湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷（B卷）
一、单选题
1．（2022高二上·青岛期中）若数列，，，，是等比数列，则的值是（）
A．12 B． C． D．
2．（2022高二上·长沙期中）已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A．且 B．且
C． D．
3．（2022高二上·长沙期中）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·长沙期中）已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则（ ）
A．2022 B．－2022 C． D．1011
5．（2022高二上·长沙期中）椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．（2022高二上·越秀期中）已知圆，直线，若上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·辽宁月考）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
8．（2022高二上·延安期中）设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·长沙期中）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）
A． B．
C．(为常数) D．
10．（2022高二上·长沙期中）已知椭圆分别为它的左 右焦点，为椭圆的左 右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的周长为15
B．若，则的面积为9
C．为定值
D．直线与直线斜率的乘积为定值
11．（2022高二上·烟台期中）已知直线与圆相交于，两点，则（）
A．的面积为定值
B．
C．圆上总存在3个点到直线的距离为2
D．线段中点的轨迹方程是
12．（2022高二上·长沙期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
三、填空题
13．（2022高二上·长沙期中）设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10﹣S5＝20，那么a8＝ .
14．（2023高三上·光明期中）已知数列的前项和为，，，则数列 ．
15．（2022高二上·长沙期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ．
16．（2022高二上·长沙期中）已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
17．（2022高二上·萧山期中）已知直线
（1）求证：直线l过定点，并求出此定点；
（2）求点到直线l的距离的最大值.
18．（2022高二上·长沙期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=4，a13=14.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值及相应的n的值；
（3）在公比为q的等比数列{bn}中，b2=a8，b1+b2+b3=a13，求.
19．（2022高三上·聊城期中）已知正项数列满足且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项的和．
20．（2022高二上·长沙期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为的中点．
.
（1）若点M在线段上，试确定点M的位置使得直线平面．并证明；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值．
21．（2022高二上·长沙期中）记数列{an}的前n项和为Sn，bn＝an＋1－Sn，且{bn}是以－1为公差的等差数列，a1＝2，a2＝3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an }的前n项和．
22．（2022高二上·长沙期中）如图，椭圆的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A B两点，P为线段的中点.
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令，确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形的面积最大？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】数列 ， ， ， ， 是等比数列，则 ，故 ，
，故 .
故答案为：C
【分析】根据等比数列得到，结合得到答案.
2．【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为方程表示椭圆，
所以，
解得且。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义，进而求出实数k的取值范围。
3．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可得：，则，
故。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而求出等差数列前120项的和。
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解法1：由已知，得，则，
根据等差数列的性质有，
所以，有
解法2：由已知，得，则，
根据等差数列的性质有，，
所以，。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合两种方法求解，再利用等差数列的性质和指数幂的运算法则，进而结合等差数列前n项和公式得出的值。
5．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
由题意，椭圆，其中，，
由于点B为椭圆的上顶点，故，
周长为，
其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，
，
即，故周长最大值为12。
故答案为：C
【分析】由题意，椭圆，进而得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，从而得出点B和两个焦点的坐标，由于点B为椭圆的上顶点，再利用中点的性质得出的长，再结合三角形的周长公式得出三角形周长为，再利用几何法和勾股定理得出三角形周长的最大值。
6．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
， ， ， ，
，
，
当 取得最小值，即 为圆心 到直线 的距离 时， 取得最大值，
存在点 使得 ，则此时 ，
则 ，即 ，
解得： ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由圆的性质可确定且 为圆心 到直线 的距离 时， 取得最大值，由此可构造不等式解得实数 的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任一点
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径，
它等于棱长的一半，即长度为4，的长为正方体的对角线长，为，
我们将三角形单独抽取出来如下图所示：
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，得到正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径，利用向量的数量积的运算公式，得到，进而求得的最小值.
8．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】当 时， ，解得： ，
当 时， ，
整理得 ，
方程两边同除以 ，得 ，
又 ，故 是等差数列，首项为6，公差为4，
所以 ，
故 ，经验证，满足要求，
所以 为 ，
故 ，对任意 恒成立，
，当 时， ，
故 ，
单调递减，当 时， 取得最大值 ，
故 ，解得： ，
则 的最小值为 .
