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湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·武汉期中）直线在x轴上的截距是（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【答案】C
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】将代入直线方程，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】利用直线的截距定义即可求出答案.
2．（2022高二上·武汉期中）双曲线的焦点坐标为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，
故答案为：C.
【分析】确定双曲线的焦点在x轴上，求出a，b，再利用，即可求出双曲线的焦点坐标.
3．（2022高二上·武汉期中）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由，，
所以
又
所以与的夹角为
故答案为：A
【分析】利用向量的夹角公式进行求解，可得答案.
4．（2022高二上·武汉期中）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由得，
所以表示以为圆心，2为半径的圆，
显然与曲线有两个交点，
所以直线与曲线有除即外的2个交点，
由得，
令解得，
综上，
故答案为：B
【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，可得直线与曲线有除即外的2个交点，由，结合求解可得实数的取值范围.
5．（2020高三上·天津月考）对于直线 和平面 ， 的一个充分条件是（ ）
A． ， ∥ ， ∥ B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A选项中，根据 ， ∥ ， ∥ ，得到 或 ∥ ，所以A不符合题意；
B选项中， ， ， ，不一定得到 ，所以B不符合题意；
C选项中，因为 ， ，所以 ，又 ，从而得到 ，所以C符合题意；
D选项中，根据 ， ，所以 ，而 ，所以得到 ∥ ，所以D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而找出直线 和平面 ， 的一个充分条件。
6．（2022高二上·武汉期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故答案为：B
【分析】由已知条件可得，设直线为①，直线为②，直线为③，由②③得，，进而求出双曲线C的离心率.
7．（2022高二上·武汉期中）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，
则 ，解得：，
故圆B的圆心为，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故答案为：D.
【分析】作出圆关于直线的对称圆为圆B， 把|PE|转化到与|PF|直线同侧的，数形结合找到 的最大值的位置，即可求得答案.
8．（2022高二上·武汉期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
【答案】C
【知识点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为2，
则，，，，，
设，其中，
对于A，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，A不符合题意；
对于B，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，B不符合题意；
对于C，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即为的中点，满足题意，C符合题意；
对于D，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项进行判断，可得答案.
二、多选题
9．（2022高二上·武汉期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
【答案】A,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】把方程整理成
，即
，若表示圆则满足
即，即
所以或，观察答案中只有4和-2符合题意.
故答案为：AD
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，列式求解即可得答案.
10．（2022高二上·武汉期中）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】两条平行直线间的距离；两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，
两平行直线与的距离为：
，
因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为
所以
所以
因为直线的斜率为：，倾斜角为
所以直线m的倾斜角可以是或
如图所示：
故答案为：BD.
【分析】 由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为，再根据两条平行线的倾斜角为30°，可得直线m的倾斜角的值.
11．（2022高二上·武汉期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8
B．的最小值为
C．若，则的面积为
D．直线与直线斜率乘积为定值
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；斜率的计算公式；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，设点，则，且，、，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为8，A对；
对于B选项，设，，其中，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为，B对；
对于C选项，由B选项可知，可得，
所以，，C对；
对于D选项，由题意可知，则，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】设点，根据椭圆的性质可得，再根据向量模的定义可得 的最小值 ，可判断A；设，，利用可求出最小值，可判断B；由B选项可知，可得，再根据三角形的面积公式求解可判断C；求出直线与直线斜率之积为定值可判断D.
12．（2022高二上·武汉期中）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P满足
B．存在点P满足
C．满足的点P的轨迹长度为
D．满足的点P的轨迹长度为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A选项，假设，点到距离可以转化成，
正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可，点轨迹是以B为圆心，
长度为1的圆上，同理，，只需要让即可，点P轨迹是以C1为圆心，长度
为的圆上，如图1.
