2022-2023学年上海市黄浦区光明中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2022-2023学年上海市黄浦区光明中学高三（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设实数，，，满足，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是( )
A. B.
C. D.
定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
已知若，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
已知全集，集合，，则______．
已知球的表面积为，则该球的体积为______．
已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为______．
不等式的解集为______．
若，，用、表示，则______．
某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是______．
一袋中装有大小与质地相同的个红球和个黑球，任取球，记其中黑球数为，则______．
函数的单调递减区间为______．
设，且，则的最小值是______．
若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是______．
已知奇函数对任意都有，则______．
若直角坐标平面内两点，满足条件：，两点分别在函数与的图象上；，关于轴对称，则称是函数与的一个“伙伴点组”点组与看作同一个“伙伴点组”若函数与有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知非空集合，，全集．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
本小题分
在中，角，，的对边分别为．
求角；
若的外接圆半径为，求面积的最大值．
本小题分
汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
年份代码
销量万辆
统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，利用计算器求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破万辆；
为了解购车车主的性别与购车种类分为新能源汽车与传统燃油汽车的情况，该企业随机调查了该地区位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有名，女性车主中有名购置传统燃油汽车．
若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用中的线性回归方程预测该地区年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人；
设男性车主中购置新能源汽车的概率为，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取人，记恰有人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．
本小题分
已知函数．
若是奇函数，求实数的值；
若在上是严格增函数，求实数的取值范围；
设，若对于任意的，总存在，使得或，求实数的取值范围．
本小题分
记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
证明：函数与不存在“点”；
若函数与存在“点”，求实数的值；
已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以，A错误；
因为，
所以，
所以，B错误；
当，，，时显然不成立；
因为，，
所以，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质分析各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
根据正态分布曲线的定义及对称性逐一求解即可．
【解答】
解：由，得，A错误；
由正态密度曲线图像可知，，，，B错误；
由正态密度曲线图像可知，，所以，C正确；
由正态密度曲线图像可知，，，所以，D错误．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的极值的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
求出函数的导数，结合新定义，求出函数的零点，然后判断大小即可．
【解答】
解：由题意：函数，，
所以为的根，解得，即．
，，为的根，可得，即可；
，，
为的根，即函数的零点，
又因为：，，；
所以：．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数求解函数的最值的应用，分段函数的零点，属于中档题．
作出分段函数的图象，利用图象得到，且，从而可以用表示所要求解的式子，构造函数，利用导数研究函数的单调性，确定函数的最值，即可得到答案．
【解答】
解：作出函数的图象如图所示，
由题意可得，，
所以，且，
所以，其中，
设，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，函数取得唯一的极大值，即最大值，
则的最大值为，
所以的最大值是．
故选：．

5.【答案】
【解析】解：，，
，
全集，
．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合全集，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查球的体积、表面积等基础知识，基础题．
由球的表面积是，求出球的半径，由此能求出该球的体积．
【解答】
解：一个球的表面积是，
球的半径，
该球的体积是．
故答案为：．
7.【答案】
【解析】解：设幂函数，
幂函数的图象经过点，
，，
这个幂函数的解析式为．
故答案为：．
设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此求出这个幂函数的解析式．
本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．
8.【答案】或
【解析】解：由得，
即且，
解得或，
故不等式的解集为或．
利用移项，通分，转化不等式求解即可．
本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
直接利用对数的运算性质求解即可．
本题考查对数的运算性质，要运用对数的运算性质正确建立已知和未知的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，
事件：此人被录取；则，，，，
．
故答案为：．
记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，再根据全概率公式求解即可．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，的取值为 ，，，，
，
，
，
，
数学期望为．
故答案为：．
由题意知的可能取值，计算对应的概率值，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于基础题．
12.【答案】，
【解析】解：对于函数，令，求得，
可得它的单调递减区间为，，
故答案为：，．
由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的减区间．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是，
故答案为：．
由，得，利用基本不等式可求得其最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为关于的方程有实数解，
所以方程有实数解，
因为当且仅当时等号成立，
所以方程有实数解，则，
所以实数的取值范围是．
故答案为：
根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：奇函数对任意都有，
所以，
由得，即，
故函数的周期为，
，
，，
又为奇函数，，，
，，
，
．
故答案为：．
由，两式相减得函数周期为，再结合奇函数的性质求解即可．
本题考查抽象函数的应用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设点在上，则点所在的函数为，
则与有两个交点，的图象由的图象左右平移产生，当时，，
如图所示，
所以当左移超过个单位时，都能产生两个交点，所以的取值范围是．
故答案为：．
作出关于轴对称的函数，令与的函数图象有个交点即可得出的范围．
本题考查函数的综合应用．由对称性得到其对称点的函数，则题目转化为图象交点个数问题．本题利用函数图象移动来辅助解题，通过图象平移，观察交点个数的情况，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，而，故
故．
因为非空，故即．
因为“”是“”的必要条件，故A，
故，故．
【解析】求出集合，，再求出，从而可求；
根据题设条件可得，从而可得关于参数的不等式组，从而可求参数的取值范围．
本题考查集合的运算以及必要条件的定义，属于基础题．
18.【答案】解：由正弦定理得，因为，所以，故．
，因为所以．
根据正弦定理得，解得，
根据余弦定理得．
由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立，
此时，所以面积的最大值为．
【解析】由正弦定理化简求解，
由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：解：由题意得，
，
，，
故，，
所以关于的线性回归方程为，
令，得，
所以最小的整数为，，
故该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆；
由题意知，该地区名购车者中女性有名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有名，
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为，
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为，
当时，，
所以预测该地区年购置新能源汽车的销量为万辆，
因此预测该地区年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人；
由题意知，，
则，，
当时，知所以函数单调递增，
当时，知所以函数单调递减，
所以当取得最大值，
此时，解得，
所以当时，取得最大值．
【解析】根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令求解即可；
计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；
根据二项分布的概率公式可得，再求导分析的最大值即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】因为是奇函数，所以，得，
经检验，当时，是奇函数，
所以；
任取，
因为，若在上是增函数，
所以恒成立，
于是，
而，
所以实数的取值范围；
记值域为，值域为，由题意得，，
当时，值域为，因此对于任意的，总存在，使得，
当时，值域为，值域为，所以不符合题意，
当时，值域为值域为，
由题意得，，此时无解，
综上所述：实数的取值范围是．
【解析】，得；
任取，恒成立，于是，所以；
记值域为，值域为，由题意得，，分类讨论当时，值域为，成立，当时，值域为，值域为，所以不符合题意，当时，值域为值域为，无解，最后可得．
本题考查指数函数的综合应用，属于中档题目．
21.【答案】解：证明：，，
则由定义得，得方程无解，则与不存在“点”；
，，，
由得，得，
，得；
，，，
由，假设，得，得，
由，得，得，
令，，
设，，
则，，得，
又的图象在上不间断，
则在上有零点，
则在上有零点，
则存在，使与在区间内存在“”点．
【解析】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．
根据“点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；
根据“点”的定义解两个方程即可；
分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．
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