苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2 直线与圆的位置关系【同步精讲教案】(解析版)

第2章 圆与方程
第02讲 直线与圆的位置关系
课程标准 重难点
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 1.根据直线与圆的位置关系，弦长，半径，圆心到直线的距离三者中根据两个确定第三个
知识点一　直线与圆的位置关系
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
3.【疑难解读】
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较
简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
考法01 直线的倾斜角
已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系．
【跟踪训练】
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (　　)
A．相交　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
2．已知点(a，b)在圆Cx2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　)
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
【方法总结】
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　
1.知识体系
题组A 基础过关练
1．圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A， B两点，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
3．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
4．直线与圆交于、两点，则（ ）
A．2 B． C．6 D．
5．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线被圆截得的弦长为，则可能的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．直线与圆交于A、B两点，则____________
8．已知直线与圆相交于两点，且圆心到直线的距离为，则圆的半径为___________.
题组B 能力提升练
1．一条直线经过点，且与：相交所得弦长为，则此直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
2．设是过点且斜率为的直线，其中等可能地从中取值，则直线与圆相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，直线与圆交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________.
5．已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．
6．过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是___________.
7．已知圆：.
（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.
8．已知圆的方程为：，．
（1）试求的值，使圆的面积最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程．
题组C 培优拔尖练
1．若实数满足，则最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
2．已知A、B是圆O：上两个动点，点P的坐标为，若，则线段长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为
4．如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点.如果直线与这两段弧只有两个交点，则m的取值可能是（ ）
A． B．0 C． D．2
5．已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，，使得，则点的坐标是__________．
6．已知圆：，点是直线：上的动点，若点，，直线，与圆的另一个交点分别为，.
（1）若点，求直线的方程；
（2）求证：直线与轴交于一个定点，并求定点坐标.
第2章 圆与方程
第02讲 直线与圆的位置关系答案
课程标准 重难点
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 1.根据直线与圆的位置关系，弦长，半径，圆心到直线的距离三者中根据两个确定第三个
知识点一　直线与圆的位置关系
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
3.【疑难解读】
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较
简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
考法01 直线的倾斜角
已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系．
【解析】(法一：代数法)
由方程组
消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0，
∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交．
(法二：几何法)
圆心(7,1)到直线l的距离为d＝＝2.
∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交．
【跟踪训练】
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (　　)
A．相交　　　　　　　　　 B．相离
C．相交或相切 D．相切
【答案】C
【解析】直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
2．已知点(a，b)在圆Cx2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　)
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
【答案】C
【解析】由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交.
【方法总结】
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　
1.知识体系
题组A 基础过关练
1．圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，故选：B．
2．已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A， B两点，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
【解析】圆O∶x2+y2=9圆心为原点，半径为3，
圆心在直线y=x上，
所以A， B两点的距离等于直径的长，
即，故选：A.
3．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
【答案】D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设圆的方程为：，代入，则有，
故圆的方程为：，
令，则，故，
故选：D.
4．直线与圆交于、两点，则（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】圆的标准方程为：，故，且圆的半径为，
圆心到直线的距离为，故，故选：B.
5．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为圆的圆心为，半径为；
对于A，圆心到直线的距离，正确；
对于B，圆心到直线的距离，不正确；
对于C，圆心到直线的距离，正确；
对于D，圆心到直线的距离，正确；
故选：ACD.
6．若直线被圆截得的弦长为，则可能的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】AD
【解析】因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或.故选：AD.
7．直线与圆交于A、B两点，则____________
【答案】
【解析】圆的圆心为原点，半径为2.
由题得圆心到直线的距离为，
所以.故答案为：
8．已知直线与圆相交于两点，且圆心到直线的距离为，则圆的半径为___________.
【答案】3
【解析】如图，取弦AB的中点D，连接CD，则有CD⊥AB，CD=2，
在中，，
所以圆的半径为3.故答案为：3
题组B 能力提升练
1．一条直线经过点，且与：相交所得弦长为，则此直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】化圆为标准方程，
可得圆心坐标为，半径为2．
所求直线与圆相交所得弦长为，半径为2，
弦心距为．
当直线斜率不存在时，直线方程为，显然适合题意
当直线的斜率存在时，设直线方程为．
即．
弦心距，解得．
即直线方程为：
综上：所求直线方程为或．故选：D．
2．设是过点且斜率为的直线，其中等可能地从中取值，则直线与圆相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线：，即，由题意得，
所以，解得.
