2022~2023学年沪科版数学九年级上册期末模拟检测卷（一）

2022~2023学年沪科版数学九年级上册期末模拟检测卷（一）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·霍邱月考）对于二次函数y=3(x-2)2+1的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是(2，1)
C．对称轴是直线x=-2 D．与x轴有两个交点
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=3(x-2)2+1可得，a=3，
∴二次函数图象开口向下，顶点坐标是（2，1），对称轴是直线x=2，
二次函数y=3（x2-4x+4）+1=3x2-12x+13，
∴，
∴二次函数y=3(x-2)2+1的图象与x轴有两个交点，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象与性质计算求解即可。
2．（2022九上·潞城月考）在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质及旋转的概念逐项判断即可。
3．（2022九上·高陵期中）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠D，∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
B、∵∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
C、∵∠B=∠D， ，
∴△ABC和△ADE不相似，故C符合题意；
D、 ∵∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可对A，B，D作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断.
4．（2021九上·舟山月考）如图，点 是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积， ： 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设AB=1，
∴AE=，
∴BE=1-=，
∴S2=1×=，S3=×，
∴ ： =×：=.
故答案为：C.
【分析】设正方形ABCD的边长为1，根据黃金分割点的性质得到AE和BE的长，然后分别求出S2和S3的面积，再求比值，即可解答.
5．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
6．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（　　）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
7．（2022九上·易县期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、一次函数图象经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，
B、一次函数图象经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，
C、一次函数图象经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，
D、一次函数图象经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系分别判断即可。
8．（2022·巴中）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
【分析】连接BC，垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠BAC=∠CDB=30°，根据余弦三角函数的概念可得AE、AB，然后求出OA，再根据OE=AE-OA进行计算.
9．（2022九上·苍南期中）已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
【分析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，利用垂直的定义和正方形的性质可证得∠E=∠CFD=90°，AD=CD，∠ADC=90°，利用余角的性质可推出∠ADE=∠DCF；再利用AAS证明△ADE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到DE=CF，AE=DF，设点D（a，b），利用点A，C的坐标可表示出AE，DF，DE，CF的长，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入二次函数解析式，可求出k的值.
10．（2021·绵阳）如图，在 中， ， ， ，且 ，若 ，点 是线段 上的动点，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，
，
，
解得： （负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
过B作 于H，
，
，
，
，
当 时，PQ的值最小，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由相似三角形的性质结合已知条件可得BD的值，表示出AC与AB的关系，然后根据AC2=AB(AB+BC)可得AB的值，过B作BH⊥AD于H，易得AH、BH、AP的值，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，证明△APQ∽△ABH，由相似三角形的性质就可求得PQ的值.
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（2022·海陵模拟）已知某斜面的坡度为1：，那么这个斜面的坡角等于　 　度．
【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1：，
∴tanA==，
则它的坡角是：30 .
故答案为30.
【分析】先求出tanA==，再求解即可。
12．（2022九上·杭州期中）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B=　 　°。
【答案】116
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CE，
∵四边形ACDE内接于圆O，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=180°-128°=52°，
∵AC=CE，
∴∠ACE=∠AEC=（180°-52°）=64°，
∵四边形ABCE内接于圆O，
∴∠B+∠AEC=180°，
∴∠B=180°-64°=116°.
故答案为：116
【分析】连接AC，CE，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠CAE的度数；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEC的度数，再利用圆内接四边形的性质可证得∠B+∠AEC=180°，代入计算求出∠B的度数.
13．（2022九上·普陀月考）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为　 　m．
【答案】（+2）
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：如图所示，建立以直线AB为y轴、直线BC为x轴的直角坐标系，
∵AB=2m，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，
∴A（0，2），顶点坐标P（2，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，
∴2=a（0-2）2+3，
∴a=，
∴y=（x-2）2+3，
令y=0时，即（x-2）2+3=0，
解得x=+2或x=（不符合题意，舍去），
∴BC=（+2）m.
故答案为：（+2）.
【分析】建立以直线AB为y轴、直线BC为x轴的直角坐标系，由题意易得A（0，2），顶点坐标P（2，3），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，代入点A（0，2）求得a值，再令y=0时，即（x-2）2+3=0，解得x值，即可求解.
