3.1.1 函数的概念（难点）
一、单选题
1．下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）
【答案】B
【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可．
【解析】（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确；
（2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；
（4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确．
故选：B
2．已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；
对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；
对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；
【解析】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
3．已知函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法，依次求得的值，结合已知条件，求得答案.
【解析】令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
故选：B
4．若满足，且，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】赋值法求解函数值.
【解析】令得：，令得：，
令得：，
所以
故选：B
5．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；
【解析】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；
对于②与表示同一函数，故②正确；
对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；
对于④已知，，且，所以，则
，当且仅当，即，时取等号，故④正确；
故选：B
6．函数满足：恒成立.若，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意采用赋值法求出，进而求出.
【解析】，，
又，，
,
,且，
故选：C
7．已知连续函数的定义域为R，满足，若的最大值为1，最小值为0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由已知式子可得，从而可求出函数解析式，进而可求得结果
【解析】由，得
，
所以，或，
因为，且函数图象连续，
所以
所以，
故选：D
8．已知，，，且，，，则的值一定（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都有可能
【答案】C
【分析】由已知条件可得，，而，可判断，同理可得，，从而可得结论
【解析】解：，
∵，，，
∴，又，
，，不同时为0，，故
，
同理可证得，，故，
所以，
故选：C．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．，是同一个函数
B．， 是同一个函数
C．存在无数组函数，：定义域相同，值域相同，但对应关系不同
D．存在无数组函数，：值域相同，对应关系相同，但定义域不同
【答案】ACD
【分析】由函数相同的条件，定义域，对应法则相同，可判断A，B；举例说明C，D正确，验证存在性即可．
【解析】解：对于A，两个函数定义域均为R，对应法则也相同，故是同一个函数，A正确；
对于B，f（x）定义域为R，g（x）定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一个函数，B错误；
对于C，例如函数f（x）＝|ax|，a不等于0，g（x）＝x2，定义域都是R，值域都是[0，+∞），但是对应关系不同，所以C正确；
对于D，举例f（x）＝x2（x≥0），g（x）＝x2（x≤a，a>0），两个函数值域都是[0，+∞），对应关系也相同，但是定义域不同，故D正确；
故选：ACD．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为
B．，不是同一函数
C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个
D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同
【答案】ACD
【分析】根据抽象函数定义域的求法可知A正确；根据相等函数的定义可判断B错误；根据函数的定义可知C，D正确；
【解析】对A，由可得，所以函数的定义域为，A正确；
对B，函数和的定义域都为，对应关系也一样，所以它们是同一函数，B错误；
对C，根据函数的定义可知，对，函数最多只有一个值与之对应，所以函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个，C正确；
对D，比如函数，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同．
故选：ACD．
11．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】对于A，令，代入中化简可求出，对于B，令，代入中化简可求出，对于C，令，可求出，再令，可求出，从而可求出，对于D，令，代入计算可得答案
【解析】对于A，令，则，因为，所以，所以，所以A正确，
对于B，令，则，所以，所以，所以，所以B错误，
对于C，令，则，令，则，所以，所以C错误，
对于D，令，则，所以D正确，
故选：AD
12．德国者名数学家狄克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．对恒成立
B．对，都存在，使得
C．若，则
D．存在三个点，使得为等边三角形
【答案】BCD
【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.
【解析】A：当时，显然，而，
，所以不成立，故本选项不正确；
B：当时，，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，
所以时，都存在，使得；
当时，，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当时，都存在，使得，所以本选项正确；
C：当时，，所以此时，，
显然成立；
当时，，所以此时，，
显然成立，因此本选项正确；
D：当三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有，此时三点共线，不构成三角形；
当三个数都是有理数时，此时，因此三点共线，构不成三角形；
当三个数有二个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，
所以有，
当三角形是等边三角形时，有
，显然，于是有，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；
当三个数有一个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，
所以有，
当三角形是等边三角形时，有
，显然，于是有，取，设，如下图所示：
，即 ，
所以存在三点，使得为等边三角形，
因此本选项正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.
三、填空题
13．函数的最大值为______.
