2.1 等式与不等式性质
一、单选题
1．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x=y，则x+5=y+5
B．若a=b，则ac=bc
C．若，则a=b
D．若x=y，则
【答案】D
【分析】利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答.
【解析】对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；
对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；
对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确；
对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误．
故选：D
2．已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质逐项判断即得.
【解析】∵，∴，故A正确；
∵，∴，∴，即，故B正确；
由可得，，∴，故C正确；
因为，所以，，所以，即．故D错误.
故选：D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.
【解析】对于A，若，由可得：，A错误；
对于B，若，则，此时未必成立，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.
故选：D.
4．已知a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的性质可判断.
【解析】由．
当，时，，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作差法即可比较大小.
【解析】，
故，当时，.
故选：C.
6．已知，，，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】采用作差法计算与的大小关系，由此判断出的大小关系.
【解析】因为，且，，
所以，所以，
故选：A.
7．若a，b，c，d均为实数，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】举特例说明并判断选项A，B，利用不等式性质推理判断选项C，D即可作答.
【解析】对于A，如3>2，-3<0，显然3+(-3)<2+0，A不正确；
对于B，如3>2，-4>-5，显然，B不正确；
对于C，因，而，则，C不正确；
对于D，因，则，又，于是得，所以，D正确.
故选：D
8．已知、，设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】利用作差法可得出与的大小关系.
【解析】解析：．
因为、，所以，，，所以，所以．
故选：B．
9．设， 与的大小关系是
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．
【解析】.
.
根据不等式的开方性质可以得出 再根据不等式相加性质可以得出
显然可以得到即
成立，因此本题选B．
【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．
10．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法得出，并计算出的取值范围，利用不等式的性质可得出的取值范围.
【解析】设，，解得，
，
，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是，故选D.
【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.
11．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】的三边长分别为、、，不妨设，则，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.
【解析】的三边长分别为、、，不妨设，则，
对于（1）： ，所以，所以以、、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；
对于（2）：不一定成立，因此以、、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；
对于（3）：，因此以、、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）： 取，，因此、、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有个，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设，则，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.
12．已知满足则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先利用待定系数法用表示出，然后利用不等式的性质结合题意确定其取值范围即可.
【解析】设
比较的系数，得从而解得
即，
由题得，
两式相加，得.
故选A.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，函数与方程的思想，待定系数法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
13．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.
【解析】解：由不等式性质逐项分析：
A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确
B选项：若，则，故B错误；
C选项：，，则，化简得，故C正确；
D选项：，，，则，故D错误.
故选：AC
14．下列命题正确的是（ ）
A． B．，，使得ax＞2
C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则
【答案】AD
【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D．
【解析】对A，时，，A正确；
对B，时，对任意，，不成立，B错；
对C，时满足，但此时，C错；
对D，，则，，则，D正确．
故选：AD．
15．设、为正实数下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
E．若，则
【答案】AD
【解析】利用不等式的性质以及反证法证明成立即可判断A选项；
取，判断B选项；
取，判断C选项；
利用不等式的性质以及作差法判断D选项；
取，判断E选项；
【解析】对于A，若，为正实数，则，故，若，则，这与矛盾，故成立，所以A正确；
对于B，取，，则，但，所以B不正确；
对于C，取，，则，但不成立，所以C不正确；
对于D，，即，所以D正确；
对于E，取，则，所以E不正确.故选AD.
【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.
16．已知的角所对边长分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用大角对大边及符号法则可得，结合条件利用特值法及不等式的性质即得.
【解析】在中，，，又，
∴，故正确；
，即，
当时，，此时，故B错误；
又，
，故C正确，错误.
故选：AC.
17．甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（ ）
A．如果，则两个项目组同时完工 B．如果，则甲项目组先完工
C．如果，则甲项目组先完工 D．如果，则乙项目组先完工
【答案】AC
【分析】设总工程量为，计算出甲、乙两个项目组做工程的时间，利用作差法可得出结论.
【解析】设总工程量为，
甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作，
，，
乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，
，
当时，，，，即甲、乙项目组同时完工；
当时，，，
，，即甲项目组先完工，
故选：AC.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商.
18．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1
【答案】ABC
【解析】由题可得，设，则可得，即可解出，，判断AB正确；将条件转化为，利用判别式可求出的范围，同理求出的范围.
【解析】由，得，
，
设，则.
，
，解得，即，，故AB正确；
，即.
，即.
由a，知，.
∴，解得，同理可得，故C正确，D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令，转化出，即可求出，进一步利用判别式可求出范围.
三、填空题
19．用“>”或“<”填空：
（1）________；（2）_____；
（3）______；（4）当c_______0时，；
（5）______；（6）_______.
【答案】 <
【解析】由不等式的性质及推论逐一判断即可得解.
【解析】解：（1）∵，∴；
（2）∵， ∴；
（3）∵，∴；
（4）当时，；
（5）∵，∴；
（6）∵，∴，则，即.
故答案为：（1）>（2）<（3）>（4）<（5）>（6）<.
【点睛】本题考查了不等式的性质及推论，属基础题.
20．“”是“且”的______条件．
【答案】必要非充分
【分析】根据不等式的性质可知若“且”，则必有“”成立，通过反例可以说明前者的逆命题不成立.
【解析】若“且”，则，故“”成立；
若，
则，但，
所以“”是“且”成立的必要不充分条件.
故填必要非充分.
【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.
21．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________.
