3.1.2 函数的表示法
一、单选题
1．如果是的函数，，，其中，则与的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用已知，将代入，化简计算并写出的取值范围，可得与的函数表达式．
【解析】，其中，可能，
，可得，
，．
与的函数表达式为： ．
故选:C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，考查换元法的应用，考查学生计算能力，注意范围的等价代换，属于基础题．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式计算即可求解.
【解析】,
,
,
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数解析式，利用解析式化简，属于容易题.
3．如图是函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．的定义域为
C．的值域为 D．若，则或2
【答案】C
【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．
【解析】解：由图象知正确，
函数的定义域为，正确，
函数的最小值为，即函数的值域为，，故错误，
若，则或2，故正确
故选：．
4．把函数的图象向左平移1个单位再向上平移1个单位后,所得函数的图像应为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】函数的图象向左平移个单位,对应图象的解析式就是把原函数的解析式中的自变量变为,再向上平移1个单位,只要把向左平移后的解析式加即可,求出解析式后,分析图象的形状,即可求得答案.
【解析】把函数的图象向左平移个单位,得到的函数解析式为,然后再向上平移个单位,
得到的函数解析式为
当,,可得函数图象过原点,
排除B,D
函数定义域为:
排除C
综上所述,只有A符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了函数的平移变换和由函数解析式求图象,解题关键是掌握平移变换基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
5．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.
【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.
故选：B.
6．如图，函数的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由条件求得f（3）＝1，1，从而求得f[]＝f（1）的值．
【解析】由题意可得f（3）＝1，∴1，∴f[]＝f（1）＝2，
故选B．
【点睛】本题主要考查求函数的值，考查了函数图像的应用，属于基础题．
7．已知函数和的定义域为，其对应关系如下表，则的值域为（ ）
x 2 3 4 5
4 2 5 2
4 3 2 4
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数定义直接计算可得．
【解析】，，，，
所以所求值域是．
故选：B．
8．已知二次函数满足，则（ ）
A．1 B．7 C．8 D．16
【答案】B
【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.
【解析】设，
因为，
所以，
化简可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
9．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取点代入排除得到答案
【解析】当时， ，故排除BD
再代入 ， ，排除A
故选：C
10．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A． B．± C．0或1 D．
【答案】A
【分析】根据函数值为2，分类讨论即可.
【解析】若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.
故选：A.
11．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解.
【解析】解：由题意，当时，，
又函数的值域是，
当时，有解，此时，所以，所以，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，
①若，则，所以，此时，符合题意；
②若，则，所以，要使，
只须，即；
综上，.
故选：B.
12．设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是（ ）
A．fp[f（0）]＝f[fp（0）] B．fp[f（1）]＝f[fp（1）]
C．fp[fp（2）]＝f[f（2）] D．fp[fp（3）]＝f[f（3）]
【答案】B
【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可
【解析】因为，
所以，
所以对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D正确，
故选：B
二、多选题
13．已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
【答案】AD
【分析】根据图像分析各选项即可.
【解析】选项A：由图像可得，所以，A正确；
选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出的确定值，B错误；
选项C：由图像可得函数的定义域为，C错误；
选项D：由图像可得函数的值域为，D正确.
故选：AD.
14．已知函数用列表法表示如表，若，则可取（ ）
1 2 3 4 5
2 3 4 2 3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BCD
【分析】根据，结合列表中的数据求解判断.
【解析】当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
故选：BCD
15．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．
C．若，则
D．的解集为
【答案】BD
【分析】根据分段函数的性质直接判断.
【解析】函数，在上单调递增，在上单调递减，故函数在时取最大值为，A选项错误；
，B选项正确；
当时，，解得，当时，，解得，C选项错误；
当时，，解得，当时，，解得，D选项正确；
故选：BD.
16．若函数，则（ ）
A．对任意x∈R，都有f（-x）=f(x)
B．对任意x∈R，都有f[f(x)]=1
C．对任意x1∈R，都存在x2∈Q有
D．对于给定非零常数a，对任意x∈R，都有f（x+a）=f(x)
【答案】ABC
【分析】根据题意，分别对和进行讨论，一一判断即可.