【答案】
【分析】令，先利用二次函数性质得到，再由反比例函数性质得到，即得解
【解析】由题意，令
故
由反比例函数性质，
故函数的最大值为
故答案为：
14．设函数，，函数的定义域为______．
【答案】
【分析】根据与的解析式，列出使得有意义的不等式，即可求解．
【解析】由题意，函数，，
要使有意义，则满足，解得，
所以的定义域为．
故答案为：．
15．已知函数f(x)的定义域为A={1，2，3，4}，值域为B={7，8，9}，且对任意的x
【答案】3
【分析】直接写出满足题意的函数，即得结果.
【解析】依题意，对任意的x（1）；
（2）；
（3）.
共有3个．
故答案为：3.
16．已知函数满足，对任意的，，有，则___________.
【答案】##
【分析】根据题设条件可得，据此可求.
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，从而可得，
故
，
故，故，
所以，故.
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于抽象函数的函数值的计算，应该根据给出的运算律结合变换得到新的运算律，从而可求确定的函数值.
四、解答题
17．求下列函数的最小值：
（1）
（2），．
【答案】（1）最小值为f(1)＝－3；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用图像法求出最小值；
（2）分类讨论，研究f(x)在上的单调性，利用单调性法求出最小值.
【解析】（1）函数f(x)的图象如图所示，由图可知：当x＝1时，f(x)取最小值，最小值为f(1)＝－3.
（2）f(x)＝x2＋ax＋3＝.函数f(x)的图象是开口向上，且以直线x＝－为对称轴的抛物线．
① 当－≤0，即a≥0时，f(x)在[0， 1]上为增函数，此时当x＝0时，函数取得最小值3；
② 当0<－<1，即－2③ 当－≥1，即a≤－2时，f(x)在[0，1]上为减函数，此时当x＝1时，函数取最小值4＋a.
所以
18．函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围.
（2）若的定义域为，求实数a的值.
【答案】（1）；（2）2.
【解析】（1）分、两种情况讨论，结合二次函数的知识即可求解；
（2）命题等价于不等式的解集为，然后可得且、是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程求解即可.
【解析】（1）①若，即，
1）当时，，定义域为R，满足题意；
2）当时，，定义域不为R，不满足题意；
②若，为二次函数，
定义域为R，对恒成立，
；
综合①、②得a的取值范围；
（2）命题等价于不等式的解集为，
显然
且、是方程的两根，
，
解得：.
【点睛】本题考查的是函数定义域问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
19．（1）已知函数的定义域为，值域为，设，求的定义域和值域；
（2）已知，且的定义域为，值域为，求函数的定义域和值域.
【答案】（1）的定义域为，值域为.（2）的定义域为，值域为.
【解析】（1）根据得到定义域，和值域相同得到答案.
（2）根据得到，得到定义域，再计算值域得到答案.
【解析】（1）因为，所以.值域为.
因此函数的定义域为，值域为.
（2）因为，所以，所以.
因为，所以.
因为，所以.
因此函数的定义域为，值域为.
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.
20．已知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的值．
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）0；（2）不存在实数，使得函数的定义域为．理由见解析
【分析】（1）根据定义域的概念转化为关于的不等式的解集为，结合一次函数的性质，即可求解，得到答案．
（2）由函数定义域的概念转化为关于的不等式的解集为，结合一次函数的性质，即可求解．
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，即关于的不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，不符合题意；
当时，不等式的解集为，不符合题意；
当时，恒成立，符合题意．
综上，实数的值是0．
（2）假设存在满足题意的实数．
由题意，得关于的不等式的解集为，
所以，即，无解，与假设矛盾．
故不存在实数，使得函数的定义域为．
【点睛】本题是有关函数定义城的一道综合题，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，其中解答中，第（1）问的关键是将问题转化为不等式恒成立问题去解决；求解第（2）问的关键是由函数的定义域建立关于参数的不等式组，若有解则存在，若无解则不存在．
21．已知，若，且.
（1）求的表达式；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据得到，设代入等式得到解得答案.
（2）将代入函数计算得到答案.
【解析】（1）由，得，，又，
∴，∴，解得.
