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湖北省重点中学4G 联合体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·湖北期中）已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】，直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，可求得其倾斜角.
2．（2022高二上·定远月考）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】-＝，
.
故答案为：A．
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出，即可得解．
3．（2022高二上·湖北期中）在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲 乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即，
由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即
因为，所以，故第一声为，第二声为，
因为声音速度恒定，故，故，
故答案为：A
【分析】 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为，，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即可求出椭圆的离心率.
4．（2022高二上·宜昌期中）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】空间内三点，，，，
因为，，
由，所以，
所以点A到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题.
5．（2022高二上·湖北期中）若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】，方程一定表示圆；
则圆心坐标为，根据圆的对称性可知，直线通过圆心，
则，
M、N两点关于直线对称
直线与直线相互垂直，，
所以，
故答案为：A.
【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线通过圆心，得出，再由直线与直线相互垂直，得出k=2，可得实数k＋m的值.
6．（2022高二上·湖北期中）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，
故两人离开电梯的所有可能情况有种，
而两人在同一层电梯的可能情况有，
所以两人在同一层离开电梯的概率为，
所以两人在不同层离开电梯的概率为，
故答案为：B.
【分析】由古典概型的概率公式结合排列组合与对立事件的概率公式求解，可得答案.
7．（2022高二上·河南月考）如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由圆锥的性质可知平面，故可以点O为坐标原点，平面内过点O且垂直于的直线为x轴，分别为y、z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
易知，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，
因此，异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：B
【分析】以点O为坐标原点，平面内过点O且垂直于的直线为x轴，分别为y、z轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值 .
8．（2022高二上·湖北期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．1 B．-7 C．1或-1 D．1或-7
【答案】A
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，
线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，
所以以线段为弦的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
所以可设圆心坐标为，
又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，
所以，解得或，
即切点分别为和，由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，且过点的圆的半径比过的圆的半径大，所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是1.
故答案为：A.
【分析】 根据已知及直线的倾斜角与斜率，圆的切线方程，直线与圆的位置关系及判定，判断当∠MPN取最大值时，经过M， N， P三点的圆S必与x轴相切于点P，故圆心的纵坐标为圆的半径，由此求得点P的橫坐标.
二、多选题
9．（2022高二上·湖北期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
，，A符合题意，B符合题意；
事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C不符合题意；
事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二上·湖北期中）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
【答案】A,B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：将曲线化为，
对于A，当时，则，
所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，A符合题意；
对于B，当时，曲线C为椭圆，B符合题意；
对于C，当时，曲线C为椭圆，
椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，C不符合题意；
对于D，当时，则曲线C为椭圆，
则曲线C的焦距为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】将曲线C化为，再根据此方程表示椭圆得出A、B的关系即可判断A，B；根据椭圆的对称性可判断C；求出椭圆的焦距可判断D.
11．（2022高二上·湖北期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆：与圆：恰有三条公切线
C．两圆与的公共弦所在的直线方程为
D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】A,B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】令，则，解得，
所以直线过定点，所以A符合题意；
圆的圆心为半径，
圆的圆心为半径，
圆心距，所以，
所以圆与圆外切，则有3条公切线，
所以B符合题意；
两圆方程联立 ，
作差整理得，所以C不符合题意；
设圆心到直线的距离为，半径，
则，所以，
根据切线长，
当取最小值时，有最小值，
所以，
所以D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】将点(0， 3)代入直线方程中检验可判断A；判断两圆的位置关系即可判断B；将两圆方程相减即可判断C；根据点到直线的距离公式，切线长公式，即可判断D.
12．（2022·广东三模）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，正方体经过点 P C的截面面积的取值范围为[，]
【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，
即，则当时，，即P为中点时，
有平面，且，A符合题意；
B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B符合题意；
C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知
所以，C不符合题意；
D选项：正方体经过点 P C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
所以点P到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】如图建立空间直角坐标系，求得，求得平面的一个法向量为，由，即可判断A；
连接，易得即为与平面所成角，进而可得，从而说明点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，即可判断B；
如图，将平面与平面沿展成平面图形，即可求解判断C；
如图，建立空间直角坐标系，设，由点到线的距离公式可得，借助二次函数即可判断D.
三、填空题
13．（2022高二上·湖北期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
【分析】由椭圆的标准方程直接求解，可得答案.
14．（2022高二上·湖北期中）二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长 .
【答案】4
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】依题意，，且有，而，
所以.
故答案为：4
【分析】 由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得
，由此求出CD的长.
15．（2022高二上·湖北期中）甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以取得胜利的概率为 .
【答案】0.174
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，
由题意，甲要以取胜的可能是，，，
所以
=.
