(共18张PPT)
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．
完全平方公式：
（或减去）
（或者差）
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如 的多项式称为完全平方式.
探究新知
a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2
a2－2ab+b2 =（a－b）2
16x2+40x+25= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )2
=( )2- 2( )( )+( )2 =( - )2
4x
4x
4x
5
5
5
公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚至是多项式
n
n
n
填一填
下列各式是不是完全平方式
判一判
（ 5）
是
不是
不是
是
不是
是
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 各表示什么？
练一练
填上一项，使下列多项式成为完全平方式．
填一填
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
例1
例题分析
把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）-x2+4xy-4y2
试一试
例2
1、(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2
分解因式:
2、3ax2+6axy+3ay2
原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
2.下面因式分解对吗？为什么？
1．分解因式：
1、把 分解因式得( )
A、 B、
2、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
选一选
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20 C、10 D、-10
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6 C、3 D、±3
5、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算 的结果（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2
2、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
1、你能用口算求出20052-4010× 2003+20032的值吗？
3、已知x2+y2+6x-4y+13=0.求xy的值；
4、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗
4
4x4，±4x
-6
[（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2
拓展提高
1、是一个二次三项式
一、完全平方式具有：
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
首先提取公因式；然后考虑用公式；最后写成连乘式；不能再分才为止。
二、因式分解的基本思路
课堂小结
课后作业
课后作业(共18张PPT)
想一想： 能被100整除吗？你是怎么想的？看与同学的想法是不是一样？相互交流一下。
知识回顾
因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
探究新知
观察下列各式的结构有什么特点：
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2
⑵ 2πR＋2πr
⑶ ma＋mb
⑷ cx－cy＋cz
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2
⑵ 2πR＋2πr
⑷ cx－cy＋cz
公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式
⑶ ma＋mb
因式分解：
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
解:
公因式
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
提公因式法
探究发现
找出下列各多项式中的公因式
公因式
系数
字母
3
5a
6a２b
各项系数的最大公约数
取每项中含有的相同字母
问:多项式中的公因式是如何确定的？
指数
相同字母的最低次幂
找一找
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
系数的最大公约数
相同字母
公因式
4
a
b
一看系数 二看字母 三看指数
步骤
12a2b3－8a3b2－16ab4
最低次幂
2
练习:找出下列式子的公因式
4ab2
议一议
(1)3x+5x=( )(3+5)
(2)3mx-3my =( )(x-y)
(3)3xy+xyz=( )(3+z)
(4)5a2+5b=( )( )
(5)3xy－3xz+3z=( )( )
x
3m
xy
5
a2+b
3
xy—xz+z
因式分解:提公因式法
课前热身
1、找出公因式
2、提取公因式得到另一个因式
3、写成积的形式
问:第二个因式可以用什么方法得到
用多项式除以公因式
例题讲授
找出公因式
提取公因式得到 另一个因式
写成积的形式
←不能漏掉
=x(3x-6y+1)
例题分析
提尽勿漏“1”
把下列各式因式分解
做一做
例3:把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
＝ 0
拓展应用
2.试说明:817－279－913能被45整除.
解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=324×45
∴817－279－913能被45整除.
