3.1.1 函数的概念（重点）
一、单选题
1．下列图形能表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.
【解析】由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，
所以A、B显然不符合，C在与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.
故选：D
2．已知，则（ ）
A．50 B．48 C．26 D．29
【答案】A
【分析】利用赋值法，令即可求解.
【解析】解：令，则．
故选：A.
3．给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；
④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.
【解析】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；
函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；
根据函数的定义，可知③正确；
对于任意一个函数，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故④不正确；
由函数值的定义，可知⑤正确.
故选：B．
4．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.
【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．
⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有⑤可以，区间形式为，
故答案为：D.
5．下列各式为y关于x的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可
【解析】A项，，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；
B项，，定义域为，无解，所以不是函数，B项错误；
C项，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；
D项，，当时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误.
故选：C.
6．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．①②④ D．③④
【答案】B
【解析】根据函数的概念，集合的任何一个，在集合中都有唯一确定的和它对应，逐一检验即可得出正确答案.
【解析】对于①和④，第一个集合中的数在第二个集合中都有唯一确定的数和它对应，符合函数的概念，故①④满足函数关系.
对于②：第一个集合中的1，4在第二个集合中无元素对应，不是函数关系；
对于③：第一个集合中的1，在第二个集合中都有两个数和它对应，出现一对多的情况，不是函数关系；
只有①④满足函数关系.
故选：B.
7．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【解析】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
8．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.
【解析】解：由已知得，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
9．下列从集合M到集合N的对应关系中，y是x的函数的是（ ）
A．，，对应关系f：，其中
B．，，对应f：，其中
C．，，对应f：，其中
D．，，对应f：，其中
【答案】C
【分析】根据函数的定义一一判断即可；
【解析】解：对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应，y不是x的函数；
对于B，M中的每个元素在N中都有两个不同的元素与之对应，y不是x的函数；
对于C，M中的每个元素在N中都有唯一的元素与之对应，y是x的函数；
对于D，M中的元素0在N中没有元素与之对应，y不是x的函数．
故选：C
10．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（ ）
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2
C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据表格提供数据计算出正确答案.
【解析】由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2.
故选：B
11．若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果.
【解析】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
12．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【解析】函数，则不等式等价于或者，
解得：，解得：或，于是得或，
所以不等式的解集是.
故选：A
二、多选题
13．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用配方法、常数分离法、换元法即可得到各个函数的值域.
【解析】对于A，，显然符合；
对于B，，显然不符合；
对于C，，令
∴ ，显然符合；
对于D，，显然不符合；
故选：AC
14．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与
B．与
C．与
D．与
【答案】AB
【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否相同即可.
【解析】A中，，定义域为，与的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；
B中，，定义域为R，与的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；
C中，的定义域为，而的定义域为R，所以不是同一个函数；
D中，的定义域为或，而的定义域为，所以不是同一个函数.
故选：AB.
15．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【解析】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
16．设函数，若则实数a=（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】AD
【分析】按照分类，结合分段函数解析式即可得解.
【解析】因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
三、填空题
17．用区间表示下列集合．
（1）：______；
（2）：______；
（3）：______；
（4）R：______．
【答案】 ##
【分析】根据区间表示集合的方法表示出每个集合即可.
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为：；；；
18．已知，，以为定义域，以为值域可以建立______个不同的函数.
【答案】6
【分析】根据函数的定义，即可求得以为定义域，以为值域的函数可以建立的个数．
【解析】∵，，且集合为定义域，集合为值域
∴根据函数的定义可得集合中的或在集合中就一定有两个元素与之对应．
若在集合中有两个元素与之对应，那就会有，，这三种情况．
同理，若在集合中有两个元素与之对应，也就会有，，这三种情况．
∴函数可以建立的个数为个．
故答案为：6．
19．已知函数的定义域是R，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据函数的定义域为R可得对恒成立，利用一元一次不等式和一元二次不等式的性质对参数m的取值范围范围分类讨论，分别求出对应m的范围，进而得出结果.