故答案为：0.174.
【分析】 先列出甲以3： 1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可得答案.
16．（2022高二上·湖北期中）在矩形中，是平面内的一点，且，则 ；是平面内的动点，且，若，则的最小值为 .
【答案】2；2
【知识点】向量的几何表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系，
所以，则
又，故，
所以；
由知，
所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则，
因为，
所以，
故可转化为点到与的距离之和，
又，则在直线上，即对应线段，
所以要求，只需求的最小值即可，
而关于对称点为，
故，此时，即，
所以的最小值为2.
故答案为：2；2.
【分析】 由题设有P在以AB为直径的圆上，F为圆心，构建以为原点，为轴的直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出 的值； 设P (x， y)，将转化为点到与的距离之和，利用圆上点到定点距离最值的求法求出 的最小值 .
四、解答题
17．（2022高二上·湖北期中）直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为5，求直线的方程．
【答案】（1）解：直线方程与方程联立得交点坐标为．
设直线的方程为，代入交点得，所以的方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，得的方程为，符合条件．
当的斜率存在时，设直线的方程为即
根据，解得，
所以直线的方程为．
综上所述，的方程为或．
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】 (1)联立方程组，求得两直线的交点坐标， 设直线的方程为，把交点代入可求出m的值，即可得直线的方程；
(2)分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解出直线的方程．
18．（2022高二上·湖北期中）已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面.
【答案】（1）解：因为，
所以，
解得，
因为，向量与垂直，
所以，
∴，
∴；
所以实数和的值分别为0和-3；
（2）证明：当时，，
设（），
则，
，解得，
即，
所以向量与向量，共面.
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理
【解析】【分析】（1）由 求出 ，利用向量坐标运算法则求出 ，再由向量与垂直，求出k的值；
（2） 当时， ， 设（）， 列方程组求出的值，进而证得向量与向量，共面.
19．（2022高二上·湖北期中）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
（3）如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？
【答案】（1）解：从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即，
设事件“两次取出的都是红球”，则，
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
因为事件两两互斥，
所以P（第二次取到红球）
（2）解：由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）
（3）解：结合（1）中事件，可得，，
因为，
所以，即，解得（负值舍去），
故.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率，即可得第二次取到红球的概率；
（2）由（1）求解可得两次取到的球颜色相同的概率；
（3）由取出的两个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后求解出n的值.
20．（2022高二上·湖北期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求此圆的标准方程；
（2）设点是圆上的动点，求的最小值，以及取最小值时对应的点的坐标.
【答案】（1）解：因为，，设圆心为，中点为，所以中点为，，则，，，
联立可得，即，，
故圆的方程为；
（2）解：设，，故所求问题转化为到点距离的平方的最小值，则，，
所以；
，，联立得，
即，易知，则，即.
【知识点】圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）结合圆的弦长与圆心性质， 设圆心为，中点为 ，利用 求出 ， 求出 ，联立和 求出a，b，进而求出半径，即可得圆的标准方程；
（2） 把圆的一般方程化为标准方程， 所求问题转化为到点距离的平方的最小值， 由几何关系可求出最小值，求出 ， 联立直线和圆可求出点的坐标.
21．（2022高二上·湖北期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD， ，且E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：DE平面PAB；
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为 ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取PB中点M，连接AM，EM，
∵E为PC的中点，
∴ ，又∵ ，
∴MEAD，ME=AD，
∴四边形ADEM为平行四边形：
∴DEAM，
∵平面PAB，AM 平面PAB，
∴DE平面PAB；
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，则平面PAB，
∴ ， ，
∴ ，又PA=PB=2，∴ ，AB＝2，
如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
∴，C(1，4，0)，D(-1，2，0)，
∴， ，设平面PCD的一个法向量，
∴ ，取，则，
平面PAB的一个法向量可取，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，
∴ ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 取PB中点M，连接AM，EM， 可得DE// AM，利用线面平行的判定定理即得 DE平面PAB；
(2)取AB中点G，由题可得FG⊥平面PAB，进而可得 ， 以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系， 求出平面PCD的一个法向量和平面PAB的一个法向量， 利用向量法求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
22．（2022高二上·湖北期中）已知是椭圆的左 右顶点，且短轴长为是椭圆上位于轴上方的动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为和.求的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，，
设，则
，
所以，
所以椭圆的方程为
（2）解：，
直线的方程为，令，得，故.
直线的方程为，令，得，故.
依题意可知，
所以，
所以，
由于，
根据二次函数的性质可知.
