内部运动，若 面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过点 ， ， 的截面为菱形
B．三棱锥 的体积为定值
C． 与平面 所成角正切值的最小值为
D．三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题
13．（2022高二上·湖北期中）在空间直角坐标系中，若点关于Oxy坐标平面的对称点为点A，点关于坐标原点O的对称点为点B，则的坐标为 ．
14．（2019高二上·长沙月考）若以连续掷两次骰子分别得到的点数 作为 的坐标，则点 落在圆 内的概率 .
15．（2022高二上·温州期中）已知圆，直线，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为 .
16．（2022高二上·湖北期中）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·湖北期中）平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求△的面积.
18．（2020高二上·丽江期中）在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心在直线 上，且圆 与直线 相切于点 .
（1）求圆 的方程；
（2）过坐标原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
19．（2020高二下·六安月考）已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
20．（2022高二上·湖北期中）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响.
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）该小组能进入第三轮的概率；
（3）乙猜歌曲的次数不小于2的概率.
21．（2019高三上·天津月考）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且 ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
22．（2019高二上·石门月考）已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的 倍，且经过点 .
（1）求 的标准方程；
（2） 的右顶点为 ，过 右焦点的直线 与 交于不同的两点 ， ，求 面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】化为，
直线的斜率为，倾斜角为150 .
故答案为：D.
【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角.
2．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以该椭圆的焦距为 .
故答案为：B
【分析】利用椭圆的性质以及即可求出椭圆的焦距。
3．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由解得或，
当时，直线：，直线：，有，
当时，直线：，直线：，有，
所以a的值是3或5。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用两直线平行斜率相等的判断方法，从而得出a的值。
4．【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】即
故答案为：D．
【分析】根据题意由已知条件结合向量加减运算性质，整理化简计算出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据题意将三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，则可得即为异面直线与所成角（或补角），然后在中利用余弦定理可求得结果.
6．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，
直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，
设直线与半圆相切于点，则
，解得（舍去）或，
所以，
因为，，所以，
因为直线与曲线恰有两个交点，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】圆，圆心为，半径为6，
由垂直平分线的性质得：，
，
又，
点的轨迹是以，为焦点，长轴长等于6的椭圆，
，，
即，，
，
点的轨迹方程是；
故答案为：D.
【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由，点的轨迹是以，为焦点，长轴长等于6的椭圆，再写出椭圆的方程即可.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点
则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因为，所以，
故答案为：B．
【分析】 确定直线AB1的斜率、直线BF的斜率，可得斜率的积为-1，由此可求出椭圆的离心率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题可得，，，
，，
所以，，
所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，AD符合题意；
对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，B符合题意；
对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，C不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断A、D；根据对立事件，互斥事件的定义可判断B、C.
10．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】对A：任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为时，没有斜率，A符合题意；
对B：直线与直线平行，故可得，解得，
则直线，即，则两平行线之间的距离，B不符合题意；
对C：设点关于直线的对称点为，则，且，
解得，故点关于直线的对称点为，C符合题意；
对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据直线倾斜角和斜率的相关知识，即可判断；对B：根据直线平行求得参数，再利用平行线之间的距离公式求解两平行直线之间的距离，即可判断；对C：设出所求对称点，根据中点坐标满足直线，以及直线斜率之间的关系，即可求得结果，从而判断；对D：考虑直线经过原点的情况，即可判断.
11．【答案】B,D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】对A：到直线的距离，又圆的半径，
故圆上存在3个点到直线的距离为，A不符合题意；
对B：圆和圆相交于两点，
故直线的方程为：，即，B符合题意；
对C：圆心到直线的距离，故，C不符合题意；
对D：圆，即，
因为在圆上，故可设，
则，
又的最大值为，故的最大值为，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】对A：到直线的距离，又圆的半径，即可判断；对B：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对C：根据弦长公式进行求解即可；对D：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果.