【解析】对于选项A，当时，，则，
当时，，则，
综上可知，对任意，都有，故A正确；
对于选项B，当时，，则，
当时，，则，
综上可知，对任意，都有，故B正确；
对于选项C，当时，因为，所以，因此，
当时，若，且，则，此时，
综上可知，对任意，都存在有，故C正确；
对于选项D，当，时，，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
17．函数的定义域是________.
【答案】[0，＋∞)
【分析】分段函数的定义域为每段函数的定义域的并集
【解析】解：因为
所以定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).
故答案为：[0，＋∞)
【点睛】此题考查求分段函数的定义域，分段函数的定义域为每段函数的定义域的并集，属于基础题.
18．设，，则__________﹒
【答案】x，x＞1
【分析】求f(x)·g(x)的定义域，然后化简f(x)·g(x)即可﹒
【解析】定义域为(1，＋∞)，，
∴x，x＞1．
故答案为：x，x＞1．
19．为了提升生活质量，保护环境，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，定义为“绝对斜率”，用“绝对斜率”的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
②从时刻往后，乙企业的污水排放量比甲企业的污水排放量小；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都未达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是_______________________________.
【答案】④
【解析】由两个企业污水排放量与时间的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．
【解析】设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为．
对于①，在这段时间内，甲企业的污水治理能力为，乙企业的污水治理能力为．由图可知，，，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①错误；
对于②，由图可知，在时刻后，甲企业的污水排放量小于乙企业，故②不正确；
对于③，在时刻后，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
在时刻后，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③不正确；
对于④，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强，故④正确．
正确结论的序号是④．
故答案为：④
【点睛】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题．
20．若函数的最大值为，最小值为，则______.
【答案】0
【解析】根据绝对值的性质，对x讨论，即可求出函数的解析式，作出图像，结合图像求出函数的最值即可.
【解析】，作出图像，如图所示：
由图可知，即，，则
故答案为：0
四、解答题
21．探索并回答下列问题：
(1)把的图象向右平移1个单位长度，求所得图象的函数解析式；
(2)把的图象向左平移2个单位长度，求所得图象的函数解析式；
(3)把的图象向上平移1个单位长度，求所得图象的函数解析式；
(4)把的图象向下平移2个单位长度，求所得图象的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据函数的平移变换规则计算可得；
(1)
解：把的图象向右平移1个单位长度得到；
(2)
解：把的图象向左平移2个单位长度得到；
(3)
解：把的图象向上平移1个单位长度得到；
(4)
解：把的图象向下平移2个单位长度得到；
22．已知，求的解析式．
【答案】
【分析】设，则，代入解析式即可求解.
【解析】设，则,
所以，
所以的解析式为
23．已知函数y＝f(x)满足，求函数y＝f(x)的解析式．
【答案】
【分析】利用配凑法求得的解析式.
【解析】，其中，
所以.
24．（1）已知反比例函数满足，求的解析式；
（2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式；
（3）已知，求的解析式．
【答案】（1）（） ；（2）；（3）（） .
【分析】（1）设（），代入已知求出参数值，得结论；
（2）设（）．代入已知求出参数值可得；
（3）设，用求出后代入已知式可得．
【解析】（1）设（），
则，解得，
所以（）．
（2）设（）．
因为，所以．
又，
所以，
即．
由恒等式的性质，知，解得，
所以．
（3）令，则，且，
所以，
即（）．
25．经市场调查，某商品在过去的100天内的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间（单位：天）的函数，且日销售量近似地满足价格为.求该种商品的日销售额（单位：元）与时间的函数关系.
【答案】
【分析】由题意可得，然后分和两种情况求解即可
【解析】由题意知，当，时，，
当，时，，
所以所求函数关系为
26．已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
【答案】(1)
(2)或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据解析式直接求解可得；
（2）根据a的范围分段解方程可得；
（3）根据解析式直接描点作图即可.
（1）
∵函数的解析式，
∴，.
（2）
∵，，
∴或或，
解得或.
（3）
画出函数的图象如图所示：
由图可知，的最大值为，函数的值域为.
27．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，
（2）利用换元法或配凑法求解，
（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，
（4）利用方程组法求解，用－x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.
【解析】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，
解得．
28．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求函数的解析式；
（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】（1）直接用换元法即可求得解析式.