【知识点】直线的点斜式方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）先求得b，然后设出M点坐标，根据直线AM的斜率与直线BM的斜率之积列出方程，求得a的值，可得椭圆的方程；
（2） 求得 和的面积，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
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湖北省重点中学4G 联合体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·湖北期中）已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·定远月考）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二上·湖北期中）在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲 乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·宜昌期中）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·湖北期中）若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．（2022高二上·湖北期中）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·河南月考）如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·湖北期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．1 B．-7 C．1或-1 D．1或-7
二、多选题
9．（2022高二上·湖北期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
10．（2022高二上·湖北期中）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
11．（2022高二上·湖北期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆：与圆：恰有三条公切线
C．两圆与的公共弦所在的直线方程为
D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
12．（2022·广东三模）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，正方体经过点 P C的截面面积的取值范围为[，]
三、填空题
13．（2022高二上·湖北期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则 .
14．（2022高二上·湖北期中）二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长 .
15．（2022高二上·湖北期中）甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以取得胜利的概率为 .
16．（2022高二上·湖北期中）在矩形中，是平面内的一点，且，则 ；是平面内的动点，且，若，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2022高二上·湖北期中）直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为5，求直线的方程．
18．（2022高二上·湖北期中）已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面.
19．（2022高二上·湖北期中）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
（3）如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？
20．（2022高二上·湖北期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求此圆的标准方程；
（2）设点是圆上的动点，求的最小值，以及取最小值时对应的点的坐标.
21．（2022高二上·湖北期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD， ，且E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：DE平面PAB；
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为 ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
22．（2022高二上·湖北期中）已知是椭圆的左 右顶点，且短轴长为是椭圆上位于轴上方的动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为和.求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】，直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，可求得其倾斜角.
2．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】-＝，
.
故答案为：A．
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出，即可得解．
3．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即，
由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即
因为，所以，故第一声为，第二声为，
因为声音速度恒定，故，故，
故答案为：A
【分析】 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为，，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即可求出椭圆的离心率.
4．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】空间内三点，，，，
因为，，
由，所以，
所以点A到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】，方程一定表示圆；
则圆心坐标为，根据圆的对称性可知，直线通过圆心，
则，
M、N两点关于直线对称
直线与直线相互垂直，，
所以，
故答案为：A.
【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线通过圆心，得出，再由直线与直线相互垂直，得出k=2，可得实数k＋m的值.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，
故两人离开电梯的所有可能情况有种，
而两人在同一层电梯的可能情况有，
所以两人在同一层离开电梯的概率为，
所以两人在不同层离开电梯的概率为，
故答案为：B.
【分析】由古典概型的概率公式结合排列组合与对立事件的概率公式求解，可得答案.
7．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由圆锥的性质可知平面，故可以点O为坐标原点，平面内过点O且垂直于的直线为x轴，分别为y、z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
易知，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，
因此，异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：B
【分析】以点O为坐标原点，平面内过点O且垂直于的直线为x轴，分别为y、z轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值 .
8．【答案】A
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，
线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，
所以以线段为弦的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
所以可设圆心坐标为，
又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，
所以，解得或，
即切点分别为和，由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，且过点的圆的半径比过的圆的半径大，所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是1.
故答案为：A.
【分析】 根据已知及直线的倾斜角与斜率，圆的切线方程，直线与圆的位置关系及判定，判断当∠MPN取最大值时，经过M， N， P三点的圆S必与x轴相切于点P，故圆心的纵坐标为圆的半径，由此求得点P的橫坐标.
9．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
，，A符合题意，B符合题意；
事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C不符合题意；
事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：将曲线化为，
对于A，当时，则，
所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，A符合题意；
对于B，当时，曲线C为椭圆，B符合题意；
对于C，当时，曲线C为椭圆，
椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，C不符合题意；
对于D，当时，则曲线C为椭圆，
则曲线C的焦距为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】将曲线C化为，再根据此方程表示椭圆得出A、B的关系即可判断A，B；根据椭圆的对称性可判断C；求出椭圆的焦距可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】令，则，解得，
所以直线过定点，所以A符合题意；
圆的圆心为半径，
圆的圆心为半径，
圆心距，所以，
所以圆与圆外切，则有3条公切线，
所以B符合题意；
两圆方程联立 ，
作差整理得，所以C不符合题意；
设圆心到直线的距离为，半径，
则，所以，
根据切线长，
当取最小值时，有最小值，
所以，
所以D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】将点(0， 3)代入直线方程中检验可判断A；判断两圆的位置关系即可判断B；将两圆方程相减即可判断C；根据点到直线的距离公式，切线长公式，即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，
即，则当时，，即P为中点时，
有平面，且，A符合题意；
B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B符合题意；
C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知
所以，C不符合题意；
D选项：正方体经过点 P C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
所以点P到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】如图建立空间直角坐标系，求得，求得平面的一个法向量为，由，即可判断A；
连接，易得即为与平面所成角，进而可得，从而说明点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，即可判断B；
如图，将平面与平面沿展成平面图形，即可求解判断C；
如图，建立空间直角坐标系，设，由点到线的距离公式可得，借助二次函数即可判断D.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
【分析】由椭圆的标准方程直接求解，可得答案.