14．（2022·前进模拟）如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，若是直角三角形，则线段的长为　 　．
【答案】4或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况，
（1）当点F落在矩形内部时，如下图所示，连接AC，
在中，，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
，
当是直角三角形时，只能得到，
点A，F，C共线，即点B落在对角线AC上的点F处，
，，
；
（2）当点F落在矩形的AD边上时，如下图所示，
由题意，，，
为正方形，
，，
，
综上，CF的长为4或，
故答案为：4或．
【分析】分两种情况：（1）当点F落在矩形内部时，（2）当点F落在矩形的AD边上时，再分别画出图形并求解即可。
三、综合题（共8题，共90分）
15．（2021九上·温州开学考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
16．（2022九上·蓬安期中）以的速度在平地上将一小铁球沿与地面成角的方向击出时，小铁球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，那么小铁球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间的函数关系是：．
（1）小铁球飞行几秒时，小铁球的高度是25米？
（2）小铁球的飞行高度能否达到45米，若能，需要多少飞行时间？
（3）小铁球在空中飞行了多少时间？
【答案】（1）解：飞行高度为25米即，
将代入可得：，
解得：，，
即当小铁球飞行1秒或5秒时，小铁球的高度是25米；
（2）解：飞行高度为45米即，
将代入可得：，
整理可得：，
解得：，
即能达到45米，需要飞行3秒；
（3）解：小铁球落地时，
将代入可得：，
整理可得：，
解得：，（舍去），
即小铁球在空中飞行了6秒．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将h=25代入函数解析式中求出t的值即可；
（2）将h=45代入函数解析式中求出t的值即可；
（3）令h=0，求出t的值即可.
17．（2022九上·蚌埠月考）如图，在中，C为上一点，且，，过点D作，交的延长线于点H．
（1）求证∶．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴(负值已舍)．
答：的长度为4．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合，可得；
（2）先证明，可得，再求出，，再结合，可得，最后将数据代入求出即可。
18．（2022九上·无为月考）如图，D是等腰三角形底边的中点，过点 作．
（1）求证：是的直径；
（2）延长交于点E，连接，求证：；
（3）若，，求长．
【答案】（1）证明：如图，连接；
在等腰中，D为底边的中点，
，即：
∴是的直径
（2）证明：在等腰中，
均为 所对的圆周角
（3）解：
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BD，先求出，即，所以是的直径；
（2）根据圆周角的性质可得，再结合，可得，所以；
（3）先证明，可得，将数据代入求出CE的长，最后利用线段的和差求出BE的长即可。
19．（2022·嘉祥模拟）如图，在△ABC中，．
（1）先作AB的中点O，然后以OA为半径作，交AC于点D，过点D作，垂足为点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，求此时DE的长.
【答案】（1）解；如图，即为所作．
（2）解；如图，连接BD．
根据作图可知AB为直径，
∴，．
∴．
∴在中，．
∵，
∴，即，
解得：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据题目要求作图
（2）根据圆的性质可知∠ADB=90°，BC=AB=2OA=10，AD=CD=，根据勾股定理可求BD=，再用直角三角形两种面积公式可求出DE
20．（2021九上·长春月考）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求∠APB的度数．
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）解：如图所示：作 交 的延长线于点 ，根据题意可得：
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 海里，则 海里， 海里，
∵在 中， ，
即 ，
解得： ．
∴海监船继续向正东方向航行安全．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）求出∠APB=15°，即可作答；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
21．（2022九上·永年期中）如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵，于，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DFAB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴，
∴
∵AD2＝AB AE．
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明△DAE∽△CAD，可得，再结合AC=AB，即可得到；
（2）连接DF，根据平行线的性质可得，求出，再结合AD2＝AB AE求出即可。
22．（2022九上·舟山期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若，求a的值；
（2）若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
【答案】（1）解：令 ，得 ，解得： ， ．
∵ 与x轴交于 两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
解得： ；
（2）解：当 时，抛物线为 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式可求得：
直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值4，此时点 ；
（3）解：由（1）知： 、 、 ，
设点 ，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
故 ，
同理，直线 为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，同时求出AB的长；然后利用△ABC的面积为5，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）将a=1代入方程，可得到函数解析式，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式点 ，则点 ，可表示出PQ的长，将PQ与x的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出PQ的最大值及点P的坐标.
（3）设点 ，利用待定系数法求出直线PA的函数解析式，可表示出OM的长；同理可求出直线BP的函数解析式，可得到ON的长；再表示出4OM+ON及OC的长；然后代入可求出 的值.