故答案为：D
【分析】 根据an与Sn的关系，构造等差数列求得数列{an}的通项公式an ，即可求得，根据数列的单调性，即可求得k的最小值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】对于A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，A不符合题意；
对于B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，B符合题意；
对于C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，
故为等差数列，C符合题意；
对于D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，进而找出仍为等差数列的选项。
10．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，∵椭圆C ，
∴ ， ，，
∴的周长为，A不符合题意，
对于B，∵，
，
∵，故，
∴ ，
∴的面积为 ，B符合题意；
对于C，由题意知 ，设，
则
为定值，C符合题意；
对于D，设 （ ），
则 ，∴，
∵在椭圆上，则 ，即，
∴。联立可得 ，D符合题意
故答案为：BCD ．
【分析】利用已知条件结合三角形的周长公式、三角形的面积公式、数量积的坐标表示、两点求斜率公式，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】对A，点O到直线 的距离 ，为定值，
所以 为定值，所以 为定值，故正确；
对B，由A知， ，所以 ，故正确；
对C，因为圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，所以 ，故圆上到直线的距离为2的点只有2个，故错误；
对D，设线段 中点 ，由圆的几何性质知 ，所以 点的轨迹方程为 ，即 ，故正确.
故答案为：ABD
【分析】根据圆的几何性质，求出圆心到直线的距离为定值1，可判断AD，再由圆的几何性质知，由二倍角公式可判断B，根据点到直线的距离及可判断C.
设线段 中点 ，由圆的几何性质知 ，可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；数列的求和；归纳推理；反证法与放缩法
【解析】【解答】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有
，利用累加法，
得，得到；n=1成立
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有
，利用累加法，
得，得到，n=1成立
对于A，，利用裂项求和法：，A不符合题意；
对于B，令，解得；令，解得；B符合题意；
对于C，，则
，
整理得，，C符合题意；
对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法、累加法、数列求和的方法、放缩法、恒成立问题求解方法，进而找出说法正确的选项。
13．【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8＝20，a8＝4。
故答案为4。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出等差数列的第八项的值。
14．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】由题意得到，化简得到，结合累积法，即可求解.
15．【答案】20
【知识点】平面内点到直线的距离公式；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则，
所以，所以，所以的最大值为20。
故答案为：20。
【分析】将方程可化为，从而得出圆的圆心坐标和半径长，再利用圆关于直线对称结合圆与圆关于直线对称求解方法，再结合中点坐标公式和两圆关于直线对称半径相等的性质，进而得出a的值，令，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出，所以，再利用绝对值不等式求解方法得出z的取值范围，从而得出z的最大值，进而得出的最大值。
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，线段PQ的中点为，
由，知F为的重心，故，
即，解得，
又M为线段PQ的中点，则，
又P、Q为椭圆C上两点，则，
两式相减得，
所以，
化简得，则
解得或（故舍去）
则，则离心率。
故答案为：。
【分析】设，线段PQ的中点为，由，知F为的重心，故，再利用向量共线的坐标表示得出，再利用点M为线段PQ的中点结合中点坐标公式得出，再利用P、Q为椭圆C上两点结合代入法得出，两式相减得，再利用两点求斜率公式解得或（故舍去），再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，则，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
17．【答案】（1）证明：由直线 ，则 ，
可得 ，解得 ，
故直线l过定点 .
（2）解：由（1）可知直线 过定点 ，
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】(1)整理直线方程求出两条直线的交点，可得直线恒过的定点的坐标；
(2)由(1)可得直线恒过的定点Q的坐标，当AQ⊥l 时，则Q到直线的距离最大，即|AQ|为Q到直线的最大距离.
18．【答案】（1）解：∵a8=4，a13=14.
∴，
则数列{an}的通项公式an=﹣10+2(n﹣1)=2n﹣12.
（2）解：，
∴当n=5或6时，Sn取得最小值，
最小值为﹣30，此时相应的n=5或6；
（3）解：∵b2=a8=4，b1+b2+b3=a13=14，
∴b1+b3=14﹣4=10，
设公比为q，
则2q2﹣5q+2=0，
解得q=2或q=.
若q=2，则，
若q=，则.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式得出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式。
（2）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出Sn的最小值及相应的n的值。
（3）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出等比数列的公比的值，再利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式，进而得出 的值。
19．【答案】（1）解：由题意得：，
∵，∴，即为常数，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)将题干中的递推公式 ，转化可得 ，即可得 数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出可得数列 的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式即可计算出前项的和．
20．【答案】（1）解：为的中点，证明如下：
记为的中点，连接，如图，
因为为的中点，所以且，
又因为四边形是矩形，所以且，故且，
又因为E为的中点，所以且，
故四边形是平行四边形，故，
又面，面，所以平面．
.
