2022-2023学年北京十中高三（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京十中高三（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
若函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知函数，给出下列四个结论：
函数是周期为的偶函数；
函数在区间上单调递减；
函数在区间上的最小值为；
将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合．
其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
已知定义在上的奇函数满足，且，当时，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
已知函数，，，，则下列结论正确的是( )
A. 函数和的图象有且只有一个公共点
B. ，当时，恒有
C. 当时，，
D. 当时，方程有解
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
已知复数，，那么的值是 ．
函数的定义域为______ ．
已知，，则 ， ．
若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：
函数不具有性质；
函数具有性质；
若函数，具有性质，则；
若函数具有性质，则．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在中，，，且，求：
求的值；
求的面积．
本小题分
已知函数，，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：
的最小正周期；
在区间上的最大值．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
本小题分
已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ设，，求数列的前项和．
本小题分
某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区迶机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下：
从地区抽取的名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于分的概率．
从地区抽取的名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于分的个数为，求的分布列和数学期望．
根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及，两个地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由．
本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若，讨论函数的单调性；
Ⅲ当时，恒成立，求的取值范围．
本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ设，求证：；
Ⅲ设若存在使得，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
进行补集的运算即可．
【解答】
解：，，
．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，且，
则有，则，
故，
故选：．
根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得的值，由向量模的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的定义，涉及向量模的计算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．
由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．
【解答】
解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；
对于，为非奇非偶函数，不符合题意；
对于，为奇函数，但在区间上单调递减，不符合题意；
对于，为奇函数，由正弦函数的图象可知，在区间上单调递增，符合题意．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数的运算性质和等比数列的性质，属于基础题．
根据对数的运算性质和等比数列的性质即可求出．
【解答】
解：．
故答案选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据分段函数的解析式即可求出每段上的范围，然后即可得出的值域．
【解答】
解：时，；
时，，
的值域为：．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
由已知函数图象求得，进一步得到，再由五点作图的第二点求得，则函数解析式可求，从而可得．
本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．
【解答】
解：由图可知，，则，．
又，．
则，
．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
根据等比数列的求和公式可知前项和的单调性与首项和公比有关，结合充分条件必要条件的定义进行判定即可．
本题主要考查等比数列的求和，以及充分条件、必要条件的判定，解题的关键是弄清等比数列前项和的单调性与什么有关，属于中档题．
【解答】
解：当时，若，因为若则，即，
显然不是递增函数；
若数列为递增数列，则，，即，，
所以，而，
所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的性质，三角函数的周期性，单调性，诱导公式可以直接判断．
本题考查了函数的性质，三角函数的诱导公式，属于基础题．
【解答】
解：由，所以不是偶函数，故错误；
因，所以，而余弦函数在上单调递减，故正确；
因，所以，所以的最小值为，故错误；
将函数的图象向右平移个单位长度后，，故正确；
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的解析式以及函数的周期性和奇偶性，将，，进行转化，然后求出数值比较即可．
本题考查了函数值大小的比较，涉及了函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是将自变量转化到内求解．
【解答】
解：因为当时，，
又，且为奇函数，
所以，即，
，故，
，故，
所以．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的单调性，以及函数零点的存在性定理进行逐一判定即可．
本题主要考查了命题真假的判断的应用，以及函数零点的存在性定理，同时考查了学生分析问题的能力．
【解答】
解：选项A：，，
，，，，
则函数和的图象有一个交点，还有一个交点横坐标在上，
故选项A不正确；
选项B：当，时，恒成立，
故不，当时，恒有，故选项B不正确；
选项C：当时，与的图象关于对称，的图象恒在直线上方，
的图象恒在直线下方，故不存在，，故选项C不正确；
选项D：由题意可得，当时，方程有解，
即有解，显然是方程的一个解，故选项D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题是一个复数的乘法运算，解题时只要按照多项式的乘法原则，使一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项，得到结果．
本题考查复数的乘法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．
【解答】
解：复数，，
故答案为：

12.【答案】
【解析】解：要使有意义，则，解得．
所以原函数的定义域为．
故答案为．
直接由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于联立取交集即可．
本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．
13.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本公式可求得的值，利用二倍角的余弦公式即可求解的值．
【解答】
解：因为，，
可得，
可得．
故答案为：，．

14.【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，从而求出的取值范围．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题．
【解答】
解：若函数在区间上单调递增，
则在上恒成立，
则在上恒成立，
而在上的最大值是，
故的取值范围是，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：函数的性质，函数的奇偶性，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用函数的性质，函数的奇偶性，定义性函数的应用，判断的结论．
【解答】
解：对于：函数的值域为，则当时，不存在，使得，即不具有性质，故正确；
函数，满足，故函数为偶函数，由于，即，所以
对任意的要使得则需而不存在使得故不具有性质，故错误；
若函数，当时，，若满足，则，即，解得，故正确；
若函数，则，解得，故错误；
故答案为：．

16.【答案】解：因为，由正弦定理得，，
所以，
由余弦定理得，因为，，
所以，化简得，解得或，
当时，，与题意不符合；
当时，，符合题意．
所以．
因为，，
所以，
所以的面积．
【解析】由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到的值，进而可求得值．
由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：若选，
．．
因为，所以，
所以，即的最大值为．
若选，．
因为，所以，
所以，即的最大值为．
【解析】若选，
，再计算周期即可．
根据得到，从而得到，即可得到函数的最大值．
若选，
，再计算周期即可．
根据得到，从而得到，即可得到函数的最大值．
本题考查正、余弦函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．
依题意有，
结合，，解得
，即，．
，．
Ⅱ，
数列的前项和为：
．
【解析】Ⅰ利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
Ⅱ利用等差数列与等比数列的前项和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：对该公司产品的评分不低于分的频率为，
由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于分的概率为；
由频率分布直方图可知，评分不低于分的人数为人，
的可能取值为，，，
，
故的分布列如下：
则数学期望；
由频率分布直方图可得：，，则，
又地区和地区抽取用户人数之比为：，地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的，
故A，两个地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，故．
【解析】直接由频率分布直方图估计评分不低于分的概率即可；
先求出地区评分不低于分的人数，再分别计算为，，的概率，列出分布列计算期望即可；
由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，，再由求得，比较大小即可．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ当时，，，
，
，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：．
Ⅱ由，可得，
由于，的解为，，
当，即时，，则在上单调递增，
当，即时，
在区间，上，；在区间上，，
所以在，上单调递增；在上单调递减．
当，即时，
在区间，上，；在区间上，，
则在，上单调递增，在上单调递减．
Ⅲ
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立，
当时，，
所以在上单调递增，所以成立，
当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上，，不符合题意，
综上所述，的取值范围是
【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
Ⅰ当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．
Ⅱ求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．
Ⅲ对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得的取值范围．
21.【答案】解：Ⅰ，，
令，解得：，
，，的变化如下：
单调递增 极大值 单调递减
故在单调递增，在单调递减；
Ⅱ证明：，，
，
当时，，，故，
当时，，，故，
故在单调递增，在单调递减，
故；
Ⅲ，，
当时，，即存在，使得；
当时，由Ⅱ可知：，即，
故
，
综上，对任意，，
即不存在使得，
综上，的最大值是．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
Ⅱ求出的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，从而证明结论成立；
Ⅲ求出的解析式，通过讨论的范围，结合不等式的性质求出的最大值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．
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