沪科版数学九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元过关卷

沪科版数学九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元过关卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·南湖期中）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022九上·龙口期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·沂南期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022九上·晋安月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
5．（2022九上·宁波开学考）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
6．（2022九上·舟山期中）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（　　）
A．1m B．0.8m C．0.6m D．0.4m
7．（2022九上·晋安月考）已知二次函数y＝kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． 且k≠0
C． D． 且k≠0
8．（2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．4
9．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
10．（2021九上·龙凤期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2＋2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋AP的最小值为（　　）.
A．3 B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2022九上·龙口期中）若是关于x的二次函数，则m的值是　 　．
12．（2022九上·五台期中）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是　 　．（只需写一个）．
13．（2022九上·杭州期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　.
14．（2022·南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为　 　s时，小球达到最高点．
15．（2021·包头）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为　 　．
三、综合题（共7题，共85分）
16．（2022·长宁模拟）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
17．（2021九上·温州开学考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
18．（2020·泰州）如图，在 中， ， ， ， 为 边上的动点（与 、 不重合）， ，交 于点 ，连接 ，设 ， 的面积为 .
（1）用含 的代数式表示 的长；
（2）求 与 的函数表达式，并求当 随 增大而减小时 的取值范围.
19．（2022·岳阳）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集.
20．（2022九上·尧都期中）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，喷出的水最远落在地面C处．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程；
（2）灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点F时，求此时点F的坐标．
21．（2022九上·南湖期中）某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）.
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（），销售单价为y元/.根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值.（利润=销售总额－总成本）
22．（2022九上·龙马潭期中）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？
（3）已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，的周长最小？最小值是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：D
【分析】抛物线的顶点坐标为，根据抛物线的平移方向与距离求出平移后的抛物线的顶点坐标，利用顶点式写出解析式即可.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】将点A、B、C的坐标代入求出、、，再比较大小即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出抛物线在直线上方部分所对应的x的范围即可.
5．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： ∵当x=3.24时，y=-0.02，当x=3.25时，y=0.03，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间，
∴x的范围是3.24＜x＜3.25.
故答案为：C.
【分析】 根据由图象法求一元二次方程的根的方法可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围应在ax2+bx+c的值由负变正时所对应的x的两个值之间，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意得点A（-0.8，-2），点B（0.8，-2），
设抛物线的解析式为y=ax2，
∴0.64a=-2
解之：，
∴
2-1.5=0.5，
当y=-0.5时
解之：x=±0.4，
∴水面宽度为0.4-（-0.4）=0.8.
故答案为：B
【分析】以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点A，B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2，将点A的坐标代入可求出a的值，可得到抛物线的解析式，根据水位上升1.5m，根据2-1.5=0.5，将y=-0.5代入函数解析式，可求出对应的x的值，然后求出此时水面的宽度.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25+20k≥0，k≠0，
解得：k≥﹣ ，且k≠0.
故答案为：B.
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与x轴有交点，可得k≠0且Δ＝b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围.
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故答案为：C．
【分析】作MN⊥x轴交于点N，由P点纵坐标得出P点坐标，推出PQ=2，由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，得出，即可得出k的值。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：连接AO，AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图
当y=0时－x2＋2x=0，得x1=0，x2=2，所以B（2，0），由于y=－x2＋2x=-(x-)2+3，所以A（，3），所以AB=AO=2，AO=AB=OB，所以三角形AOB为等边三角形，∠OAP=30°得到PH= AP，因为AP垂直平分OB，所以PO=PB，所以OP＋AP=PB+PH，所以当H，P，B共线时，PB+PH最短，而BC=AB=3，所以最小值为3.
故答案为：A.
【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA=2，从而可判断三角形AOB为等边三角形，接着利用∠OAP=30°得到PH=AP，利用抛物线的对称性得到PO=PB，所以OP＋AP=PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可。
11．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【分析】根据二次函数的定义可得且，据此解答即可.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴二次函数中，
∵顶点坐标为，
∴这个二次函数的解析式可以是
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可知二次函数的对称轴为直线 ，二次函数图象的开口向下，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ；
故答案为： .