（2）解：在平面内过作轴垂直于，
因为平面，则，轴，
故以为坐标原点，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
因为，则，故，
所以，
则，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件判断出 为的中点。记为的中点，连接，利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用四边形是矩形，所以且，故且，再结合E为的中点，所以且，故四边形是平行四边形，故，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 在平面内过作轴垂直于，利用平面，则，轴，
故以为坐标原点，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法，进而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值。
21．【答案】（1）解：由，当时，，
∴是以1为首项，－1为公差的等差数列，，
∴，当时，有，两式相减，
得，即，
，，满足，
∴是1为首项2为公比的等比数列，
∴，，
∴的通项公式为.
（2）解：，
设，，
数列的前n项和为，
，
则，
两式相减，得，
令，
则，两式相减，，，
，
.
数列的前n项和为，
则，
，
所以数列的前n项和为.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由结合等差数列的定义，进而判断出数列是以1为首项，－1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出，所以，再利用的关系式和分类讨论的方法和等比数列的定义，进而判断出数列是1为首项2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合错位相减方法和分组求和的方法，进而得出数列{an }的前n项和。
22．【答案】（1）解：设，设，
在椭圆上，则，
当不垂直于轴时，，
①－②得，
，
所以，整理得（*）．
当直线与轴垂直时，点即为点，满足方程（*），
故所求点的轨迹的方程为：；
（2）解：椭圆的右准线的方程是，原点距右准线的距离为，由于，
，，
则，
时，上式达到最大值，
所以时，原点距离右准线最远，此时，，，，，
设椭圆上的点，
的面积为，
设直线的方程是，代入椭圆方程得：，
所以，，
，
令，，当且仅当，即时取等号，
因此当直线绕点转动到垂直轴的位置时，面积最大．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，设，再利用在椭圆上结合代入法，则，当不垂直于轴时，，①－②结合两点求斜率公式得出（*），当直线与轴垂直时，点即为点，满足方程（*），从而得出所求点的轨迹的方程。
（2）利用椭圆的右准线的方程是，原点距右准线的距离为，由于，，，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式得出，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出当时，原点距离右准线最远，此时，，，，，设椭圆上的点，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积为，设直线的方程是，代入椭圆方程得：，再利用韦达定理得出，，进而得出，令，再利用均值不等式求最值的方法得出当直线绕点转动到垂直轴的位置时，三角形面积最大。
1 / 1湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷（B卷）
一、单选题
1．（2022高二上·青岛期中）若数列，，，，是等比数列，则的值是（）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】数列 ， ， ， ， 是等比数列，则 ，故 ，
，故 .
故答案为：C
【分析】根据等比数列得到，结合得到答案.
2．（2022高二上·长沙期中）已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A．且 B．且
C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为方程表示椭圆，
所以，
解得且。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义，进而求出实数k的取值范围。
3．（2022高二上·长沙期中）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可得：，则，
故。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而求出等差数列前120项的和。
4．（2022高二上·长沙期中）已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则（ ）
A．2022 B．－2022 C． D．1011
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解法1：由已知，得，则，
根据等差数列的性质有，
所以，有
解法2：由已知，得，则，
根据等差数列的性质有，，
所以，。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合两种方法求解，再利用等差数列的性质和指数幂的运算法则，进而结合等差数列前n项和公式得出的值。
5．（2022高二上·长沙期中）椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
由题意，椭圆，其中，，
由于点B为椭圆的上顶点，故，
周长为，
其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，
，
即，故周长最大值为12。
故答案为：C
【分析】由题意，椭圆，进而得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，从而得出点B和两个焦点的坐标，由于点B为椭圆的上顶点，再利用中点的性质得出的长，再结合三角形的周长公式得出三角形周长为，再利用几何法和勾股定理得出三角形周长的最大值。
6．（2022高二上·越秀期中）已知圆，直线，若上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
， ， ， ，
，
，
当 取得最小值，即 为圆心 到直线 的距离 时， 取得最大值，
存在点 使得 ，则此时 ，
则 ，即 ，
解得： ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由圆的性质可确定且 为圆心 到直线 的距离 时， 取得最大值，由此可构造不等式解得实数 的取值范围.
7．（2022高二上·辽宁月考）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任一点
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径，
它等于棱长的一半，即长度为4，的长为正方体的对角线长，为，
我们将三角形单独抽取出来如下图所示：
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，得到正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径，利用向量的数量积的运算公式，得到，进而求得的最小值.
