2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、中有三点在同一条直线上”是“、、、在同一个平面上”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
在空间中，直线平行于直线，直线、为异面直线，若，则异面直线、所成角的大小为( )
A. B. C. D.
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直棱柱的高为( )
A.
B.
C.
D.
已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则( )
A. 有且仅有一点使二面角取得最小值
B. 有且仅有两点使二面角取得最小值
C. 有且仅有一点使二面角取得最大值
D. 有且仅有两点使二面角取得最大值
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
直线、确定一个平面，则、的位置关系为______．
已知向量与向量垂直，则______．
已知复数满足为虚数单位，则______．
表面积为的球的体积为______．
已知圆柱的高为，底面积为，则圆柱的侧面积为______．
已知正方体，则与平面所成角的正切值为______．
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，那么______．
如图，已知正六边形边长为，点是其内部一点，包括边界，则的取值范围为______．
设的内角所对边的长分别为若，则角_____．
如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的．已知，，与底面所成的角为，则这个多面体的体积为______ ．
若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是______．
设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面为菱形，．
直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等；
若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为；
若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为；
若四面体在点处的离散曲率为，则平面．
上述说法正确的有______填写序号．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点为半圆弧的中点，点为母线的中点．
求此圆锥的体积；
求异面直线与所成角的大小．
本小题分
如图，在多面体中，四边形是菱形，、相交于点，，，平面平面，，点是的中点．
求证：直线平面；
若，，求点到平面的距离．
本小题分
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱如图所示，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
若，，则仓库的容积是多少？
若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
本小题分
已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体．
求三棱锥外接球的表面积；
若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
若的取值范围是，求二面角的取值范围．
本小题分
已知等差数列公差为，前项和为．
若，，求的通项公式；
若，、、成等比数列，且存在正整数、，使得与均为整数，求的值；
若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查空间中四点共面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
“、、、中有三点在同一条直线上”“、、、在同一个平面上”，“、、、在同一个平面上”知“、、、中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．
【解答】
解：设、、、为空间中的四个不同点，
则“、、、中有三点在同一条直线上”“、、、在同一个平面上”，
“、、、在同一个平面上”知“、、、中可以任意三点不在同一条直线上”，
“、、、中有三点在同一条直线上”是“、、、在同一个平面上”的充分非必要条件．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：如图，
直线、为异面直线，且直线平行于直线，
与所成角即为异面直线、所成角，
，且异面直线所成角的范围是，
异面直线、所成角的大小为．
故选：．
由已知利用异面直线所成角的定义结合异面直线所成角的范围得答案．
本题考查异面直线所成角的定义，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：连接，，，并分别取它们的中点，，，
连接，，，，，，，
则，，，且 ，，，
连接，则，，
，又平面，平面，
平面，同理可证平面，，，平面，
所以平面平面，
连接，则，又，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
，
同理可得，又，，平面，
平面，
平面，平面，平面，
三棱柱为直棱柱，
正方体的棱长为，，，
三棱柱的高为，
故选：．
作辅助线连接，，，并分别取它们的中点，，，利用线面垂直的判定定理证明三棱柱为直棱柱，利用三角形中位线定理即可求得棱柱的侧棱长，即得答案．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，三棱柱的高的求解，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：过作于，连接、，
因为直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，
所以，所以平面，所以，，
所以是二面角的平面角，
设，，，，则，
由已知得，，
，，，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取最大值，即取最大值，从而取最大值，
由对称性知当时，对应点有且仅有两个点，
所以有且仅有两点使二面角取得最大值．
故选：．
先作出二面角的平面角，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断．
本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角计算问题，属于较难题．
5.【答案】相交或平行
【解析】解：因为直线，确定一个平面，
所以，的位置关系为平行或相交，
故答案为：平行或相交．
利用平面的基本性质求解．
本题考查平面的基本性质和推论，属于容易题．
6.【答案】
【解析】解：因为向量与向量垂直，故，
所以，解得．
故答案为：．
根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求得答案．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，
．
故答案为：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设球半径为，球的表面积为，
，，
所求体积为．
故答案为：．
根据球的表面积先求出半径，利用球的体积公式求出体积．
本题考查球的表面积与体积的计算，属基础题．
9.【答案】．
【解析】解：因为圆柱的底面积为，即，
所以，
所以．
故答案为：．
由底面积为解出底面半径，再代入侧面积公式求解即可．
本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：连接，
在正方体中，平面，平面，则，
所以直线与平面所成角为角，
设正方体的棱长为，所以，则，
所以与平面所成角的正切值为．
故答案为：．
利用平面，可得为直线与平面所成角，利用正切函数可得结论．