∴.
（2）由（1）得，.
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，意在考查学生的计算能力.
22．已知函数对任意正实数，，都有成立
（1）求的值；
（2）当时，求证：；
（3）若，（，均为常数），求的值
【答案】（1）（2）详见解析（3）
【分析】（1）利用赋值法，求得的值.（2）利用赋值法，结合（1）中的值，证得结论成立.（3）结合抽象函数表达式，利用赋值法，求得和的值，进而求得的值.
【解析】（1）令，，得，解得
（2）当时，令，，得，∴
（3）令，得，令，得
令，，得
【点睛】本小题主要考查抽象函数求值，考查赋值法证明与抽象函数有关的问题，属于基础题.
23．已知定义域为的函数满足.
（1）若，求；又若，求.
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）首先可根据得出，然后带入，即可求出的值，最后采用同样的方法即可求出的值；
（2）本题首先可根据得出，然后令，通过计算得出或，最后对、分别进行检验，即可得出结果.
【解析】（1）因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，，
所以，
（2）因为，有且仅有一个实数使，
所以对于任意的，有，
令，则，即，解得或，
若，则，即，
但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故，
若，则，即，
此时有且仅有一个实数根，
综上所述，函数的解析式为.
【点睛】本题考查函数值的求法以及函数解析式的求法，考查了函数的赋值法的应用，赋值法主要应用于抽象函数的解析式或者函数解析式比较复杂的函数，能够很好的解决函数求值的问题，考查计算能力，是中档题.
24．对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
(1)求证：；
(2)设，若，求集合B．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】小问1：分别讨论与的情况，当时,设，则，即进而得证；
小问2：由可得,则,进而求解即可．
(1)
证明：若，则显然成立．
若，设任意，则，，
∴，故成立；
(2)
∵，∴，且，
即∴∴∴．
∵，∴，
∴，即，
∴，∴或或．
∴．
25．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；
（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.
【解析】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.
∴的定义域为；
（Ⅱ）当时，，
（1）当，即时，的定义域为，值域为，
∴时，不是“同域函数”.
（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.
∴.
综上所述，的值为.
（Ⅲ）设的定义域为，值域为.
（1）当时，，此时，，，从而，
∴不是“同域函数”.
（2）当，即，
设，则的定义域.
①当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，，
又∵，∴的取值范围为.
②当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，
此时，由，可知不成立.
综上所述，的取值范围为
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域.3.1.1 函数的概念（难点）
一、单选题
1．下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）
2．已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R
3．已知函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若满足，且，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A． B． C． D．
6．函数满足：恒成立.若，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．已知连续函数的定义域为R，满足，若的最大值为1，最小值为0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
8．已知，，，且，，，则的值一定（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都有可能
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．，是同一个函数
B．， 是同一个函数
C．存在无数组函数，：定义域相同，值域相同，但对应关系不同
D．存在无数组函数，：值域相同，对应关系相同，但定义域不同
10．下列命题正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为
B．，不是同一函数
C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个
D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同
11．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．德国者名数学家狄克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．对恒成立
B．对，都存在，使得
C．若，则
D．存在三个点，使得为等边三角形
三、填空题
13．函数的最大值为______.
14．设函数，，函数的定义域为______．
15．已知函数f(x)的定义域为A={1，2，3，4}，值域为B={7，8，9}，且对任意的x16．已知函数满足，对任意的，，有，则___________.
四、解答题
17．求下列函数的最小值：
（1）
（2），．
18．函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围.
（2）若的定义域为，求实数a的值.
19．（1）已知函数的定义域为，值域为，设，求的定义域和值域；
（2）已知，且的定义域为，值域为，求函数的定义域和值域.
20．已知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的值．
（2）是否存在实数，使得函数的定义域为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
21．已知，若，且.
（1）求的表达式；
（2）求的值.
22．已知函数对任意正实数，，都有成立
（1）求的值；
（2）当时，求证：；
（3）若，（，均为常数），求的值
23．已知定义域为的函数满足.
（1）若，求；又若，求.
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.
24．对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
(1)求证：；
(2)设，若，求集合B．
25．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.