2022-2023学年上海市普陀区晋元高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市普陀区晋元高级中学高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在正方体中，是棱的中点．令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A.
B.
C.
D.
若向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题．下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数都成立的是( )
成立，且对任意正整数，“当时，均成立”可以推出“成立”
，均成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立”
成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”
A. B. C. D.
已知球的体积为，高为的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
用集合符号表示直线在平面上______．
已知，则向量在向量方向上的数量投影为______．
若圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于______．
已知无穷等比数列的前项和为，且，，则数列的各项和为______．
如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为______．
在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为______．
已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为______．
斧头的形状叫楔形，在算数书中又称之为“郓都”或“壍堵”：其上底是一矩形，下底是一线段．有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为，下底线段长为，上下底间的距离高为，上底矩形的宽为，则此几何体的体积是 ．
如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，则三棱锥的外接球表面积为______．
已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为______．
如图所示，在正方体中，，是侧面内的动点，满足，若与平面所成的角，则的最大值为______．
在中，，为钝角，，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知：平面平面，，直线在平面内，且，求证：直线平面．
本小题分
设向量，，其中．
若，求实数的值；
已知且，若，求的值域．
本小题分
已知正三棱柱中，，延长至，使．
求证：；
求二面角的大小结果用反三角函数值表示．
本小题分
如图，在正四棱锥中，，侧面与底面的夹角为．
求正四棱锥的体积；
若点是正四棱锥内任意一点，点到平面，平面，平面，平面，平面的距离分别为，，，，，证明：；
若球是正四棱锥的内切球，点是正方形内一动点，且，当点沿着它所在的轨迹运动一周时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积．
本小题分
对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列．
已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；
若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：取的中点，连接如图，
易得，故直线与所成的角，
又直线平面，
故直线与平面所成的角为，
又平面，
故二面角的平面角为，
因为，
故，
又，，均为锐角，故．
故选：．
取的中点，再根据几何关系，结合线线角线面角与二面角的定义，判断，，的正切值大小结合正切的单调性判断即可．
本题考查了空间角的相关计算，考查了转化思想，属于中档题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量夹角公式，向量垂直的充要条件，属于基础题．
根据条件可得出，然后即可求出的值，从而得出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
又，
与的夹角为．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：对于，对任意正整数，“当时，均成立，
则当时，成立，
故可证明某个命题对一切正整数都成立；
对于，因为，均成立，成立，
则当为奇数时，成立，
当为偶数数时，成立，
所以可以证明某个命题对一切正整数都成立；
对于，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立，
又成立，成立，则也成立，
所以可以证明某个命题对一切正整数都成立．
故选：．
根据数学归纳法的定义逐一分析即可得出答案．
本题主要考查数学归纳法，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的外接球，考查空间想象能力，属于中档题．
根据给定条件，求出球半径，平面截球所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答．
【解答】
解：设球半径为，由得，
平面截球所得截面小圆半径，由得，
因此，球心到平面的距离，
而球心在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为，
因圆锥的高为，则球心到圆锥底面圆的距离为，
于是得圆锥底面圆半径，
令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，点为弦中点，如图，
依题意，，弦，
所以．
故选C．

5.【答案】
【解析】解：直线在平面上，即直线包含于平面，利用集合与集合的关系表示为．
故答案为：
直线在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可．
本题考查线面位置关系的符号表示法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：向量在向量方向上的数量投影为，．
故答案为：．
向量在向量方向上的数量投影为，，再由平面向量数量积的定义，代入化简运算，得解．
本题考查平面向量的投影，理解向量的投影的概念与计算方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设该圆锥的底面半径为，高为，母线为
圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的半圆，
母线，且，解之得
，高
圆锥的轴截面是以底面直径为底，圆的高为高的等腰三角形
该圆锥的轴截面面积
故答案为：
根据题意，该圆锥的底面半径与满足关系式：，由此解出再由勾股定理算出高之值，利用三角形面积公式即可得到该圆锥的轴截面面积．
本题给出圆锥的侧面展开图的形状和大小，求圆锥轴截面的面积，着重考查了圆锥的轴截面和圆锥的侧面展开图的认识等知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，等比数列的公比不等于，故设等比数列的公比为，
所以，，，
所以，，解得，
所以，，
因为数列为无穷等比数列，
所以，数列的各项和为．
故答案为：．
根据题意先求得等比数列的公比为，进而得，再求极限即可．