拓
展
应
用
一看系数 二看字母 三看指数
课堂小结
三、因式分解与整式乘法的关系：
1、式：m（a+b+c）=ma+mb+mc
是整式乘法
2、式：ma+mb+mc=m（a+b+c）
是因式分解
因式分解是整式乘法的逆运算
m是公因式
提公因式法
课堂小结
分解下列各因式
课堂作业登陆21世纪教育 助您教考全无忧
12.5因式分解 ( 21世纪教育网版权所有 )
教学目标
1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。21世纪教育网
2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式。
3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力 ( 21世纪教育网版权所有 )。21世纪教育网
教学重点：
因式分解的概念及提公因式法。
教学难点：
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
教学过程：
一、复习提问 ( 21世纪教育网版权所有 )
乘法对加法的分配律。21世纪教育网
二、探究新知
1．新课引入：用类比的方法引入课题．
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．
在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一节就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法。
2．因式分解的概念 ( 21世纪教育网版权所有 )：21世纪教育网
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结 果。(老师按学生所说在黑板写出几个．)
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
2xy(x2y+1)=2x3y2+2xy
(a+b)(ab)＝a2b+ab2
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
再请学生观察它们有什么共同的特点？
特点：左边，整式×整式；右边，是多项式。
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解。21世纪教育网
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)。
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc。
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别。
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式。
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式。
例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？21世纪教育网
(1)x2x＝x(x1) (√)
(2)a(ab)＝a2ab (×)
(3)(a+3)(a3)＝a29 (×)
(4)a22a+1＝a(a2)+1 (×)
(5)x24x+4＝(x2)2 (√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法 ( 21世纪教育网版权所有 )。
3、提公因式法：21世纪教育网
我们看多项式：ma+mb+mc
请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
注意：公因式是各项都含有的公共的因式．
又如：a是多项式a2+a各项的公因式． ab是多项式5a2b+ab2各项的公因式．2mn是多项式4m2n+p2mn2q各项的公因式。
根据乘法的分配律，可得 m(a+b+c)＝ma+mb+mc， 逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc＝m(a+b+c)。21世纪教育网
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 ( 21世纪教育网版权所有 )。
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式： 21世纪教育网
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx6mx2 (3mx)
(3)4a2+10ah (2a)
(4)x2y+xy2 (xy)
(5)12xyz9x2y2 (3xy)
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式。21世纪教育网
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式 ( 21世纪教育网版权所有 )。
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2。
解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2.3ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)。21世纪教育网
说明：
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．
(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解 ( 21世纪教育网版权所有 )。
例2 把3x6y+x 分解因式。21世纪教育网
分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1。
解：3x2y+x＝x(3x2y+1)。
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x26xy+x=x(3x6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项 ( 21世纪教育网版权所有 )。21世纪教育网
三、课堂练习21世纪教育网
把下列各式分解因式：
(l)2πR+2πr；
(2)3x3+6x2；
(3)21a2+7a；
(4)15a2+25ab2；
(5)x2y+xy2+xy．
例3 把4m3+16m226m分解 ( 21世纪教育网版权所有 )因式21世纪教育网
分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提号时，注意添括号法则。21世纪教育网
解：4m3+16m2+26m
＝(4m3+16m2+26m)
＝2m(2m2+8m+13)．
说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式。
四、课堂练习：
把下列各式分解因式 ( 21世纪教育网版权所有 )：
(1)15ax+20a；
(2)25x8+125x16；
(3)a3b2+a2b3；
(4)x3y3+x2y2+xy；
(5)3ma3+6ma2+12ma；
五、课堂小结21世纪教育网
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
4．提公因式法因式分解中应注意的问题 ( 21世纪教育网版权所有 )．
