苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2 直线与圆的位置关系【同步教案】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2 直线与圆的位置关系【同步教案】(解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 926.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:13:18 | ||
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文档简介
1.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
3.求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4.直线与圆相交时的弦长求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝
例题1
已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（ ）
A．2 B．0 C．4 D．1
例题2
已知圆和直线，则（ ）
A．圆与直线相交 B．圆与直线相离
C．圆上的点与直线的最大距离为 D．圆上的点与直线的最大距离为
训练1
已知直线，其中为常数且．有以下结论：
①直线的倾斜角为；
②无论为何值，直线总与一定圆相切；
③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若是直线上的任意一点，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
训练2
已知，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交或相切 D．相交
例题1
若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例题2
已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
训练1
已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
训练2
不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
3．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可以是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．（多选题）点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．已知圆C：.
（1）求过点且与圆C相切的直线方程；
（2）若圆C上的任意一点，求的最大值.
7．已知圆,直线.
（1）求证：直线过定点,且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程.
1.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
3.求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4.直线与圆相交时的弦长求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝
例题1
已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（ ）
A．2 B．0 C．4 D．1
【答案】D
【分析】
作函数的图象，再作该图关于原点对称，判断与函数的图象有几个交点，即可判断“望点”的对数．
【详解】
如图：
令，得，它表示圆心在，
半径为1的半圆（轴非下方），作出这个半圆及其关于原点成中心对称的半圆，
则轴右侧半圆圆心坐标为，半径为1．
点到直线即的距离，
故该直线与半圆相切，公共点只有一个，
所以函数与“望点”的对数为1．
故选：D
例题2
已知圆和直线，则（ ）
A．圆与直线相交 B．圆与直线相离
C．圆上的点与直线的最大距离为 D．圆上的点与直线的最大距离为
【答案】D
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可判断AB选项的正误，利用圆上的点到直线的最大距离为可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以，圆与直线相切.
圆上的点到直线的最大距离为，ABC选项错误，D选项正确.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：
（1）代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.
①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；
②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；
③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；
（2）几何法：计算圆心到直线的距离，并比较与圆的半径的大小关系.
①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；
②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；
③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.
训练1
已知直线，其中为常数且．有以下结论：
①直线的倾斜角为；
②无论为何值，直线总与一定圆相切；
③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若是直线上的任意一点，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.
【详解】
对于①，直线的倾斜角的取值范围为，与角a的不同，故①错误；
对于②，点到直线的距离为，则无论为何值，直线总与相切，故②正确；
对于③，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，，则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故③正确；
对于④，由②知直线总与相切，则直线l上的点到原点的距离大于等于1，即，故④正确；
综上所述，②③④共3个正确；
故选：C
训练2
已知，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交或相切 D．相交
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系.
【详解】
由题意，该圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
故选：D．
【点睛】
结论点睛：几何法判断直线与圆的位置关系：
（1）当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离；
（2）当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
（3）当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交.
例题1
若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
设圆心到直线的距离为，进而根据弦长得与关系解得，进而将问题转化为与直线的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
例题2
已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离等于，即可求解.
【详解】
由可得：，
所以圆心，半径，
由为等腰直角三角形知，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
故选：D.
训练1
已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.
【详解】
圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
训练2
不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由曲线方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得的值，从而得到直线方程，进而得到与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.
【详解】
曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；
圆心到直线的距离，，
解得：或，又不经过坐标原点，，即，
与坐标轴的交点坐标为，，
直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，
所求外接圆方程为，即.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
一、单选题
1．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意当与垂直时，的值最小，进而可得，再根据圆与圆外切可得，根据圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. 的值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，
由勾股定理得，又，解得，
圆的圆心为，半径为，
∵圆与圆外切，∴，∴，
∵圆与直线相切，∴，解得，
故选:B
2．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【分析】
由圆C的标准方程可得圆心为，半径为1，由于四边形PACB面积等于，，故求解最小值即可，又最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形PACB面积的最小值.
【详解】
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为，半径为r＝1，
圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离
所以圆C与直线l相离.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为
要使四边形PACB的面积最小，则只需最小.
又最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离．
所以四边形PACB面积的最小值为．
故选：C．
【点睛】考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查圆心与直线上点的距离的最值，解答本题的关键是将四边形PACB面积化为，即解最小值，转化为圆心到直线的距离.
3．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，令，，应用数形结合的方法，判断有两个不同的交点时，求的范围即可.