又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足，
A符合题意；
对于B选项，建立空间直角坐标系，如图2，，，若点在正方形中
心处，即，则，，可得，
，存在点，B符合题意；
对于C选项，取的中点，的中点，连接，，.因为在平面的射影
为，又，所以，同理在平面的射影为，又，
所以，因为，所以平面，
又因为点P在侧面上，平面平面，所以点的轨迹为
，所以C不符合题意；
对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则，
因为，所以，同理，，
平面，平面平面，所以点的轨迹为，
所以D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】假设，点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，同理，转化成P轨迹是以C1为圆心，长度为的圆上，两个圆位置关系即可判定A；建立空间直角坐标系，点在正方形中心处，利用向量法可判断B；利用三垂线定理分别找出垂直的两个平面，与交线即为点的轨迹，可判断D.
三、填空题
13．（2021高二上·温州期中）设方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
【答案】0【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置的判断方法，从而推出，进而得出实数k的取值范围为 0【分析】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置的判断方法，从而求出实数k的取值范围。
14．（2022高二上·武汉期中）过点做圆的两条切线，切点分别为M，N，则 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】依题意，连结，记为的交点，
因为与圆相切，所以，，，是的中点，
因为，，所以，
又，所以在中，，，
故在中，，
所以.
故答案为：.
【分析】先由两点间的距离得|OP|，然后在中计算sin∠MPO，最后在中可得，，可求出答案.
15．（2022高二上·武汉期中）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段 .
【答案】或
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.
故答案为：或
【分析】由题意，两边平方，结合已知条件和数量积的运算，可求出线段的长.
16．（2022高二上·武汉期中）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义，之间的“出租车距离”为．已知，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为 ，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为 ．
【答案】；
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设到点A，B“距离”相等的点为，则
因为，，所以，
即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
所以到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为，
设到点，“距离”相等的点为，则，
因为，，所以，
即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ， 即，矛盾
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
所以到， “距离”相等的点的轨迹方程为，
作两方程的图象可得：
观察图象可得两曲线有一个交点，且交点纵坐标为，代入可得，
所以两曲线的交点坐标为，
故答案为：，.
【分析】根据定义列方程化简可得到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程；根据定义再求得， “距离”相等的点的轨迹方程，求两轨迹的交点可得到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标.
四、解答题
17．（2022高二上·武汉期中）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
【答案】（1）解：因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为
（2）解：设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件设双曲线的标准方程为，根据焦距求出c的值，根据渐近线结合a，b，c的关系求出a，b，即可得 C的标准方程；
(2) 设，，把直线l的方程与双曲线方程联立，根据韦达定理，利用弦长公式求出|AB|.
18．（2022高二上·武汉期中）已知的顶点，重心．
（1）求线段BC的中点坐标；
（2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．
【答案】（1）解：设中点，
因为为的重心，且，
所以，即
所以，所以中点
（2）解：因为的方程为，且为的垂心
所以即，所以
所以直线的方程为：，即
所以设点，又因为的中点，设则
即
又因为点在直线上，即，所以
所以，所以，则边上的高线为
而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点
即.
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式
【解析】【分析】（1）根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为2：1，可得对应的共线向量，求出 线段BC的中点坐标；
（2）根据BH求AC，设点C的坐标，根据BC的中点可以用C表示B，根据点C在AC上且点B在BH上，求出点C的坐标，根据BC与AH垂直求出AH的方程，然后联立AH与BH，可求出H的坐标．
19．（2022高二上·武汉期中）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：由于，，所以，
由于，，、平面，所以平面，
平面，由平面，得.
取的中点，连接，
因为底面是直角梯形，且，，
故四边形为矩形，且且，，
所以在中，，，，即，
由于，、平面，所以平面.
（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
所以，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）证明出 平面，可得出 ，利用勾股定理证明出 ， 然后利用线面垂直的判定定理可证得 平面；
（2） 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，利用空间向量夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值 .
20．（2022高二上·武汉期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
（1）当在直线上时，求的值；
（2）当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：联立可得，即点，
若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，
设过点且与圆相切的直线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，
由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
在直线的方程中，令，可得，即点，
，，
因此，
（2）解：分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，
，，，
所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，
将圆和圆的方程作差，消去、可得，
即，故直线的方程为.
