数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式的应用（共18张ppt）

(共18张PPT)
第四章
数列
4.3.2
等比数列前n项和公式
应用
学习目标
1.能够把实际问题转化成数列问题.
2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程.
复习引入
1、等比数列的定义：
2、等比数列的通项公式：
an=a1qn-1，an=amqn-m
3、等比数列的主要性质：
①等比中项：
②m+n=p+q=2k
复习引入
1、等比数列前n和公式
2、等比求和要考虑公比是否为1.
3、常用方法为错位相减法.
4.等比推广性质：若等比数列{an}的公比-1，前n项和为，则-，成等比数列.
例题解析
例1：有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）
A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟
C
【解析】根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，
即至少需8秒细菌将病毒全部杀死.
例题解析
例2：某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )
A.1.14a B.11×(1.15－1)a
C.1.15a D.10×(1.16－1)a
B
【解析】从今年起到第5年，这个厂的总产值为
a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15
例题解析
例3：画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则这10个正方形的面积和等于________.
212－4
【解析】依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，
为公比的等比数列{an}，故，
所以面积
所以面积和
例题解析
例4：如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点 作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
例题解析
【解析】从设第一个正方形的面积为，后续面积依次为,,…，
则=25,由于第个正方形的顶点是第个正方形各边的中点，
=,因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列.
设{}的前项和为
(1)===
故，前10个正方形的面积之和为c.
(2)==
随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例题解析
例5：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量.
例题解析
【解析】假设从今年起每年生活垃圾的总量{}，每年环保方式处理垃圾量{}，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ，则=20,=6+1.5
=
=
=()
当时，
故，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例题解析
例6：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中, 为常数；
（3）求=的值（精确到1）.
例题解析
例6：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
【解析】(1)由题意得，,
例题解析
例6：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中, 为常数；
【解析】(2)将化成，
与比较可得，
所以解得：
所以(1)中的递推公式可以化为
例题解析
例6：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（3）求=的值（精确到1）.
【解析】(3)由(2)可知，数列是以-50位首项，以1.08为公比的等比数列
则
例题小结
解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
课堂小结
1.知识清单：
(1)构造等比数列.
(2)建立数学模型.
2.方法归纳：构造法、转化法.
3.常见误区：在实际问题中首项和项数弄错.
作业布置