【详解】
由题设，令，，即有两个不同的交点，
∵是过定点的直线，是圆心为，半径为2的圆的上半部分，
∴它们的图象如下：
当过时，有两个交点，此时.
当与相切时，即到的距离，解得.
∴由图知：当时，有两个交点.
故选：D
4．（多选题）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可以是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】AB
【分析】
根据直线与圆相切，求出的值，再求出到直线的距离，判断直线与圆的位置关系.
【详解】
由题意得，圆半径为，
得，
解得，
直线的方程为，
，圆半径为，
当时，圆到直线的距离为，相切，
当时，圆到直线的距离为，相交，
故选：AB.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
5．（多选题）点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
首先根据公式先求，再根据数形结合求，再比较选项.
【详解】
是圆的切线，是切点，连结，
所以，当最小时，取最小值，
由图可知，原点到直线的距离是的最小值，此时，
，所以切线长.
故选：AD
【点睛】考查切线长的的最小值.
二、解答题
6．已知圆C：.
（1）求过点且与圆C相切的直线方程；
（2）若圆C上的任意一点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）在圆上，直接求得切线方程；
（2）设，两方程联解利用得解
【详解】
（1）∵在圆上，显然直线斜率存在，设斜率为，则切线方程为
解得
∴过A点的切线方程为：
（2）设，则.
由，得：
∴，整理得：，
∴t的最大值为，即的最大值为.
【点睛】求过圆上的一点的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为；若，则结合图形可直接写出切线方程为；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程．
7．已知圆,直线.
（1）求证：直线过定点,且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）将代入直线方程，成立，故在直线上.圆心为半径为，计算圆心到点的距离小于半径，所以直线和圆相交；（2）由于在圆内，所以最短的弦长是垂直与点的弦长.根据斜率可计算得该直线的斜率，从而求得直线方程.
试题解析：
（1）证明：将点代入直线的方程，得左边右边，所以直线过定点；又，所以点在圆内，所以对任意的实数，直线与圆恒相交.
（2）由平面几何的知识可得，被圆截得最短的弦是与直径 垂直的弦，因为,所以直线的斜率为,所以直线的方程为, 即为直线被圆截得的弦长最短时的方程.
考点：直线与圆的位置关系.
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位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
3.求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4.直线与圆相交时的弦长求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝
例题1
已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（ ）
A．2 B．0 C．4 D．1
例题2
已知圆和直线，则（ ）
A．圆与直线相交 B．圆与直线相离
C．圆上的点与直线的最大距离为 D．圆上的点与直线的最大距离为
训练1
已知直线，其中为常数且．有以下结论：
①直线的倾斜角为；
②无论为何值，直线总与一定圆相切；
③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若是直线上的任意一点，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
训练2
已知，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交或相切 D．相交
例题1
若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例题2
已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
训练1
已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
训练2
不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
3．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可以是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．（多选题）点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．已知圆C：.
（1）求过点且与圆C相切的直线方程；
（2）若圆C上的任意一点，求的最大值.
7．已知圆,直线.
（1）求证：直线过定点,且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程.
1.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
3.求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4.直线与圆相交时的弦长求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝
例题1
已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（ ）
A．2 B．0 C．4 D．1
【答案】D
【分析】
作函数的图象，再作该图关于原点对称，判断与函数的图象有几个交点，即可判断“望点”的对数．
【详解】
如图：
令，得，它表示圆心在，
半径为1的半圆（轴非下方），作出这个半圆及其关于原点成中心对称的半圆，
则轴右侧半圆圆心坐标为，半径为1．
点到直线即的距离，
故该直线与半圆相切，公共点只有一个，
所以函数与“望点”的对数为1．
故选：D
例题2
已知圆和直线，则（ ）
A．圆与直线相交 B．圆与直线相离
C．圆上的点与直线的最大距离为 D．圆上的点与直线的最大距离为
【答案】D
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可判断AB选项的正误，利用圆上的点到直线的最大距离为可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以，圆与直线相切.
圆上的点到直线的最大距离为，ABC选项错误，D选项正确.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：
（1）代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.
①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；
②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；
③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；
（2）几何法：计算圆心到直线的距离，并比较与圆的半径的大小关系.
①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；
②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；
③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.
训练1
已知直线，其中为常数且．有以下结论：
①直线的倾斜角为；
②无论为何值，直线总与一定圆相切；
③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若是直线上的任意一点，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.