【分析】先求出抛物线对称轴为直线 ，由于抛物线开口向下且当 时，y随x的增大而减小，可得，据此求解即可.
14．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
∵a=-5＜0，抛物线开口向上，
∴当t=2时小球达到最高点.
故答案为：2.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
15．【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可求出 ，
抛物线 的对称轴为： ，
根据函数对称关系，点B关于 的对称点为点A，
连接AD与 交于点E，
此时 的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于 与梯形ACHG的面积和，
即 ，
则 S四边形ACHE- ，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出 ，最后利用面积公式求解即可。
16．【答案】（1）解：∵y＝﹣x2+6x﹣5，，
∴该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为；
（2）解：
由y＝﹣x2+6x﹣5，令，
即，
解得，
，
，
令，则，
即，
点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为，
，
．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）直接配方得出y＝﹣x2+6x﹣5，即可得解；
（2）先求出点A、B、C的坐标，进而得出点D的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可得解。
17．【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
18．【答案】（1）解：∵PD∥AB，AC=3，BC=4，CP=x，
∴ ，即 .
∴ .
∴AD= .
（2）解： .
对称轴为 ，二次函数开口向下，
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【知识点】平行线分线段成比例；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)由比例求出CD与CP的关系式，再求出AD.(2)把AD当作底，CP当作高，利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式，再由条件求出范围即可.
19．【答案】（1）解：把点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴
（3）解：根据图象得：不等式的解集为或
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A（-1，2）代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）易得B（1，-2），根据点C是点A关于y轴的对称点可得C（1，2），则CA=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出反比例函数图象在正比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
20．【答案】（1）解：由题意得点是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线的函数解析式为．
又∵抛物线经过点，
∴．
解得．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
把代入中，得．
解得，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为．
抛物线恰好经过点F时，．
解得，（舍去）．
∴点F的坐标是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设上边缘抛物线的函数解析式为，再将点代入解析式可得，求出a的值，可得，再将代入中，求出x的值即可；
（2）根据题意列出方程，求出x的值，可得点F的坐标。
21．【答案】（1）解：由题意，得
解得
∴a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(0，15)和(50，25)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
当50＜t≤100时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(50，25)和(100，20)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
∴y与t的函数关系式为
②当0≤t≤50时，.
∵3600＞0，
∴当时，w最大值=180000；
当50＜t≤100时，
∵-10＜0，
∴当时，w最大值=180250.
综上所述，当t为55天时，w最大，最大值为180250元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元 ，根据放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元 ，列出方程组，求解即可；
（2）①分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况 ，利用待定系数法求出y关于t的函数关系式；②根据利润=销售总额－总成本分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况建立函数关系式，求解即可.
22．【答案】（1）解：抛物线与坐标轴分别交于点，，
抛物线的解析式为：
（2）解：设点坐标为
点P是线段上方抛物线上的一个动点，，
过点作轴的垂线，与轴交于点，如图
可得
，得
，
当时，面积最大为
（3）解：做出点关于轴的对称点，则，设点坐标为
根据对称性及两点间线段最短可知，当点刚好位于与轴交点时，的周长最小 ，且
抛物线解析式为
点坐标为
设直线 解析式为
， ，代入直线解析式得
，得
直线 解析式为
点为直线与轴交点，则
，得
，，
当点坐标为时，周长最小，最小值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（0，6）、B（6，0）、C（-2，0）代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（x0，y0），根据点P在线段AB上可得0（3）做出点A关于x轴的对称点A′，则A′（0，-6），设M点坐标为（x1，0），根据对称性及两点间线段最短可知：当M点刚好位于A′D与x轴交点时，△ADM的周长最小，且最小值为A′D+AD，根据抛物线解析式可得D（2，8），利用待定系数法求出直线A′D的解析式，求出直线与x轴的交点M的坐标，然后结合两点间距离公式求解即可.