本题主要考查了等比数列的求和公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，因为，，，
，，，，，
，，整理得，解得或不合题意，舍去；
所以，即的值为．
故答案为：．
分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出与的余弦值，即可得出与的关系．
本题考查了空间中两条异面直线所成的角计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为棱长为的正方体，如图所示，
取的中点，连接，
在正方体中，平面，且平面，
则，
在正方形中，，且，，平面，
故平面，
则为直线到平面的距离，
因为，
所以，
则直线到平面的距离为．
故答案为：．
取的中点，连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，则为直线到平面的距离，求解即可．
本题考查了点到平面距离的求解，线面垂直的判定定理的应用，解题的关键是确定点到平面距离对应的线段，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当时，
，，
，
，，
，
令得，，
的最小值为，
当时，
，不符合题意，
综上所述，的最小值为，
故答案为：．
对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法得到的最小值．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力，是基础题．
过点作，垂足为，连接过点作，垂足为，连接则为直三棱柱，与为全等的三棱锥．即可得出．
【解答】
解：如图所示，过点作，垂足为，连接．
过点作，垂足为，连接．
则为直三棱柱，与为全等的三棱锥．
此几何体的体积．
故答案为：．

13.【答案】
【解析】解：面，面，，
又，，
因为底面为菱形，所以，且，
又底面，平面，
所以，
又，
所以平面，
平面，故C，即三角形为直角三角形，
又面，平面，
所以，即三角形为直角三角形，
所以三棱锥的外接球的球心为中点，
又，
所以，
故答案为：．
根据已知条件证明三角形和为直角三角形，从而三棱锥的外接球的球心为中点，计算的长度可得外接球直径，代入球的表面积公式计算可得结果．
本题考查了三棱锥的外接球的表面积计算，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：利用列举法，将的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列 ，
得数列的前项分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
故，，，
因所以的最小值为，
故答案为：．
根据题意，利用列举法一一列举出数列的项，结合等差等比的求和公式，即可求解．
本题考查了用列举法写出数列的前项和及等差、等比数列的求和公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，
设，
则，
因为，
所以，
所以，则，
因为平面，
所以即为与平面所成角，即，
则，
所以当时，取得最大值．
故答案为：．
以为原点建立空间直角坐标系，设，根据，求得，的关系，再根据平面，可得，解即可．
本题主要考查了直线与平面所成角的向量方法的求解，考查了运算能力及空间象限能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，取的中点，则，，，
因为的最小值为，所以．
作，垂足为，则，
又，所以，
在中，由正弦定理知，，即，所以，
因为为钝角，所以，，
所以．
故答案为：．
取的中点，结合平面向量的混合运算法则，可得，即作，垂足为，则，从而得，再结合正弦定理和同角三角函数的平方关系，可推出，，最后利用三角形的内角和以及余弦的两角差公式即可得解．
本题主要考查平面向量在几何中的应用，还涉及正弦定理、三角函数的基本公式等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】证明：设直线与直线的交点为，在平面内过点作直线，
因为，，，，，，所以直线，所成角为直角，即，
又，，，所以．
【解析】根据得到，再利用线面垂直的判定定理证明即可．
本题考查线面垂直问题，属于中档题．
18.【答案】解：，
因为，
所以，即，
又，
所以；
因为且，
所以，所以，
则，，
因为，所以，
所以，
所以的值域为．
【解析】根据向量平行的坐标表示结合三角函数即可得解；
由，可得，再根据数量积的坐标表示结合辅助角公式及三角函数的性质即可得解．
本题考查平面向量数量积与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】证明：正三棱柱中，，延长至，使．
，，
，平面，
平面，．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
设二面角的大小为，
则，
二面角的大小为．
【解析】推导出，，从而平面，由此能证明．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：连接，交于点，取的中点，连接，，
由题意可得为，的中点，底面，，，
又为的中点，，，
即为面与底面所成角的平面角，即，，则，
；
证明：，又侧面的每个三角形的面积均为，
又，
；
球是正四棱锥的内切球，
由可知点为点的一种情况，
为内切球的半径，
，，
在中，，
点在以为圆心为半径的圆上，
点沿它所在的轨迹运动一周时，线段形成的曲面与底面所围成的几何体为圆锥，
线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积为．
【解析】连接，交于点，取的中点，连接，，证明，，则即为面与底面所成角的平面角，从而可求得底面边长及高，再根据棱锥的体积公式即可得解；
利用等体积法即可得证；
由可得为内切球的半径，从而可求得内切球半径，利用勾股定理求得，从而可得点在以为圆心的圆上，进而可得出线段形成的曲面与底面所围成的几何体为圆锥，再根据圆锥的表面积公式即可得解．
本题考查面面角的概念，正四棱锥的体积计算，等体积法思想的应用，正四棱锥的内切球问题，属中档题．
21.【答案】解：因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以，当为偶数时，，
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以，当为偶数时，，故只需即可，
当为奇数时，恒成立，故只需即可，
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为．
证明：先证充分性：
因为是周期为的周期数列，，，
所以，即，
所以，即，
所以是周期为的周期数列，即充分性成立，
下面证明必要性：
因为是周期为的周期数列，
所以，即，
所以，，，即，
所以，，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，即，
所以必要性成立，
综上，“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”
解：假设存在非零常数，使得是周期数列，
所以由知，数列是周期为的周期数列，且，
因为，且，
所以，
所以数列是周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列．
【解析】根据题意，分为偶数和为奇数时两种情况讨论求解即可；
根据周期性，结合累加法分别证明充分性与必要性即可；
由题知数列是周期为，再结合的结论求解即可．
本题主要考查了数列的周期性，考查了数列的递推式，考查了学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
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