【详解】
对于①，直线的倾斜角的取值范围为，与角a的不同，故①错误；
对于②，点到直线的距离为，则无论为何值，直线总与相切，故②正确；
对于③，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，，则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故③正确；
对于④，由②知直线总与相切，则直线l上的点到原点的距离大于等于1，即，故④正确；
综上所述，②③④共3个正确；
故选：C
训练2
已知，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交或相切 D．相交
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系.
【详解】
由题意，该圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
故选：D．
【点睛】
结论点睛：几何法判断直线与圆的位置关系：
（1）当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离；
（2）当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
（3）当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交.
例题1
若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
设圆心到直线的距离为，进而根据弦长得与关系解得，进而将问题转化为与直线的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
例题2
已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离等于，即可求解.
【详解】
由可得：，
所以圆心，半径，
由为等腰直角三角形知，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
故选：D.
训练1
已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.
【详解】
圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
训练2
不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由曲线方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得的值，从而得到直线方程，进而得到与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.
【详解】
曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；
圆心到直线的距离，，
解得：或，又不经过坐标原点，，即，
与坐标轴的交点坐标为，，
直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，
所求外接圆方程为，即.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
一、单选题
1．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意当与垂直时，的值最小，进而可得，再根据圆与圆外切可得，根据圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. 的值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，
由勾股定理得，又，解得，
圆的圆心为，半径为，
∵圆与圆外切，∴，∴，
∵圆与直线相切，∴，解得，
故选:B
2．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【分析】
由圆C的标准方程可得圆心为，半径为1，由于四边形PACB面积等于，，故求解最小值即可，又最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形PACB面积的最小值.
【详解】
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为，半径为r＝1，
圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离
所以圆C与直线l相离.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为
要使四边形PACB的面积最小，则只需最小.
又最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离．
所以四边形PACB面积的最小值为．
故选：C．
【点睛】考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查圆心与直线上点的距离的最值，解答本题的关键是将四边形PACB面积化为，即解最小值，转化为圆心到直线的距离.
3．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，令，，应用数形结合的方法，判断有两个不同的交点时，求的范围即可.
【详解】
由题设，令，，即有两个不同的交点，
∵是过定点的直线，是圆心为，半径为2的圆的上半部分，
∴它们的图象如下：
当过时，有两个交点，此时.
当与相切时，即到的距离，解得.
∴由图知：当时，有两个交点.
故选：D
4．（多选题）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可以是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】AB
【分析】
根据直线与圆相切，求出的值，再求出到直线的距离，判断直线与圆的位置关系.
【详解】
由题意得，圆半径为，
得，
解得，
直线的方程为，
，圆半径为，
当时，圆到直线的距离为，相切，
当时，圆到直线的距离为，相交，
故选：AB.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
5．（多选题）点是直线上的动点，由点向圆：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
首先根据公式先求，再根据数形结合求，再比较选项.
【详解】
是圆的切线，是切点，连结，
所以，当最小时，取最小值，
由图可知，原点到直线的距离是的最小值，此时，
，所以切线长.
故选：AD
【点睛】考查切线长的的最小值.
二、解答题
6．已知圆C：.
（1）求过点且与圆C相切的直线方程；
（2）若圆C上的任意一点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）在圆上，直接求得切线方程；
（2）设，两方程联解利用得解
【详解】
（1）∵在圆上，显然直线斜率存在，设斜率为，则切线方程为
解得
∴过A点的切线方程为：
（2）设，则.
由，得：
∴，整理得：，
∴t的最大值为，即的最大值为.
【点睛】求过圆上的一点的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为；若，则结合图形可直接写出切线方程为；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程．
7．已知圆,直线.
（1）求证：直线过定点,且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）将代入直线方程，成立，故在直线上.圆心为半径为，计算圆心到点的距离小于半径，所以直线和圆相交；（2）由于在圆内，所以最短的弦长是垂直与点的弦长.根据斜率可计算得该直线的斜率，从而求得直线方程.
试题解析：
（1）证明：将点代入直线的方程，得左边右边，所以直线过定点；又，所以点在圆内，所以对任意的实数，直线与圆恒相交.
（2）由平面几何的知识可得，被圆截得最短的弦是与直径 垂直的弦，因为,所以直线的斜率为,所以直线的方程为, 即为直线被圆截得的弦长最短时的方程.
考点：直线与圆的位置关系.
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