【解析】因为函数的定义域为R，所以对恒成立．
当时，，符合题意；
当时，由，解得；
当时，显然不恒大于或等于0．
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：
20．若函数满足：对任意实数a、b，都有，且，则______．
【答案】2021
【分析】；由条件可得，即求.
【解析】由题意，可令，则有．又，，
所以，易知
．
故答案为：2021.
四、解答题
21．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)且且.
【分析】（1）解不等式组即得解；
（2）解不等式即得解.
(1)
解：由题得且.
所以函数的定义域为.
(2)
解：由题得且且.
所以函数的定义域为且且.
22．求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是.
（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.
（4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．
（1）
因为，，，，，所以函数的值域为．
（2）
因为，且，所以，所以函数的值域为．
（3）
因为，所以，所以函数的值域为.
（4）
设（换元），则且，令.
因为，所以，即函数的值域为.
23．求下列函数定义域
（1）已知函数的定义域为，求的定义域.
（2）已知函数的定义域为，求的定义域
（3）已知函数的定义域为，求的定义域.
（4）设函数的定义域为，则的定义域.
（5）若的定义域为，求的定义域
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）.
【分析】根据函数的定义域与函数的定义域的关系，即可求得函数的定义域.
【解析】（1）由条件可知，得或，
所以函数的定义域是；
（2）函数的定义域为，即，，
所以函数的定义域是；
（3）函数的定义域为，即，即，
所以函数的定义域是，
令，即，解得：，
所以函数的定义域是；
（4）由条件可知，解得：，
所以函数的定义域是.
（5）由条件可知，解得：，
所以函数的定义域是.
24．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【分析】由条件可得，，即可得到函数的定义域，然后可建立不等式组求解.
【解析】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
25．已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围．
【答案】
【分析】根据在R上恒成立可求实数k的取值范围．
【解析】由题设可得在R上恒成立，
故或，
故，
故答案为：.
26．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求，的值．
【答案】(1)且
(2)
(3)，
【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；
（2）直接取代入得答案；
（3）分别取及代入求解．
（1）
由题意，解得且,
函数的定义域为且.
（2）
.
（3）
，．
27．已知函数．
(1)求，的值；
(2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求的值．
【答案】(1)，=1
(2)，证明见解析
(3)2021.5
【分析】（1）由解析式代入运算即可得解；
（2）代入计算，即可得解；
（3）结合（2）的结论运算即可得解.
(1)
；
．
(2)
由（1）可发现，证明如下：
当时，．
(3)
由（2）知，
所以
．
28．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．
(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
【答案】（1）f1(x)＝1. f2(x)＝3.（2）
【解析】解：(1)∵x＝时，4x＝，
∴f1(x)＝＝1.
∵g(x)＝－＝.
∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.
(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，
∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴，∴≤x<.
故x的取值范围为.3.1.1 函数的概念（重点）
一、单选题
1．下列图形能表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．50 B．48 C．26 D．29
3．给出下列说法：
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定都是无限集；
③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；
④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列各式为y关于x的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．①②④ D．③④
7．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．， B．，
C． ， D．，
8．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列从集合M到集合N的对应关系中，y是x的函数的是（ ）
A．，，对应关系f：，其中
B．，，对应f：，其中
C．，，对应f：，其中
D．，，对应f：，其中
10．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（ ）
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2
C．4 D．5
11．若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B．与
C．与 D．与
15．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
16．设函数，若则实数a=（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
三、填空题
17．用区间表示下列集合．
（1）：______；
（2）：______；
（3）：______；
（4）R：______．
18．已知，，以为定义域，以为值域可以建立______个不同的函数.
19．已知函数的定义域是R，则m的取值范围为______．
20．若函数满足：对任意实数a、b，都有，且，则______．
四、解答题
21．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
22．求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
23．求下列函数定义域
（1）已知函数的定义域为，求的定义域.
（2）已知函数的定义域为，求的定义域
（3）已知函数的定义域为，求的定义域.
（4）设函数的定义域为，则的定义域.
（5）若的定义域为，求的定义域
24．已知函数的定义域为，求函数的定义域．
25．已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围．
26．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求，的值．
27．已知函数．
(1)求，的值；
(2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求的值．
28．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．
(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