由可得，因此，直线过定点.
【知识点】直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）求出点P的坐标， 设过点且与圆相切的直线的方程为 ，根据圆心到切线的距离等于半径求出k的值，求出直线的方程和直线的方程，可得点A，B的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的值；
（2） 分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设 ，结合已知条件可求出圆 的方程， 将圆和圆的方程作差可得直线的方程 ，进而可得直线过定点.
21．（2022高二上·武汉期中）已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．
【答案】（1）解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
（2）解：设，其中，
则，
令，设点到直线的距离为，
则，
故当时，取最小值，此时.
【知识点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值；
（2）设，其中， 根据向量加法的三角形法则可求得 ，令，设点到直线的距离为， 利用向量法可列出等式，利用二次函数的性质可得 取最小值 ，求出的值，进而求出线段的长度．
22．（2022高二上·武汉期中）已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若矩形满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．
【答案】（1）解：因为过椭圆的右焦点F且垂直于x轴直线交椭圆于A，B两点，，
所以椭圆过点，又椭圆过点，
有，变形，得代入②，
得，即，，解得，则，
所以椭圆的方程为
（2）解：①当MN的斜率为0时，，，
此时，
②当MN的斜率不存在时，，，
此时，
③当MN的斜率存在且不为0时，设直线：，直线：，，
联立消去y得，
，化简得，同理可得，
所以两平行线MN和PQ的距离，
以代替k，可得两平行线MQ和NP的距离，
所以矩形MNPQ的对角线，
根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为
所以矩形MNPQ面积的最大值为14.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C的方程；
（2） 对MN的斜率的情况进行分类讨论， 当MN的斜率存在且不为0时，设直线：，与椭圆方程联立，根据 ，求得的关系，利用两平行线间的距离公式分别求得矩形的边长，从而可求得矩形MNPQ的对角线 ，再根据基本不等式可求得矩形MNPQ面积的最大值.
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湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·武汉期中）直线在x轴上的截距是（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
2．（2022高二上·武汉期中）双曲线的焦点坐标为
A． B． C． D．
3．（2022高二上·武汉期中）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·武汉期中）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高三上·天津月考）对于直线 和平面 ， 的一个充分条件是（ ）
A． ， ∥ ， ∥ B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．（2022高二上·武汉期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（2022高二上·武汉期中）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2022高二上·武汉期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
二、多选题
9．（2022高二上·武汉期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
10．（2022高二上·武汉期中）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二上·武汉期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8
B．的最小值为
C．若，则的面积为
D．直线与直线斜率乘积为定值
12．（2022高二上·武汉期中）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P满足
B．存在点P满足
C．满足的点P的轨迹长度为
D．满足的点P的轨迹长度为
三、填空题
13．（2021高二上·温州期中）设方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
14．（2022高二上·武汉期中）过点做圆的两条切线，切点分别为M，N，则 ．
15．（2022高二上·武汉期中）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段 .
16．（2022高二上·武汉期中）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义，之间的“出租车距离”为．已知，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为 ，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·武汉期中）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
18．（2022高二上·武汉期中）已知的顶点，重心．
（1）求线段BC的中点坐标；
（2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．
19．（2022高二上·武汉期中）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2022高二上·武汉期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
（1）当在直线上时，求的值；
（2）当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
21．（2022高二上·武汉期中）已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．
22．（2022高二上·武汉期中）已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若矩形满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】将代入直线方程，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】利用直线的截距定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，
故答案为：C.