（2）直接用待定系数法即可求得解析式.
（3）直接用构造方程组法即可求得解析式.
（4）直接用赋值法即可求得解析式.
【解析】（1）方法一 设，则，，即，所以，所以（）.
方法二 因为，所以．
（2）因为是二次函数，所以设．由，
得．
由，得，整理得，所以，所以
所以．
（3）因为，①
所以，②
，得，
所以．
（4）方法一 令，则，所以．
方法二 令，则，即，令，则．
29．在①，②，③中，挑选一个补充到下面题目的空格处，并作答.（若挑选两个，则只对挑出的前一个评分）
已知一次函数满足，且_________（其中）.
(1)求的函数关系式；
(2)解不等式（其中）.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设，表示出，根据所选条件得到方程组，求出、、，即可求出函数解析；
（2）当时，不等式可化为，再对与分类讨论，求出不等式的解集；
当时，原不等式即为，再对分类讨论，即可求出不等式的解集；
（1）
解：设，则，又
若选①，则，解得或，所以或
若选②，则，解得，所以；
若选③，则，解得，所以；
（2）
解：若选①，当，则，则即，即，即
当，即时，原不等式即，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上可得当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当，则，所以，即，即，当，即或时不等式的解集为；
当，即时，方程的两根为，，所以原不等式的解集为；
若选②，，则，则即，即，即
当，即时，原不等式即，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上可得当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
若选③，，则，则即，即，即
当，即时，原不等式即，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上可得当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；3.1.2 函数的表示法
一、单选题
1．如果是的函数，，，其中，则与的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．的定义域为
C．的值域为 D．若，则或2
4．把函数的图象向左平移1个单位再向上平移1个单位后,所得函数的图像应为( )
A．B．C． D．
5．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，函数的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数和的定义域为，其对应关系如下表，则的值域为（ ）
x 2 3 4 5
4 2 5 2
4 3 2 4
A． B． C． D．
8．已知二次函数满足，则（ ）
A．1 B．7 C．8 D．16
9．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A． B．± C．0或1 D．
11．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是（ ）
A．fp[f（0）]＝f[fp（0）] B．fp[f（1）]＝f[fp（1）]
C．fp[fp（2）]＝f[f（2）] D．fp[fp（3）]＝f[f（3）]
二、多选题
13．已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
14．已知函数用列表法表示如表，若，则可取（ ）
1 2 3 4 5
2 3 4 2 3
A．2 B．3 C．4 D．5
15．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．
C．若，则
D．的解集为
16．若函数，则（ ）
A．对任意x∈R，都有f（-x）=f(x)
B．对任意x∈R，都有f[f(x)]=1
C．对任意x1∈R，都存在x2∈Q有
D．对于给定非零常数a，对任意x∈R，都有f（x+a）=f(x)
三、填空题
17．函数的定义域是________.
18．设，，则__________﹒
19．为了提升生活质量，保护环境，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，定义为“绝对斜率”，用“绝对斜率”的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
②从时刻往后，乙企业的污水排放量比甲企业的污水排放量小；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都未达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是_______________________________.
20．若函数的最大值为，最小值为，则______.
四、解答题
21．探索并回答下列问题：
(1)把的图象向右平移1个单位长度，求所得图象的函数解析式；
(2)把的图象向左平移2个单位长度，求所得图象的函数解析式；
(3)把的图象向上平移1个单位长度，求所得图象的函数解析式；
(4)把的图象向下平移2个单位长度，求所得图象的函数解析式．
22．已知，求的解析式．
23．已知函数y＝f(x)满足，求函数y＝f(x)的解析式．
24．（1）已知反比例函数满足，求的解析式；
（2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式；
（3）已知，求的解析式．
25．经市场调查，某商品在过去的100天内的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间（单位：天）的函数，且日销售量近似地满足价格为.求该种商品的日销售额（单位：元）与时间的函数关系.
26．已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
27．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
28．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求函数的解析式；
（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
29．在①，②，③中，挑选一个补充到下面题目的空格处，并作答.（若挑选两个，则只对挑出的前一个评分）
已知一次函数满足，且_________（其中）.
(1)求的函数关系式；
(2)解不等式（其中）.