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【解析】由|a|<1，得－1
∴1＋a>0,1－a>0，
∴0<1－a2≤1，
∴，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.
22．若，下列4个命题：①；②；③
；④，其中正确的序号是_____
【答案】①③
【分析】利用作差、配方可判断①、②、③；根据基本不等式适用的条件可判断④.
【解析】对于①，作差可得，即，正确；
对于②作差并因式分解
，因符号而变，错误；
对于③，作差配方可得，正确；
对于④，由于符号不定，显然当小于0不成立.
故答案为：①③
23．若实数满足，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】设，解得，，再由不等式的性质即可求解.
【解析】设，解得，
所以．
又，，，
所以.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
24．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】首先将a+b+c＝0变形为b＝﹣a﹣c.再将b＝﹣a﹣c代入不等式a＞b，b＞c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围.
【解析】解：∵a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0 ①
∴b＝﹣a﹣c，且a＞0，c＜0
∵a＞b＞c
∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c②
解得，
将b＝﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c③
解得，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查不等式性质的应用.解决本题的关键是将a+b+c＝0变形为b＝﹣a﹣c，代入后消去b，进而求得a、c的关系.
四、解答题
25．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)不成立，理由见解析；
(4)不成立，理由见解析；
【分析】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
(1)
，
，
，
故成立.
(2)
，,
,
即.
(3)
取时，满足，但是不成立.
(4)
取，满足，，但是不成立.
26．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 ,
再用同向可加性法则即可得出结果.
（2）根据正数的倒数大于0可得,再用同向同正可乘性得出结果.
（3）因为，根据（2）的结论，得,再用同向同正可乘性得出结果.
【解析】证明：（1）因为，所以.
则.
（2）因为，所以.
又因为，所以
，
即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得
.
又因为，
则 ，
即.
【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.
27．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，
(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．
【答案】(1)30平方米
(2)变好了
【分析】（1）根据题意列出关于的等量关系和不等量关系，化简求解即可
（2）分式的分子分母同时增加，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了
(1)
根据题意可得： ，则，所以，解得：，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米
(2)
同时增加窗户面积和地板面积后，比值为，则，因为，所以，所以，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了
28．1.已知，，，比较x与y的大小．
【答案】
【分析】运用作差法，进而分解因式，讨论每个因式的符号，最后得到答案.
【解析】 ．
因为，所以，，
所以，所以，所以．
29．比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用作差法得出大小关系.
(1)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
即
(2)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
故.
30．（1）设，试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）通过作差化简原式等价于，通过分为和两种情形得结果；
（2）将用，线性表示，结合不等式的性质即可得结果.
【解析】（1）
．
∵，∴当时，，
，
得；
当时，，，
得．
（2）设，
则
解得，．
则．
∵，，
∴，．
∴．
即．
31．若实数，，满足，则称比远离.
(1)若比远离，求实数的取值范围；
(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)比更远离，理由见解析.
【分析】（1）由绝对值的几何意义可得，即可求的取值范围；
（2）只需比较的大小，讨论、分别判断代数式的大小关系，即知与哪一个更远离.
(1)
由比远离，则，即.
∴或，得：或.
∴的取值范围是.
(2)
因为，有，
因为，所以．
从而，
①当时，
，即；
②当时，
，
又，则．
∴，即．
综上，，即比更远离．
32．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”
(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P，满足既是点（c，d）的“上位点，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；
【答案】(1)点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4）和一个“下位点”坐标是（3，6）（答案不唯一）；
(2)存在，证明详见解析.
【分析】（1）利用“上位点”和一个“下位点”的定义求解；
（2）利用“上位点”和一个“下位点”的定义证明；
(1)
解：因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：
若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”，
所以点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4）和一个“下位点”坐标是（3，6）；
(2)
因为点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，
所以一定存在点P（a+c，b+d）满足既是点（c，d）的“上位点，又是点（a，b）的“下位点”，
证明如下：
因为点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，
所以，即ad>bc，
所以，
即 ，所以点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点，
所以，
即 ，所以点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点，
综上：点P（a+c，b+d）满足既是点（c，d）的“上位点，又是点（a，b）的“下位点”.2.1 等式与不等式性质
一、单选题
1．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x=y，则x+5=y+5
B．若a=b，则ac=bc
C．若，则a=b
D．若x=y，则
2．已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．若a，b，c，d均为实数，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知、，设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
9．设， 与的大小关系是
A． B．
C． D．不能确定
10．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知满足则的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题
13．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
14．下列命题正确的是（ ）
A． B．，，使得ax＞2
C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则
15．设、为正实数下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
E．若，则
16．已知的角所对边长分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
17．甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（ ）
A．如果，则两个项目组同时完工 B．如果，则甲项目组先完工
C．如果，则甲项目组先完工 D．如果，则乙项目组先完工
18．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1
三、填空题
19．用“>”或“<”填空：
（1）________；（2）_____；
（3）______；（4）当c_______0时，；
（5）______；（6）_______.
20．“”是“且”的______条件．
21．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________.
22．若，下列4个命题：①；②；③
；④，其中正确的序号是_____
23．若实数满足，，则的取值范围为________．
24．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是_______.
四、解答题
25．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
26．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
27．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，
(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．
28．1.已知，，，比较x与y的大小．
29．比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
30．（1）设，试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
31．若实数，，满足，则称比远离.
(1)若比远离，求实数的取值范围；
(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.
32．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”
(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P，满足既是点（c，d）的“上位点，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；