8．（2022高二上·延安期中）设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】当 时， ，解得： ，
当 时， ，
整理得 ，
方程两边同除以 ，得 ，
又 ，故 是等差数列，首项为6，公差为4，
所以 ，
故 ，经验证，满足要求，
所以 为 ，
故 ，对任意 恒成立，
，当 时， ，
故 ，
单调递减，当 时， 取得最大值 ，
故 ，解得： ，
则 的最小值为 .
故答案为：D
【分析】 根据an与Sn的关系，构造等差数列求得数列{an}的通项公式an ，即可求得，根据数列的单调性，即可求得k的最小值.
二、多选题
9．（2022高二上·长沙期中）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）
A． B．
C．(为常数) D．
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】对于A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，A不符合题意；
对于B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，B符合题意；
对于C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，
故为等差数列，C符合题意；
对于D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，进而找出仍为等差数列的选项。
10．（2022高二上·长沙期中）已知椭圆分别为它的左 右焦点，为椭圆的左 右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的周长为15
B．若，则的面积为9
C．为定值
D．直线与直线斜率的乘积为定值
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，∵椭圆C ，
∴ ， ，，
∴的周长为，A不符合题意，
对于B，∵，
，
∵，故，
∴ ，
∴的面积为 ，B符合题意；
对于C，由题意知 ，设，
则
为定值，C符合题意；
对于D，设 （ ），
则 ，∴，
∵在椭圆上，则 ，即，
∴。联立可得 ，D符合题意
故答案为：BCD ．
【分析】利用已知条件结合三角形的周长公式、三角形的面积公式、数量积的坐标表示、两点求斜率公式，进而找出结论正确的选项。
11．（2022高二上·烟台期中）已知直线与圆相交于，两点，则（）
A．的面积为定值
B．
C．圆上总存在3个点到直线的距离为2
D．线段中点的轨迹方程是
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】对A，点O到直线 的距离 ，为定值，
所以 为定值，所以 为定值，故正确；
对B，由A知， ，所以 ，故正确；
对C，因为圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，所以 ，故圆上到直线的距离为2的点只有2个，故错误；
对D，设线段 中点 ，由圆的几何性质知 ，所以 点的轨迹方程为 ，即 ，故正确.
故答案为：ABD
【分析】根据圆的几何性质，求出圆心到直线的距离为定值1，可判断AD，再由圆的几何性质知，由二倍角公式可判断B，根据点到直线的距离及可判断C.
设线段 中点 ，由圆的几何性质知 ，可判断D.
12．（2022高二上·长沙期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；数列的求和；归纳推理；反证法与放缩法
【解析】【解答】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有
，利用累加法，
得，得到；n=1成立
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有
，利用累加法，
得，得到，n=1成立
对于A，，利用裂项求和法：，A不符合题意；
对于B，令，解得；令，解得；B符合题意；
对于C，，则
，
整理得，，C符合题意；
对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法、累加法、数列求和的方法、放缩法、恒成立问题求解方法，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二上·长沙期中）设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10﹣S5＝20，那么a8＝ .
【答案】4
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8＝20，a8＝4。
故答案为4。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出等差数列的第八项的值。
14．（2023高三上·光明期中）已知数列的前项和为，，，则数列 ．
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】由题意得到，化简得到，结合累积法，即可求解.
15．（2022高二上·长沙期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ．
【答案】20
【知识点】平面内点到直线的距离公式；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则，
所以，所以，所以的最大值为20。
故答案为：20。
【分析】将方程可化为，从而得出圆的圆心坐标和半径长，再利用圆关于直线对称结合圆与圆关于直线对称求解方法，再结合中点坐标公式和两圆关于直线对称半径相等的性质，进而得出a的值，令，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出，所以，再利用绝对值不等式求解方法得出z的取值范围，从而得出z的最大值，进而得出的最大值。
16．（2022高二上·长沙期中）已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，线段PQ的中点为，
由，知F为的重心，故，
即，解得，
又M为线段PQ的中点，则，
又P、Q为椭圆C上两点，则，
两式相减得，
所以，
化简得，则
解得或（故舍去）
则，则离心率。
故答案为：。
【分析】设，线段PQ的中点为，由，知F为的重心，故，再利用向量共线的坐标表示得出，再利用点M为线段PQ的中点结合中点坐标公式得出，再利用P、Q为椭圆C上两点结合代入法得出，两式相减得，再利用两点求斜率公式解得或（故舍去），再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，则，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
四、解答题
17．（2022高二上·萧山期中）已知直线
（1）求证：直线l过定点，并求出此定点；
（2）求点到直线l的距离的最大值.
【答案】（1）证明：由直线 ，则 ，
可得 ，解得 ，
故直线l过定点 .