【分析】确定双曲线的焦点在x轴上，求出a，b，再利用，即可求出双曲线的焦点坐标.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由，，
所以
又
所以与的夹角为
故答案为：A
【分析】利用向量的夹角公式进行求解，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由得，
所以表示以为圆心，2为半径的圆，
显然与曲线有两个交点，
所以直线与曲线有除即外的2个交点，
由得，
令解得，
综上，
故答案为：B
【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，可得直线与曲线有除即外的2个交点，由，结合求解可得实数的取值范围.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A选项中，根据 ， ∥ ， ∥ ，得到 或 ∥ ，所以A不符合题意；
B选项中， ， ， ，不一定得到 ，所以B不符合题意；
C选项中，因为 ， ，所以 ，又 ，从而得到 ，所以C符合题意；
D选项中，根据 ， ，所以 ，而 ，所以得到 ∥ ，所以D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而找出直线 和平面 ， 的一个充分条件。
6．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故答案为：B
【分析】由已知条件可得，设直线为①，直线为②，直线为③，由②③得，，进而求出双曲线C的离心率.
7．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，
则 ，解得：，
故圆B的圆心为，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故答案为：D.
【分析】作出圆关于直线的对称圆为圆B， 把|PE|转化到与|PF|直线同侧的，数形结合找到 的最大值的位置，即可求得答案.
8．【答案】C
【知识点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为2，
则，，，，，
设，其中，
对于A，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，A不符合题意；
对于B，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，B不符合题意；
对于C，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即为的中点，满足题意，C符合题意；
对于D，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项进行判断，可得答案.
9．【答案】A,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】把方程整理成
，即
，若表示圆则满足
即，即
所以或，观察答案中只有4和-2符合题意.
故答案为：AD
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，列式求解即可得答案.
10．【答案】B,D
【知识点】两条平行直线间的距离；两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，
两平行直线与的距离为：
，
因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为
所以
所以
因为直线的斜率为：，倾斜角为
所以直线m的倾斜角可以是或
如图所示：
故答案为：BD.
【分析】 由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为，再根据两条平行线的倾斜角为30°，可得直线m的倾斜角的值.
11．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；斜率的计算公式；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，设点，则，且，、，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为8，A对；
对于B选项，设，，其中，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为，B对；
对于C选项，由B选项可知，可得，
所以，，C对；
对于D选项，由题意可知，则，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】设点，根据椭圆的性质可得，再根据向量模的定义可得 的最小值 ，可判断A；设，，利用可求出最小值，可判断B；由B选项可知，可得，再根据三角形的面积公式求解可判断C；求出直线与直线斜率之积为定值可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A选项，假设，点到距离可以转化成，
正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可，点轨迹是以B为圆心，
长度为1的圆上，同理，，只需要让即可，点P轨迹是以C1为圆心，长度
为的圆上，如图1.
又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足，
A符合题意；
对于B选项，建立空间直角坐标系，如图2，，，若点在正方形中
心处，即，则，，可得，
，存在点，B符合题意；
对于C选项，取的中点，的中点，连接，，.因为在平面的射影
为，又，所以，同理在平面的射影为，又，
所以，因为，所以平面，
又因为点P在侧面上，平面平面，所以点的轨迹为
，所以C不符合题意；
对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则，
因为，所以，同理，，
平面，平面平面，所以点的轨迹为，
所以D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】假设，点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，同理，转化成P轨迹是以C1为圆心，长度为的圆上，两个圆位置关系即可判定A；建立空间直角坐标系，点在正方形中心处，利用向量法可判断B；利用三垂线定理分别找出垂直的两个平面，与交线即为点的轨迹，可判断D.
13．【答案】0【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置的判断方法，从而推出，进而得出实数k的取值范围为 0【分析】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置的判断方法，从而求出实数k的取值范围。
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】依题意，连结，记为的交点，
因为与圆相切，所以，，，是的中点，
因为，，所以，
又，所以在中，，，
故在中，，
所以.
故答案为：.
【分析】先由两点间的距离得|OP|，然后在中计算sin∠MPO，最后在中可得，，可求出答案.
15．【答案】或
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.
故答案为：或
【分析】由题意，两边平方，结合已知条件和数量积的运算，可求出线段的长.