12．【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：
取 ， 分别为 的中点，
连接 ，
则易知四边形 为平行四边形， 为平行四边形，
进而有 ，又易知 ，
从而可证明平面 平面 ，
由题意 面 ，可知 在线段 上；
对于A：过点 ， ， 的截面为平行四边形 ，A不符合题意；
对于B： ，由 ， 在线段 ，
可知 为定值，又 到平面 的距离 也为定值，
所以 为定值，B符合题意；
对于C：设 与平面 所成角为 ，
则 ，易知当 最大时， 最小，
结合图象可知 ，
所以 的最小值为 ，C符合题意；
对于D：三棱锥 外接球，相当于长方体 的外接球，
且此时外接球的半径 满足： ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】取 ， 分别为 的中点，连接 ，结合条件可得到Q在线段FG上，对A：根据图像可知截面为平行四边形MBGF；对B：根据体积公式可得体积是定值；对C：结合图像得到 ，易知当 最大时， 最小，求出DQ最大值即可判断C；对D：三棱锥外接球即长方体MHNE- BB1C1C的外接球，数形结合即可求得答案.
13．【答案】（-5，-1，-2）
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意知：，，所以，
故答案为：（-5，-1，-2）
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性，即可得，，进而根据向量的坐标运算即可求解.
14．【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】基本事件总数为 ，且每种结果出现的可能性都相等，记事件 为“点 落在圆 内”，则事件 所包含的基本事件为 ，共8个，故 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出点 落在圆 内的概率。
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由可得，
即半径，圆心，如图，
由切线性质可知，
，
则最小时，最大，即最小，
所以，
，故四边形为正方形，
所以，又，故共线，
所以原点到直线的距离为.
故答案为：
【分析】把圆的一般式化成标准式，求出圆心和半径，由切线性质可知，得最小时，最大，即最小，根据点到直线的距离公式可求出答案.
16．【答案】-2
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
【分析】连接，设（），则，利用椭圆的定义表示出，，，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.
17．【答案】（1）解；直线的斜率，故直线的方程为，
即.
（2）解；点A到直线的距离，
又，
则△的面积
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据已知两点，求得直线斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式，求得三角形的高，再结合两点之间的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.
18．【答案】（1）解：由题意得，过点 且与直线 垂直的直线方程为：
由 ，解得：
圆心 的坐标为
圆 的半径：
圆 的方程为：
（2）解：因为直线 被圆 截得的张长为
圆心 到直线 的距离：
若直线 的斜率不存在，则 为直线 ，此时圆心 到的距离为 ，不符合题意；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，即
由 ，整理得：
解得： 或
直线 的方程为： 或
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 （1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点 的直线 被圆 截 得的弦长为 ，即可求出直线l的方程．
19．【答案】（1）解：连结 ，由 为等边三角形可知：在 中， ， ， ，
于是 ，
故椭圆C的离心率为 ；
（2）解：由题意可知，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ， ，
即 ①
②
③
由②③以及 得 ，又由①知 ，故 ；
由②③得 ，所以 ，从而 ，故 ；
当 ， 时，存在满足条件的点 .
故 ，a的取值范围为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）先连结 ，由 为等边三角形，得到 ， ， ；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ， ，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
20．【答案】（1）解：设该小组未能进入第二轮为事件A，
则，
故该小组未能进入第二轮的概率为．
（2）解：设该小组能进入第三轮为事件B，
则，
故该小组能进入第三轮的概率为．
（3）解：设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C，
．
故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）该小组未能进入第二轮也即甲、乙、丙至少有一人未猜对，根据对立事件求解；
（2）该小组能进入第三轮即前两轮三人都猜对，根据事件积的概率计算即可；
（3）乙猜歌曲的次数不小于2即该组过第一轮且甲猜对，据此求概率即可．
21．【答案】解：(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
易知： ，
由 可得点F的坐标为 ，
由 可得 ，
设平面AEF的法向量为： ，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为： ，
很明显平面AEP的一个法向量为 ，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 .
(Ⅲ)易知 ，由 可得 ，
则 ，
注意到平面AEF的一个法向量为： ，
其 且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
22．【答案】（1）解：由题意 解得 ， ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）解：点 ，右焦点 ，由题意知直线 的斜率不为0，
故设 的方程为 ， ， ，
联立方程得 消去 ，整理得 ，
∴ ， ， ，
，
当且仅当 时等号成立，此时 ： ，
所以 面积的最大值为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出 ，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．
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