1 / 12022~2023学年沪科版数学九年级上册期末模拟检测卷（一）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·霍邱月考）对于二次函数y=3(x-2)2+1的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是(2，1)
C．对称轴是直线x=-2 D．与x轴有两个交点
2．（2022九上·潞城月考）在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
3．（2022九上·高陵期中）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·舟山月考）如图，点 是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积， ： 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（　　）
A．3 B．-3 C． D．
7．（2022九上·易县期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·巴中）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（　　）
A． B． C．1 D．2
9．（2022九上·苍南期中）已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·绵阳）如图，在 中， ， ， ，且 ，若 ，点 是线段 上的动点，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（2022·海陵模拟）已知某斜面的坡度为1：，那么这个斜面的坡角等于　 　度．
12．（2022九上·杭州期中）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B=　 　°。
13．（2022九上·普陀月考）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为　 　m．
14．（2022·前进模拟）如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，若是直角三角形，则线段的长为　 　．
三、综合题（共8题，共90分）
15．（2021九上·温州开学考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
16．（2022九上·蓬安期中）以的速度在平地上将一小铁球沿与地面成角的方向击出时，小铁球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，那么小铁球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间的函数关系是：．
（1）小铁球飞行几秒时，小铁球的高度是25米？
（2）小铁球的飞行高度能否达到45米，若能，需要多少飞行时间？
（3）小铁球在空中飞行了多少时间？
17．（2022九上·蚌埠月考）如图，在中，C为上一点，且，，过点D作，交的延长线于点H．
（1）求证∶．
（2）若，求的长度．
18．（2022九上·无为月考）如图，D是等腰三角形底边的中点，过点 作．
（1）求证：是的直径；
（2）延长交于点E，连接，求证：；
（3）若，，求长．
19．（2022·嘉祥模拟）如图，在△ABC中，．
（1）先作AB的中点O，然后以OA为半径作，交AC于点D，过点D作，垂足为点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，求此时DE的长.
20．（2021九上·长春月考）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求∠APB的度数．
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
21．（2022九上·永年期中）如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
22．（2022九上·舟山期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若，求a的值；
（2）若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=3(x-2)2+1可得，a=3，
∴二次函数图象开口向下，顶点坐标是（2，1），对称轴是直线x=2，
二次函数y=3（x2-4x+4）+1=3x2-12x+13，
∴，
∴二次函数y=3(x-2)2+1的图象与x轴有两个交点，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象与性质计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质及旋转的概念逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠D，∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
B、∵∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
C、∵∠B=∠D， ，
∴△ABC和△ADE不相似，故C符合题意；
D、 ∵∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可对A，B，D作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断.
4．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设AB=1，
∴AE=，
∴BE=1-=，
∴S2=1×=，S3=×，
∴ ： =×：=.
故答案为：C.
【分析】设正方形ABCD的边长为1，根据黃金分割点的性质得到AE和BE的长，然后分别求出S2和S3的面积，再求比值，即可解答.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、一次函数图象经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，
B、一次函数图象经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，
C、一次函数图象经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，
D、一次函数图象经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系分别判断即可。
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
【分析】连接BC，垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠BAC=∠CDB=30°，根据余弦三角函数的概念可得AE、AB，然后求出OA，再根据OE=AE-OA进行计算.
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
【分析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，利用垂直的定义和正方形的性质可证得∠E=∠CFD=90°，AD=CD，∠ADC=90°，利用余角的性质可推出∠ADE=∠DCF；再利用AAS证明△ADE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到DE=CF，AE=DF，设点D（a，b），利用点A，C的坐标可表示出AE，DF，DE，CF的长，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入二次函数解析式，可求出k的值.
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，
，
，
解得： （负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
过B作 于H，
，
，
，
，
当 时，PQ的值最小，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由相似三角形的性质结合已知条件可得BD的值，表示出AC与AB的关系，然后根据AC2=AB(AB+BC)可得AB的值，过B作BH⊥AD于H，易得AH、BH、AP的值，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，证明△APQ∽△ABH，由相似三角形的性质就可求得PQ的值.
11．【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1：，
∴tanA==，
则它的坡角是：30 .
故答案为30.
【分析】先求出tanA==，再求解即可。
12．【答案】116
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CE，
∵四边形ACDE内接于圆O，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=180°-128°=52°，
∵AC=CE，
∴∠ACE=∠AEC=（180°-52°）=64°，
∵四边形ABCE内接于圆O，
∴∠B+∠AEC=180°，
∴∠B=180°-64°=116°.