16．【答案】；
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设到点A，B“距离”相等的点为，则
因为，，所以，
即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
所以到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为，
设到点，“距离”相等的点为，则，
因为，，所以，
即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ， 即，矛盾
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，
当，时， ，即，
当，时， ，即，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
当，时， ，即，矛盾，
所以到， “距离”相等的点的轨迹方程为，
作两方程的图象可得：
观察图象可得两曲线有一个交点，且交点纵坐标为，代入可得，
所以两曲线的交点坐标为，
故答案为：，.
【分析】根据定义列方程化简可得到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程；根据定义再求得， “距离”相等的点的轨迹方程，求两轨迹的交点可得到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标.
17．【答案】（1）解：因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为
（2）解：设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件设双曲线的标准方程为，根据焦距求出c的值，根据渐近线结合a，b，c的关系求出a，b，即可得 C的标准方程；
(2) 设，，把直线l的方程与双曲线方程联立，根据韦达定理，利用弦长公式求出|AB|.
18．【答案】（1）解：设中点，
因为为的重心，且，
所以，即
所以，所以中点
（2）解：因为的方程为，且为的垂心
所以即，所以
所以直线的方程为：，即
所以设点，又因为的中点，设则
即
又因为点在直线上，即，所以
所以，所以，则边上的高线为
而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点
即.
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式
【解析】【分析】（1）根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为2：1，可得对应的共线向量，求出 线段BC的中点坐标；
（2）根据BH求AC，设点C的坐标，根据BC的中点可以用C表示B，根据点C在AC上且点B在BH上，求出点C的坐标，根据BC与AH垂直求出AH的方程，然后联立AH与BH，可求出H的坐标．
19．【答案】（1）证明：由于，，所以，
由于，，、平面，所以平面，
平面，由平面，得.
取的中点，连接，
因为底面是直角梯形，且，，
故四边形为矩形，且且，，
所以在中，，，，即，
由于，、平面，所以平面.
（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
所以，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）证明出 平面，可得出 ，利用勾股定理证明出 ， 然后利用线面垂直的判定定理可证得 平面；
（2） 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，利用空间向量夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值 .
20．【答案】（1）解：联立可得，即点，
若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，
设过点且与圆相切的直线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，
由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
在直线的方程中，令，可得，即点，
，，
因此，
（2）解：分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，
，，，
所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，
将圆和圆的方程作差，消去、可得，
即，故直线的方程为.
由可得，因此，直线过定点.
【知识点】直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）求出点P的坐标， 设过点且与圆相切的直线的方程为 ，根据圆心到切线的距离等于半径求出k的值，求出直线的方程和直线的方程，可得点A，B的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的值；
（2） 分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设 ，结合已知条件可求出圆 的方程， 将圆和圆的方程作差可得直线的方程 ，进而可得直线过定点.
21．【答案】（1）解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
（2）解：设，其中，
则，
令，设点到直线的距离为，
则，
故当时，取最小值，此时.
【知识点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值；
（2）设，其中， 根据向量加法的三角形法则可求得 ，令，设点到直线的距离为， 利用向量法可列出等式，利用二次函数的性质可得 取最小值 ，求出的值，进而求出线段的长度．
22．【答案】（1）解：因为过椭圆的右焦点F且垂直于x轴直线交椭圆于A，B两点，，
所以椭圆过点，又椭圆过点，
有，变形，得代入②，
得，即，，解得，则，
所以椭圆的方程为
（2）解：①当MN的斜率为0时，，，
此时，
②当MN的斜率不存在时，，，
此时，
③当MN的斜率存在且不为0时，设直线：，直线：，，
联立消去y得，
，化简得，同理可得，
所以两平行线MN和PQ的距离，
以代替k，可得两平行线MQ和NP的距离，
所以矩形MNPQ的对角线，
根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为
所以矩形MNPQ面积的最大值为14.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C的方程；
（2） 对MN的斜率的情况进行分类讨论， 当MN的斜率存在且不为0时，设直线：，与椭圆方程联立，根据 ，求得的关系，利用两平行线间的距离公式分别求得矩形的边长，从而可求得矩形MNPQ的对角线 ，再根据基本不等式可求得矩形MNPQ面积的最大值.
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