二次根式单元检测题
一、选择题（每小题3分，共39分）
1．若为二次根式，则m的取值为（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3
2．下列式子中二次根式的个数有（ ）
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．当有意义时，a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2
4．下列计算正确的是（ ）
①；②；
③；④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．30
6．对于二次根式，以下说法不正确的是（ ）
A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3
7．把化去分母中的根号后得（ ）
A． B． C． D．
8．是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．4； B．5； C．6； D．7
9．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
10．计算：等于（ ）
A． B． C． D．
11．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.3 C． D．
12．先化简再求值：当a=9时，求a+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式．在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定。
13．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共33分）
14．当x___________时，是二次根式．
15．已知，则， ．
16．____________；__________．
17．计算：___________．
18．若成立，则x满足_______________．
19．二次根式与的和是一个二次根式，则正整数的最小值为 ；其和为 。
20．比较大小： ；
21．化简： 。
22．若已知a、b为实数，且+2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =b+4，则 ； 。
23．在实数范围内分解因式： 。
24．观察下列各式：；；；……
则依次第四个式子是 ；用的等式表达你所观察得到的规律应是
。
三、解答题（78分）
19．（3分）试用代数式表示面积为的圆的半径．
20．（27分）计算：
⑴； ⑵； ⑶；
⑷． （5） （6）
(7) ； (8) ； (9) ÷·
22．（6分）如图，中，，，求斜边上的高．
23、化简求值。（24分）
（1）、已知x= EQ \F(+1,－1) ,y= EQ \F(－1,+1) ，求x2－y2的值。
（2）、已知：，求的值．
（3）、先化简，再求值．
（6x+）-（4xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"+），其中x=，y=27．
（4）给出四个二次根式：、、27、3，请你从中选择一个填入-2x+9- ,使得最后的结果与x无关，并写明计算过程。
24.（10分） 观察下列等式：①；②；③；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：
25、（8分）互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．
填空：+的有理化因式是________；
x-的有理化因式是_________．
--的有理化因式是_______．
（ 3+2）+（3-2）的有理化因式是_________．二次根式的基本性质
【知识讲解】
1、一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2、（a≥0）的意义。
3、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
4、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
【例题讲解】
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
例3、当x是多少时，+在实数范围内有意义？
例4(1)已知y=++5，求的值．
(2)若+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =0，求a2004+b2004的值．
【同步训练】
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +x2在实数范围内有意义？
3．若+有意义，则=_______．
4.使式子HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且+2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =b+4，求a、b的值．
例5 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
例6 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
例7、在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
【同步训练】
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
二、填空题
1．（-）2=________． 2．已知有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算
（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"+=0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
例8、 化简
（1） （2） （3） （4）
例9、 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
例10、当x>2，化简-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"．
【同步训练】
一、选择题
1．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"的值是（ ）．
A．0 B． C．4 D．以上都不对
2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"
二、填空题
1．-=________．
2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+=a，求（a-1995）2的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"。
【随堂测试】
1、下列格式中，一定是二次根式的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、下列语句正确的是（ ）
A、式子是二次根式 B、二次根式中被开放数只能是正数
C、是2的算数平方根 D、不是二次根式
3、当a＜5时，下列各式在实数范围内无意义的是（ ）
A、 B、 C、 D、4+|a|
4、若有意义，则x
5、若实数x、y满足，则xy的值为
6、化简的结果为（ ）
A、2 B、4 C、8 D、16
7、下列计算中正确的有（ ）
① ② ③ ④
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、计算的结果为（ ）
A、-16 B、-8 C、 D、4
9、在实数范围内分解因式：x4-9=
10、实数a、b在数轴上的位置如图所示，试化简
11、化简：
12、若a、b、c为三角形的三边长，化简
13、已知实数a、b满足b=++3，求代数式的值。
14、若2有意义，化简|2x+6|-|x-2|二次根式的乘除
【知识讲解】
1、两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。
·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
（要讲清（a<0,b<0）=，如HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"=或==×．）
2、一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0），反过来，=（a≥0，b>0）
3、二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【例题讲解】
例1．计算
（1）× （2）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"× （3）× （4）×
例2 化简
（1） （2） （3）
（4） （5）
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"×=4=8
【同步训练】
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
5.计算
× ②3×2 ③·
(4)； (5). （6） ；
6.化简: ; ; ; ; ；；；；；； . ；
7. 一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
例4 计算：（1） （2） （3） （4）
例5化简：
（1） （2） （3） （4）
例6 已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"，且x为偶数，求（1+x）的值．
例7．把下列各式化为最简二次根式。
(1) ; (2) ; (3) (4)
【同步训练】
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对 2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-3．在下列各式中，3.以下化简正确的是（ ）
A．=3 B．=±
C．=a2 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"=x
4．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
5．化简=_________．（x≥0）
6．a化简二次根式后的结果是_________．
7.计算
（1）； （2）； （3）.
8.化简
（1）; （2） (b≥0). （3）
（4） （5）； （6）；
(7) ； (8) .
9.化简
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"）× （a>0）
10．若x、y为实数，且y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"，求的值．二次根式的加减
【知识讲解】
1、二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．即分两步：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
2、运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
3、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
【例题讲解】
例1．计算
（1）+ （2）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"+
例2．计算
（1）3-9+3 （2）（+）+（-）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"）-（x2-5x）的值．
【同步训练】
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3、计算:
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7） （8）
4．已知≈2.236，求（-）-（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"+）的值．（结果精确到0.01）
5．先化简，再求值．
（6x+）-（4xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"+），其中x=，y=27．
例4．计算:
（1）（+）× （2）（4HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"-3）÷2
例5．计算
（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
例6．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"，并求值．
例7．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
例8．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
【同步训练】
1．（-3+2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"）×的值是（ ）．
A．-3 B．3- C．2- D．- 2．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
3. 与不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4、 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
5、 若，则的值等于（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
6、计算
（1）．（-+）2 （2）．（1-2）（1+2）（2-1）2
（3） （4） (5) +(-3)2
(6) ÷· (7) -(-3) (8)(-3)(2+1)
（9） （10）
11） （12）
7．（1）已知x=-1，求x2+2x+1 （2） 已知a=3+2，b=3-2，求a2b-ab2
8.已知，，求下列各式的值
（1） （2）
9．当x=时，求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"+的值．（结果用最简二次根式表示）
10．若最简二次根式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"与是同类二次根式，求m、n的值．