本题主要考查了直线与平面所成角的求解，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知直线与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以，
直线与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以，所以．
故答案为：．
判断与与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，求出的值．
本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．
12.【答案】
【解析】解：由正六边形的性质得：，
则，，，
而表示在上的投影，
当点在处时，投影最大为，当点在处时，投影最小为，
所以的取值范围为，
故答案为：．
易得，再由表示在上的投影求解．
本题考查平面向量数量积及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
由，根据正弦定理，可得，再利用余弦定理，即可求得．
【解答】
解：，由正弦定理，可得，
．
，
．
．
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图，
连接，，则，
在底面正方形中，由，得，
在中，由，，
求得，
，
则，
多面体的体积为．
故答案为：．
由题意画出图形，连接，，可得，在底面正方形中，由，求得，在中，解直角三角形求得，求出直角梯形的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．
本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：当为奇数时，，所以，对任意正整数恒成立，
显然数列单调递增，令，故，得；
当为偶数时，，所以，对任意正整数恒成立，
显然数列单调递增，令，故，得，
综上所述：．
故答案为：．
分类讨论即可求得的取值范围
本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，
当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，错误；
对于，若，则菱形为正方形，
平面，，平面，
，，
直四梭柱在顶点处的离散曲率为，正确；
对于，若，则，
又，，
直四棱柱在顶点处的离散曲率为，错误；
对于，在四面体中，，，，
，
四面体在点处的离散曲率为，
，易知，
，，
直四棱柱为正方体，
又平面，平面，
，又，，，平面，
平面，又平面，
，
同理，
又，，平面，
平面，正确，
所以正确的有．
故答案为：．
根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案．
本题主要考查离散曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力，属中档题．
17.【答案】解：因为圆锥的底面半径，
且截面三角形是等边三角形，
所以，，
所以圆锥的体积为．
取的中点，连接、，
又点为母线的中点，所以，
故为异面直线与所成的角或其补角．
由点为半圆弧的中点，得，
在中，因为，，所以，
因为，且平面，
所以平面，又，平面，所以，，
因为，
在中，，
且，所以．
即求异面直线与所成角的大小为．

【解析】由轴截面为等边三角形确定圆锥的高，再由圆锥的体积公式进行求解；
取的中点，连接，利用三角形的中位线得到，得到为异面直线与所成的角或其补角，再利用两个直角三角形和进行求解．
本题考查圆锥的体积以及异面直线所成角，属于中档题．
18.【答案】证明：连接、，
因为，
所以，
又因为面面，面面，面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，
所以，且，
又因为，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
所以，则平面；
解：因为，平面，平面，所以平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离，
设所求距离为，则，
由得，，
则，
因为，，且，
所以，
因为，，且，
所以，
又，所以为等腰三角形，
且边的高为，
则，
所以，
解得，
即点到平面的距离为．
【解析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到，利用面面垂直的性质得到平面，再利用三角形的中位线、平行四边形的判定和性质得到，进而得到平面；
先利用线面平行的判定定理得到平面，将点到平面的距离等于点到平面的距离，再利用和体积公式进行求解．
本题主要考查点、线、面间的距离计算，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，又，
正四棱锥的体积，
正四棱柱的体积，
仓库的容积；
设，，
则，，连结，
在中，，
，，
仓库的容积，
，
令，得或舍．
当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．
时，取得极大值，也是最大值，
当时，仓库的容积最大．
【解析】明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；
先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值．
本题考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积，属中档题．
20.【答案】解：如图，在矩形中，连接与相交于点，
易知，在翻折后点为中点，仍然有，
所以三棱锥外接球球心为点，半径，
所以外接球表面积．
设到底面的距离为，则，，
所以，
因为，
则：：：：，
因为，
故，
所以；
过点作的垂线，与相交于点，在平面上，过点做的垂线，与相交于点，
则二面角为，
显然∽，∽，
所以有，，
又，，，
故，，，，
在中，由余弦定理可知，，
在中，由余弦定理可知，，
所以，
在中，由余弦定理可知，，
又，则，
又，
所以，即二面角的取值范围是．
【解析】利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；
将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可；
该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出二面角，然后计算各个线段的长度，利用余弦定理得到，然后利用余弦定理得到，最后利用的取值范围求出二面角的取值范围即可．
本题考查三棱锥的体积以及外接球的表面积，考查二面角的定义及其求解，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
21.【答案】解：设的公差为，则，，
所以；
设的公差为，由、、成等比数列得，，
，
，，，都是正整数，，都是整数，显然是正整数，
设，都是正整数，代入，得，
，，则，
若，，则，不合题意，若，，则，，
若，，则，，不合题意，
若，，则，，
所以，或，，．
证明：的定义域是，，
是奇函数，
又，设，则，，
从而，即，
所以是增函数，是等差数列，则，
若，
则，，，，，
，
，
若，
则，，，，，
，
，
综上，对任意的等差数列，．
【解析】由等差数列的前项和公式求得公差后可得通项公式；
由等比数列性质求得通项公式，设，都是正整数，代入消元得，因此有，或，用列举法确定，的值，求出，，然后再求数列的项；
证明是奇函数，又是增函数，证明与同号，即可证不等式成立．
本题考查等差数列的性质，第问题实质上是整数的问题，在等差数列通项公式基础上，考虑到问题中涉及到的都是正整数，因此设，都是正整数，两式变形后利用正整数进行分析，得出参数值；第问涉及到函数，解题时可以首先确定函数的性质奇偶性、单调性，然后利用函数的性质讨论的正负，本题也可以不研究函数的单调性，考虑等差数列的性质，先计算即可发现只要考虑到与的正负相同，从而可证得不等式成立，关键还是等差数列的性质．
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