故答案为：116
【分析】连接AC，CE，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠CAE的度数；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEC的度数，再利用圆内接四边形的性质可证得∠B+∠AEC=180°，代入计算求出∠B的度数.
13．【答案】（+2）
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：如图所示，建立以直线AB为y轴、直线BC为x轴的直角坐标系，
∵AB=2m，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，
∴A（0，2），顶点坐标P（2，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，
∴2=a（0-2）2+3，
∴a=，
∴y=（x-2）2+3，
令y=0时，即（x-2）2+3=0，
解得x=+2或x=（不符合题意，舍去），
∴BC=（+2）m.
故答案为：（+2）.
【分析】建立以直线AB为y轴、直线BC为x轴的直角坐标系，由题意易得A（0，2），顶点坐标P（2，3），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，代入点A（0，2）求得a值，再令y=0时，即（x-2）2+3=0，解得x值，即可求解.
14．【答案】4或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况，
（1）当点F落在矩形内部时，如下图所示，连接AC，
在中，，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
，
当是直角三角形时，只能得到，
点A，F，C共线，即点B落在对角线AC上的点F处，
，，
；
（2）当点F落在矩形的AD边上时，如下图所示，
由题意，，，
为正方形，
，，
，
综上，CF的长为4或，
故答案为：4或．
【分析】分两种情况：（1）当点F落在矩形内部时，（2）当点F落在矩形的AD边上时，再分别画出图形并求解即可。
15．【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
16．【答案】（1）解：飞行高度为25米即，
将代入可得：，
解得：，，
即当小铁球飞行1秒或5秒时，小铁球的高度是25米；
（2）解：飞行高度为45米即，
将代入可得：，
整理可得：，
解得：，
即能达到45米，需要飞行3秒；
（3）解：小铁球落地时，
将代入可得：，
整理可得：，
解得：，（舍去），
即小铁球在空中飞行了6秒．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将h=25代入函数解析式中求出t的值即可；
（2）将h=45代入函数解析式中求出t的值即可；
（3）令h=0，求出t的值即可.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴(负值已舍)．
答：的长度为4．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合，可得；
（2）先证明，可得，再求出，，再结合，可得，最后将数据代入求出即可。
18．【答案】（1）证明：如图，连接；
在等腰中，D为底边的中点，
，即：
∴是的直径
（2）证明：在等腰中，
均为 所对的圆周角
（3）解：
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BD，先求出，即，所以是的直径；
（2）根据圆周角的性质可得，再结合，可得，所以；
（3）先证明，可得，将数据代入求出CE的长，最后利用线段的和差求出BE的长即可。
19．【答案】（1）解；如图，即为所作．
（2）解；如图，连接BD．
根据作图可知AB为直径，
∴，．
∴．
∴在中，．
∵，
∴，即，
解得：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据题目要求作图
（2）根据圆的性质可知∠ADB=90°，BC=AB=2OA=10，AD=CD=，根据勾股定理可求BD=，再用直角三角形两种面积公式可求出DE
20．【答案】（1）解：如图所示：作 交 的延长线于点 ，根据题意可得：
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 海里，则 海里， 海里，
∵在 中， ，
即 ，
解得： ．
∴海监船继续向正东方向航行安全．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）求出∠APB=15°，即可作答；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵，于，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DFAB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴，
∴
∵AD2＝AB AE．
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明△DAE∽△CAD，可得，再结合AC=AB，即可得到；
（2）连接DF，根据平行线的性质可得，求出，再结合AD2＝AB AE求出即可。
22．【答案】（1）解：令 ，得 ，解得： ， ．
∵ 与x轴交于 两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
解得： ；
（2）解：当 时，抛物线为 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式可求得：
直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值4，此时点 ；
（3）解：由（1）知： 、 、 ，
设点 ，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
故 ，
同理，直线 为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，同时求出AB的长；然后利用△ABC的面积为5，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）将a=1代入方程，可得到函数解析式，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式点 ，则点 ，可表示出PQ的长，将PQ与x的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出PQ的最大值及点P的坐标.
（3）设点 ，利用待定系数法求出直线PA的函数解析式，可表示出OM的长；同理可求出直线BP的函数解析式，可得到ON的长；再表示出4OM+ON及OC的长；然后代入可求出 的值.
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