勾股定理的逆定理
【知识要点】
1、如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
③勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
2、(1)每一个命题都有逆命题.
(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.
(3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.
【例题讲解】
例1、判断由线段a，b，c组成的△ABC是不是直角三角形.
(1) a=40，b=41，c=9
(2) a=13，b=14，c=15
(3) a∶b∶c=∶3∶2
(4) ，，（n>1且n为整数）
例2、如图∠D=90°，AB=12，BC=13，CD=3，DA=4。求四边形ABCD的面积，
例3、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
例4、已知：如图，在正方形ABCD中，F为AD上一点，且DF=AD，E是CD的中点。求证：BE⊥EF
例5、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【同步训练】
1、 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5； （2）5，12，13；
（3）8，15，17； （4）4，5，6. 其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2、 三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3、已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
4、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
5、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=，
∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
6、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？
7、已知中，，，边上的中线，求证：
8、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
【例题讲解】
例6、如图四边形ABCD中，, , ,已知四边形的周长为30。⑴.求DC的长；⑵求；
例6、已知是等腰直角三角形，是斜边的中点。
⑴如图1，将一直角三角尺的直角顶点与点D重合，绕着点D旋转三角尺，使三角尺的两直角边分别与AB，AC相交于点M，N，若BM=2，CN=3，求线段MN的长；（5分）
⑵将等腰直角三角形沿着EF翻折后，使点A落在BC边上的点P处。
①如图2，若AB=4，当点P与点D重合时，EF=________；（2分）
②当点F与点C重合时，在图3中画出图形并求出BE︰AE的值；（5分）
【同步训练】
1． 下列真命题中逆命题也是真命题的是 （ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等
C．全等三角形对应边相等 D．等边三角形是锐角三角形
2． 在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )
A．a=9，b=41，c=40 B．a=11，b=12，c=5
C．a=b=5，c=5 D．a∶b∶c=3∶4∶5
3． 直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边长为整数，那么第三条边长应该是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4． 甲乙两同学从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若两人的速度都是40米/分，甲用了15分钟到家，乙用了20分钟到家，则甲乙两人的家相距 （ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米
5． 一架长为2.5m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯足距墙底0.7m，如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将滑动 （ ）
A．0.5m B．0.8m C．0.9m D．1.5m
6．在△ABC中，∠C＝90 ，（1）若a=7，c=41，则b=_________；（2）若a=7，b=8，则c=_______；（3）若a=，b=2n，则c=___________．
7．△ABC中，∠C＝90 ，两直角边之比为3∶4，斜边长为10，则这个三角形的面积是 ．
8．在△ABC中，如果a∶b∶c=1∶∶2,那么∠A= ___°,∠C= ___°．
9．若底角为45°的等腰三角形的底边上的高为9cm，则此三角形的周长是__________.
10．把一根长为10cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9cm2，那么还要准备一根长 cm的铁丝才能把三角形做好.
11．.观察下列表格：
列举 猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、 24、 25 72=24+25
…… ……
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值.
即b= ，c=
12．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出：①一个面积是2的正方形；②一个面积是5的正方形．
13．如图，△ABC中，∠C＝90 ，AD是角平分线，CD＝1.5，BD＝2.5．求AC的长．
C
A
B
E
N
13
（第12题）
（第13题）勾股定理的应用
【知识讲解】
运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。
实际问题向数学问题的转化。
【例题讲解】
例1、一个门框的尺寸如图所示：
(1) 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？
(2) 若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？
(3) 若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB
例3、如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
例4、已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
例5、已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC’与AD交于点E，AD=6，AB=4，求DE的长.
例6、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
例7、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
例8、如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，
又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
【同步训练】
1、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2、如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
2题图 3题图 4题图
3、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4、如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。
5、△ABC中，AB＝AC＝25cm，高AD＝20cm，则BC＝ ，＝ 。
6、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
7、一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．
8、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．
9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．
10、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
11、如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
12、如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗
13、△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
14、已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
15、在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．
【知识讲解】
3、如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
例9、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
例10、例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
例11、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1），求证：∠C=90°。
例12、已知在△ABC中，D是BC边上的点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC.
【同步训练】
16、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
17、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=，
∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
18、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？
19、已知：如图，在正方形ABCD中，F为AD上一点，且DF=AD，E是CD的中点.
求证：BE⊥EF
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
8m
图3
O
B′
图4
B
A
A′
C
A
B
E
N
13勾股定理
【知识讲解】
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2、如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。
3、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；（为正整数）
（，为正整数）
4、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：
，，化简得证
5、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
【例题讲解】
例1 根据条件计算，在RT中，∠C90°
（1）BC＝6，AC＝8，求AB； （2）∠A＝45°，AB＝4，求AC；
（3）∠A＝30°，AB＝4，求BC； （4）AB－AC＝1，BC＝5，求AB、AC。
例2 已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD⊥AB于D，
求证：CD的长。
例3 等边三角形的边长是6，
（1）求高AD的长；
（2）求这个三角形的面积。
【推广】已知三角形的三边的长能求面积吗？
例4、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例5、.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
例6、在数轴上画出表示－，的点。
【同步训练】
1、已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，a、b、c是△ABC的三边，
则（1）c＝ 。（已知a、b，求c）
（2）a＝ 。（已知b、c，求a）
（3）b＝ 。（已知a、c，求b）
2、在ABC中，∠C＝90°，
（1）AC＝5，BC＝12，求AB的长； （2）AB＝25，AC＝20，求BC的长；
（3）∠A＝∠B，BC＝，求AC、AB的长； （4）∠B＝2∠A，BC＝2，求AC、AB的长。
3、在Rt△ABC，∠C＝90°，
（1）如果a＝7，c＝25，则b＝ ；
（2）如果∠A＝30°，a＝4，则b＝ ；
（3）如果∠A＝45°，a＝3，则c＝ 。
（4）如果c＝10，a－b＝2，则b＝ 。
（5）如果a、b、c是连续整数，则a＋b＋c＝ 。
（6）如果b＝8，a：c＝3：5，则c＝ 。
4、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这跟芦苇向水池一边的中点，它的顶端恰好达池边的水面。这个水的深度与这跟芦苇的长度分别是多少？
5、如图，把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股定理．
你能利用图形验证勾股定理吗？
6、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CF CE
【例题讲解】
例7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，∠B＝60°，CD＝，求AB的长。
例8、已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝，
求（1）AB的长； （2）。
【同步训练】
7、⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
8、△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝，CD⊥AB于D，求AC、CD、BD、AD的长及△ABC的面积。
9、已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
10、如图中，，，，，求的长
11、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
（第5题）
a
b
c