当，2时满足条件，所以所求的概率.故选：B
3．已知圆，直线与圆交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆可得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，故选：B.
4．若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________.
【答案】或
【解析】当直线l不存在斜率时，直线l过点，所以直线l的方程为：，
把代入圆的方程中，得，因为，所以符合题意；
当直线l存在斜率时，设为，因为直线l过点，
所以直线l的方程为：，
因为的半径为5，直线l被圆所截得的弦长是8，
所以圆心到直线l 的距离为：，
即，所以，
故答案为：或
5．已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．
【答案】3
【解析】根据圆的方程，圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的最大距离，
此时最大面积．
故答案为：．
6．过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是___________.
【答案】
【解析】由可得，所以圆心为，
由圆的性质可知圆的所有弦中直径最长，
所以所求直线过点且过圆心，
所求直线的斜率为，
根据斜截式方程可得：，即，
故答案为：.
7．已知圆：.
（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.
【解析】（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.
设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，
①当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.
所以切线方程为.
②当时，切线方程为，即.
由点到直线的距离公式，得，.
所以切线方程为，.
综上，所求切线方程为，，.
（2）由圆的切线性质可知：，
∵，∴.
即.
整理得.
∴.
当时，最小，此时，
∴.
8．已知圆的方程为：，．
（1）试求的值，使圆的面积最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程．
【解析】（1）因为，
所以圆的标准方程为．
由于圆的面积最小即圆的半径最小，所以最小，
因此当时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．
（2）当时，圆的方程为．
当切线斜率存在时设所求直线方程为，
即．
由直线与圆相切，所以，解得．
所以切线方程为，即；
又过点，且与轴垂直的直线，也与圆相切；
所以所求直线方程为及．
题组C 培优拔尖练
1．若实数满足，则最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【解析】当时，解得，符合题意；
当时，令，则，又，则，即，
则原方程可化为，
设，，，
则表示斜率为的直线，表示以原点为圆心，半径为的四分之一圆，
则问题等价于和有公共点，观察图形可知，
当直线与圆相切时，由，解得，
当直线过点时，，解得，
因此，要使直线与圆有公共点，，
综上，，故的最大值为20.故选：C.
2．已知A、B是圆O：上两个动点，点P的坐标为，若，则线段长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
取的中点Q，连、，
由圆的性质可知，
由可知：，
设点Q的坐标为，
在中，，
即 ，整理为，
可化为，
故Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
的最大值为，
故．
故选：D.
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为
【答案】ABD
【解析】由题意可设点，由，，，得，化简得，即，所以选项A正确；
对于选项B，曲线C的方程表示圆心为，半径为的圆，点与圆心的距离为，与圆上的点的距离的最小值为，最大值为，而，所以选项B正确；
对于选项C，设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，所以选项C错误；
对于选项D，的圆心到直线的距离为，且曲线的半径为，则上的点到直线的最小距离故选项D正确；故选：ABD．
4．如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点.如果直线与这两段弧只有两个交点，则m的取值可能是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】ABD
【解析】将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点，
如下图所示，
当直线过时，，
当直线过时，，
当直线与圆弧相切时，，
当直线与⊙O弧相切时，，
当或时，
直线与两段弧有两个交点.
对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选:ABD
5．已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点，，使得，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】过点P作的切线，，设切点分别为，则时圆上存在两点，，使得.当时，四边形为正方形，此时，分析易得时，，所以点P的轨迹方程为，又点在直线上，所以联立，解得.
故答案为：.
6．已知圆：，点是直线：上的动点，若点，，直线，与圆的另一个交点分别为，.
（1）若点，求直线的方程；
（2）求证：直线与轴交于一个定点，并求定点坐标.
【解析】（1）直线方程为，由解得，
直线的方程，由解得，
所以，
所以直线的方程为，即.
（2）证明：设，则直线的方程为，直线的方程为.
由得，同理.
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
所以直线过定点.
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
课堂小结
弦长问题
直线
与圆
的位
置关
系
位置关系
相交
相切
相离
距离问题
圆上点与直线
分层提分
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
课堂小结
弦长问题
直线
与圆
的位
置关
系
位置关系
相交
相切
相离
距离问题
圆上点与直线
分层提分
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