14．【答案】4
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】依题意，，且有，而，
所以.
故答案为：4
【分析】 由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得
，由此求出CD的长.
15．【答案】0.174
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，
由题意，甲要以取胜的可能是，，，
所以
=.
故答案为：0.174.
【分析】 先列出甲以3： 1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可得答案.
16．【答案】2；2
【知识点】向量的几何表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系，
所以，则
又，故，
所以；
由知，
所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则，
因为，
所以，
故可转化为点到与的距离之和，
又，则在直线上，即对应线段，
所以要求，只需求的最小值即可，
而关于对称点为，
故，此时，即，
所以的最小值为2.
故答案为：2；2.
【分析】 由题设有P在以AB为直径的圆上，F为圆心，构建以为原点，为轴的直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出 的值； 设P (x， y)，将转化为点到与的距离之和，利用圆上点到定点距离最值的求法求出 的最小值 .
17．【答案】（1）解：直线方程与方程联立得交点坐标为．
设直线的方程为，代入交点得，所以的方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，得的方程为，符合条件．
当的斜率存在时，设直线的方程为即
根据，解得，
所以直线的方程为．
综上所述，的方程为或．
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】 (1)联立方程组，求得两直线的交点坐标， 设直线的方程为，把交点代入可求出m的值，即可得直线的方程；
(2)分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解出直线的方程．
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
解得，
因为，向量与垂直，
所以，
∴，
∴；
所以实数和的值分别为0和-3；
（2）证明：当时，，
设（），
则，
，解得，
即，
所以向量与向量，共面.
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理
【解析】【分析】（1）由 求出 ，利用向量坐标运算法则求出 ，再由向量与垂直，求出k的值；
（2） 当时， ， 设（）， 列方程组求出的值，进而证得向量与向量，共面.
19．【答案】（1）解：从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即，
设事件“两次取出的都是红球”，则，
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
因为事件两两互斥，
所以P（第二次取到红球）
（2）解：由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）
（3）解：结合（1）中事件，可得，，
因为，
所以，即，解得（负值舍去），
故.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率，即可得第二次取到红球的概率；
（2）由（1）求解可得两次取到的球颜色相同的概率；
（3）由取出的两个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后求解出n的值.
20．【答案】（1）解：因为，，设圆心为，中点为，所以中点为，，则，，，
联立可得，即，，
故圆的方程为；
（2）解：设，，故所求问题转化为到点距离的平方的最小值，则，，
所以；
，，联立得，
即，易知，则，即.
【知识点】圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）结合圆的弦长与圆心性质， 设圆心为，中点为 ，利用 求出 ， 求出 ，联立和 求出a，b，进而求出半径，即可得圆的标准方程；
（2） 把圆的一般方程化为标准方程， 所求问题转化为到点距离的平方的最小值， 由几何关系可求出最小值，求出 ， 联立直线和圆可求出点的坐标.
21．【答案】（1）证明：取PB中点M，连接AM，EM，
∵E为PC的中点，
∴ ，又∵ ，
∴MEAD，ME=AD，
∴四边形ADEM为平行四边形：
∴DEAM，
∵平面PAB，AM 平面PAB，
∴DE平面PAB；
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，则平面PAB，
∴ ， ，
∴ ，又PA=PB=2，∴ ，AB＝2，
如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
∴，C(1，4，0)，D(-1，2，0)，
∴， ，设平面PCD的一个法向量，
∴ ，取，则，
平面PAB的一个法向量可取，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，
∴ ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 取PB中点M，连接AM，EM， 可得DE// AM，利用线面平行的判定定理即得 DE平面PAB；
(2)取AB中点G，由题可得FG⊥平面PAB，进而可得 ， 以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系， 求出平面PCD的一个法向量和平面PAB的一个法向量， 利用向量法求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
22．【答案】（1）解：依题意，，
设，则
，
所以，
所以椭圆的方程为
（2）解：，
直线的方程为，令，得，故.
直线的方程为，令，得，故.
依题意可知，
所以，
所以，
由于，
根据二次函数的性质可知.
【知识点】直线的点斜式方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）先求得b，然后设出M点坐标，根据直线AM的斜率与直线BM的斜率之积列出方程，求得a的值，可得椭圆的方程；
（2） 求得 和的面积，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
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