1 / 1沪科版数学九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元过关卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·南湖期中）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
2．（2022九上·龙口期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：D
【分析】抛物线的顶点坐标为，根据抛物线的平移方向与距离求出平移后的抛物线的顶点坐标，利用顶点式写出解析式即可.
3．（2021九上·沂南期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】将点A、B、C的坐标代入求出、、，再比较大小即可。
4．（2022九上·晋安月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出抛物线在直线上方部分所对应的x的范围即可.
5．（2022九上·宁波开学考）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： ∵当x=3.24时，y=-0.02，当x=3.25时，y=0.03，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间，
∴x的范围是3.24＜x＜3.25.
故答案为：C.
【分析】 根据由图象法求一元二次方程的根的方法可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围应在ax2+bx+c的值由负变正时所对应的x的两个值之间，即可得出答案.
6．（2022九上·舟山期中）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（　　）
A．1m B．0.8m C．0.6m D．0.4m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意得点A（-0.8，-2），点B（0.8，-2），
设抛物线的解析式为y=ax2，
∴0.64a=-2
解之：，
∴
2-1.5=0.5，
当y=-0.5时
解之：x=±0.4，
∴水面宽度为0.4-（-0.4）=0.8.
故答案为：B
【分析】以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点A，B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2，将点A的坐标代入可求出a的值，可得到抛物线的解析式，根据水位上升1.5m，根据2-1.5=0.5，将y=-0.5代入函数解析式，可求出对应的x的值，然后求出此时水面的宽度.
7．（2022九上·晋安月考）已知二次函数y＝kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． 且k≠0
C． D． 且k≠0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25+20k≥0，k≠0，
解得：k≥﹣ ，且k≠0.
故答案为：B.
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与x轴有交点，可得k≠0且Δ＝b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围.
8．（2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故答案为：C．
【分析】作MN⊥x轴交于点N，由P点纵坐标得出P点坐标，推出PQ=2，由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，得出，即可得出k的值。
9．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
10．（2021九上·龙凤期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2＋2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋AP的最小值为（　　）.
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：连接AO，AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图
当y=0时－x2＋2x=0，得x1=0，x2=2，所以B（2，0），由于y=－x2＋2x=-(x-)2+3，所以A（，3），所以AB=AO=2，AO=AB=OB，所以三角形AOB为等边三角形，∠OAP=30°得到PH= AP，因为AP垂直平分OB，所以PO=PB，所以OP＋AP=PB+PH，所以当H，P，B共线时，PB+PH最短，而BC=AB=3，所以最小值为3.
故答案为：A.
【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA=2，从而可判断三角形AOB为等边三角形，接着利用∠OAP=30°得到PH=AP，利用抛物线的对称性得到PO=PB，所以OP＋AP=PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可。
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2022九上·龙口期中）若是关于x的二次函数，则m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【分析】根据二次函数的定义可得且，据此解答即可.
12．（2022九上·五台期中）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是　 　．（只需写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴二次函数中，
∵顶点坐标为，
∴这个二次函数的解析式可以是
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
13．（2022九上·杭州期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可知二次函数的对称轴为直线 ，二次函数图象的开口向下，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ；
故答案为： .
【分析】先求出抛物线对称轴为直线 ，由于抛物线开口向下且当 时，y随x的增大而减小，可得，据此求解即可.
14．（2022·南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为　 　s时，小球达到最高点．
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
∵a=-5＜0，抛物线开口向上，
∴当t=2时小球达到最高点.