（2）解：由（1）可知直线 过定点 ，
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】(1)整理直线方程求出两条直线的交点，可得直线恒过的定点的坐标；
(2)由(1)可得直线恒过的定点Q的坐标，当AQ⊥l 时，则Q到直线的距离最大，即|AQ|为Q到直线的最大距离.
18．（2022高二上·长沙期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=4，a13=14.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最小值及相应的n的值；
（3）在公比为q的等比数列{bn}中，b2=a8，b1+b2+b3=a13，求.
【答案】（1）解：∵a8=4，a13=14.
∴，
则数列{an}的通项公式an=﹣10+2(n﹣1)=2n﹣12.
（2）解：，
∴当n=5或6时，Sn取得最小值，
最小值为﹣30，此时相应的n=5或6；
（3）解：∵b2=a8=4，b1+b2+b3=a13=14，
∴b1+b3=14﹣4=10，
设公比为q，
则2q2﹣5q+2=0，
解得q=2或q=.
若q=2，则，
若q=，则.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式得出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式。
（2）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出Sn的最小值及相应的n的值。
（3）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出等比数列的公比的值，再利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式，进而得出 的值。
19．（2022高三上·聊城期中）已知正项数列满足且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项的和．
【答案】（1）解：由题意得：，
∵，∴，即为常数，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)将题干中的递推公式 ，转化可得 ，即可得 数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出可得数列 的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式即可计算出前项的和．
20．（2022高二上·长沙期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为的中点．
.
（1）若点M在线段上，试确定点M的位置使得直线平面．并证明；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）解：为的中点，证明如下：
记为的中点，连接，如图，
因为为的中点，所以且，
又因为四边形是矩形，所以且，故且，
又因为E为的中点，所以且，
故四边形是平行四边形，故，
又面，面，所以平面．
.
（2）解：在平面内过作轴垂直于，
因为平面，则，轴，
故以为坐标原点，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
因为，则，故，
所以，
则，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件判断出 为的中点。记为的中点，连接，利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用四边形是矩形，所以且，故且，再结合E为的中点，所以且，故四边形是平行四边形，故，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 在平面内过作轴垂直于，利用平面，则，轴，
故以为坐标原点，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法，进而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值。
21．（2022高二上·长沙期中）记数列{an}的前n项和为Sn，bn＝an＋1－Sn，且{bn}是以－1为公差的等差数列，a1＝2，a2＝3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an }的前n项和．
【答案】（1）解：由，当时，，
∴是以1为首项，－1为公差的等差数列，，
∴，当时，有，两式相减，
得，即，
，，满足，
∴是1为首项2为公比的等比数列，
∴，，
∴的通项公式为.
（2）解：，
设，，
数列的前n项和为，
，
则，
两式相减，得，
令，
则，两式相减，，，
，
.
数列的前n项和为，
则，
，
所以数列的前n项和为.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由结合等差数列的定义，进而判断出数列是以1为首项，－1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出，所以，再利用的关系式和分类讨论的方法和等比数列的定义，进而判断出数列是1为首项2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合错位相减方法和分组求和的方法，进而得出数列{an }的前n项和。
22．（2022高二上·长沙期中）如图，椭圆的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A B两点，P为线段的中点.
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令，确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形的面积最大？
【答案】（1）解：设，设，
在椭圆上，则，
当不垂直于轴时，，
①－②得，
，
所以，整理得（*）．
当直线与轴垂直时，点即为点，满足方程（*），
故所求点的轨迹的方程为：；
（2）解：椭圆的右准线的方程是，原点距右准线的距离为，由于，
，，
则，
时，上式达到最大值，
所以时，原点距离右准线最远，此时，，，，，
设椭圆上的点，
的面积为，
设直线的方程是，代入椭圆方程得：，
所以，，
，
令，，当且仅当，即时取等号，
因此当直线绕点转动到垂直轴的位置时，面积最大．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，设，再利用在椭圆上结合代入法，则，当不垂直于轴时，，①－②结合两点求斜率公式得出（*），当直线与轴垂直时，点即为点，满足方程（*），从而得出所求点的轨迹的方程。
（2）利用椭圆的右准线的方程是，原点距右准线的距离为，由于，，，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式得出，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出当时，原点距离右准线最远，此时，，，，，设椭圆上的点，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积为，设直线的方程是，代入椭圆方程得：，再利用韦达定理得出，，进而得出，令，再利用均值不等式求最值的方法得出当直线绕点转动到垂直轴的位置时，三角形面积最大。
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