六、课后作业21世纪教育网
1、3x+6
2、7x2-21x
3、8a3b2-12ab3c+abc
4、-24x3-12x2+28x
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网(共14张PPT)
整体思想化归思想
x2y4-9=(xy2)2-32
综合的思想
2x3-8x=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
是对整式乘法的再认识、逆运用，与整式乘法运算有密切的联系。
教 材 分 析
分解因式
理解和掌握平方差公式的特点，
会运用平方差公式分解因式
①培养学生动手操作、探究知识、合作学习的推理能力
②培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维的 能力和数学的应用意识，渗透整体思想
让学生初步树立矛盾的对立统一观点； 让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦和勇于探索的精神；感悟数学美
⑴知识与技能
⑵过程与方法
⑶情感与态度
知识目标
知识重难点
重点是会运用平方差公式因式分解，培养学生观察、分析问题和探究知识的能力。
难点是准确理解和掌握公式的结构特征。
学生已有七年级所学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出a2-b2 = (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解是难点,所以应进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
学 情 分 析
创设情境来激发学生的学习兴趣，引导学生探究大正方形的角上截取一个小正方形后剩余的面积,在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力,对学生想到的有效方法都及时给予充分评价，学生通过探究演示讨论得出 a2－b2=(a+b)(a－b)，并领会a,b可以表示什么？
学 法 指 导
1、创设情境，导入新课
我们来试一试看谁算得快：
6782-3782 852-842
你想知道怎么才能算得快吗？
教 学 程 序
活动一 将边长为a的正方形一角减去一个边长为b的小正方形，观察你剪剩下的部分。思考：怎样计算它的面积？
情境引入
a2-b2=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)
a2-b2=(a-b)2+b(a-b)+b(a-b)
=(a-b)(a-b+b+b)
= (a+b)(a-b)
a2-b2= (a+b)(a-b)
a2-b2=
(b+b+a+a)(a-b)
2
=
(2b+2a)(a-b)
2
=
2(a+b)(a-b)
2
= (a+b)(a-b)
运用平方差公式分解因式
问题（1）用语言叙述公式
（2）公式有什么特点
（3）公式中的字母a、b 可以表示什么？
活动二 根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a,谁相当于公式中的b
x2-16=x2-42=(x+4)(x-4)
9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)
a2-b2=(a+b)(a-b)
合作交流
灵活运用
（1）25m2=( )2 (2)0.49b2=( )2 (3) c2=( )2
把下列各式分解因式 ：
（1）25m2－0.49b2
（2）9（m+n）2－(m－n)2
(3) 2x 3－8x
（进一步让学生理解平方差公式中的字母a ,b不仅可以表示数而且可以表示其它代数式；引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再分解为止。）
自我检测
一、下列多项式可否用平方差公式分解因式，如果可以应分解成什么式子？如果不可以请说明理由。
①x2+1 ②－x2+y2
③0.9x2－y2 ④－9－16y2
⑤－4(x+y)2+(x－y)2
(目标是使学生理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式)
目 标
评 价
自我检测
二、分解因式 ：4x2-16y2
（目的是关注学生是否能选取适当的方法将一个多项式分解因式，分解到每个多项式因式不能再分解为止，让学生说明每一步的思考的理由）
目 标
评 价
自我检测
三、思考题：
1．248－1可以被60和70之间的两个数整除，请求出这两个数。
2．两个连续偶数的平方差能被4整除吗？请与你的同伴交流。
（目的是让学生体会、理解分解因式的意义，通过类比分解因数与分解因式关注不同层次学生的知识技能的发展）
目 标
评 价
自我检测登陆21世纪教育 助您教考全无忧
12.5因式分解 ( 21世纪教育网版权所有 )
【知识要点】 1cnjy
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算.
2．提公因式法1cnjy
（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 ( 21世纪教育网版权所有 ).
（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.
3．公式法：1cnjy
（1）常用公式 平 方 差：
完全平方：
常见的两个二项式幂的变号规律：
①；②．（为正整数）
【课前热身】
1．计算下列各式：
（1）= （2）=
（3）= （4）=
2．根据上题填空：
（1）= （2）=
（3）= （4）=
【典型例题】
例1 把下列各 ( 21世纪教育网版权所有 )式分解因式1cnjy
（1） （2）
（3） （4）
例2 把下列各式分解因式
（1）= （2）=
（3）= （4）=
例3 把下列各式分解因式
（1）= （2）=
（3）= （4）=
例4 计算1cnjy
(1)
(2)…
例5 求证：能被整除 ( 21世纪教育网版权所有 )．
【练 习】 A 组
一、选择题1cnjy
1．下列各式：①；②；③；④，其中从左至右的变形是因式分解的有 ( 21世纪教育网版权所有 )（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．观察下列各组式子，其中有公因式的是（ ）
①与；②与；③与；
④与
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
4．多项式提公因式后，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
二、分解因式1cnjy
1．（且是整数 ( 21世纪教育网版权所有 )）=
2．=
3．=
4．=
5．=
B 组
一、因式分解:1cnjy
1． 2．
3．
4．
二、计算:
（1） （2）
（3） （4）
三、解答应用1cnjy
1．求证：对于任意的正整数一定是10的倍数.
2．大小两个圆，这两个圆的圆心是同一个，它们围成的图形叫做环形，若两个同心圆的半径分别是17.25cm和7.25cm，求它们围成的环形的面积.（取3.14）
四、课后作业1cnjy
1．已知能被40至50之间的整数整除，则这个数可以是 ( 21世纪教育网版权所有 )（ ）
A．46 B．47 C．48 D．49
2．分解因式1cnjy
（1） （2）
（3） （4）
3．解下列方程:
4．计算
5．证明能被整除 ( 21世纪教育网版权所有 )．
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