故答案为：2.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
15．（2021·包头）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可求出 ，
抛物线 的对称轴为： ，
根据函数对称关系，点B关于 的对称点为点A，
连接AD与 交于点E，
此时 的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于 与梯形ACHG的面积和，
即 ，
则 S四边形ACHE- ，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出 ，最后利用面积公式求解即可。
三、综合题（共7题，共85分）
16．（2022·长宁模拟）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵y＝﹣x2+6x﹣5，，
∴该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为；
（2）解：
由y＝﹣x2+6x﹣5，令，
即，
解得，
，
，
令，则，
即，
点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为，
，
．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）直接配方得出y＝﹣x2+6x﹣5，即可得解；
（2）先求出点A、B、C的坐标，进而得出点D的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可得解。
17．（2021九上·温州开学考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
18．（2020·泰州）如图，在 中， ， ， ， 为 边上的动点（与 、 不重合）， ，交 于点 ，连接 ，设 ， 的面积为 .
（1）用含 的代数式表示 的长；
（2）求 与 的函数表达式，并求当 随 增大而减小时 的取值范围.
【答案】（1）解：∵PD∥AB，AC=3，BC=4，CP=x，
∴ ，即 .
∴ .
∴AD= .
（2）解： .
对称轴为 ，二次函数开口向下，
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【知识点】平行线分线段成比例；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)由比例求出CD与CP的关系式，再求出AD.(2)把AD当作底，CP当作高，利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式，再由条件求出范围即可.
19．（2022·岳阳）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：把点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴
（3）解：根据图象得：不等式的解集为或
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A（-1，2）代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）易得B（1，-2），根据点C是点A关于y轴的对称点可得C（1，2），则CA=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出反比例函数图象在正比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
20．（2022九上·尧都期中）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，喷出的水最远落在地面C处．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程；
（2）灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点F时，求此时点F的坐标．
【答案】（1）解：由题意得点是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线的函数解析式为．
又∵抛物线经过点，
∴．
解得．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
把代入中，得．
解得，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为．
抛物线恰好经过点F时，．
解得，（舍去）．
∴点F的坐标是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设上边缘抛物线的函数解析式为，再将点代入解析式可得，求出a的值，可得，再将代入中，求出x的值即可；
（2）根据题意列出方程，求出x的值，可得点F的坐标。
21．（2022九上·南湖期中）某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）.
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（），销售单价为y元/.根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值.（利润=销售总额－总成本）
【答案】（1）解：由题意，得
解得
∴a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(0，15)和(50，25)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
当50＜t≤100时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(50，25)和(100，20)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
∴y与t的函数关系式为
②当0≤t≤50时，.
∵3600＞0，
∴当时，w最大值=180000；
当50＜t≤100时，
∵-10＜0，
∴当时，w最大值=180250.
综上所述，当t为55天时，w最大，最大值为180250元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元 ，根据放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元 ，列出方程组，求解即可；
（2）①分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况 ，利用待定系数法求出y关于t的函数关系式；②根据利润=销售总额－总成本分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况建立函数关系式，求解即可.
22．（2022九上·龙马潭期中）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？
（3）已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，的周长最小？最小值是多少？
【答案】（1）解：抛物线与坐标轴分别交于点，，
抛物线的解析式为：
（2）解：设点坐标为
点P是线段上方抛物线上的一个动点，，
过点作轴的垂线，与轴交于点，如图
可得
，得
，
当时，面积最大为
（3）解：做出点关于轴的对称点，则，设点坐标为
根据对称性及两点间线段最短可知，当点刚好位于与轴交点时，的周长最小 ，且
抛物线解析式为
点坐标为
设直线 解析式为
， ，代入直线解析式得
，得
直线 解析式为
点为直线与轴交点，则
，得
，，
当点坐标为时，周长最小，最小值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（0，6）、B（6，0）、C（-2，0）代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（x0，y0），根据点P在线段AB上可得0（3）做出点A关于x轴的对称点A′，则A′（0，-6），设M点坐标为（x1，0），根据对称性及两点间线段最短可知：当M点刚好位于A′D与x轴交点时，△ADM的周长最小，且最小值为A′D+AD，根据抛物线解析式可得D（2，8），利用待定系数法求出直线A′D的解析式，求出直线与x轴的交点M的坐标，然后结合两点间距离公式求解即可.
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