苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2直线与圆的位置关系【同步作业】（含解析）

2.2直线与圆的位置关系
一、单选题
1．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
3．已知直线被圆：所截得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
4．过的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
6．已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为
A． B． C． D．
8．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
二、多选题
9．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
10．已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形PAMB周长的最小值为2+ B．的最大值为2
C．若P(1，0)，则三角形PAB的面积为 D．若Q(，0)，则的最大值为
三、填空题
11．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
12．若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为__________.
四、解答题
13．在2020年北京举办的国际自主智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地（如图），在边上距离点6米的处有一只电子狗，在距离点3米处放置一个机器人.电子狗的运动速度是机器人速度的两倍.如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么机器狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点.
（1）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域；
（2）若为矩形场地边上的一点，若电子狗在线段上都能逃脱，问：点应在何处？
14．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
15．已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标
（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
2.2直线与圆的位置关系答案
一、单选题
1．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由于直线与切线垂直，得求得切线斜率故可求切线方程.
【详解】
圆的圆心为，则直线的斜率，
故切线的斜率，所以切线方程为
化简得：
故选：A
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【分析】
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线，即，
由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
3．已知直线被圆：所截得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由于直线过定点，而，是弦长的一半，所以可知直线与垂直，从而由斜率的关系列方程可求出
【详解】
∵直线过定点，连接，则，
∴直线与垂直，，
∴，
故选：A.
4．过的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
按直线的斜率存在与不存在进行讨论，再借助圆的切线性质即可作答.
【详解】
当直线的斜率不存在时，而直线过，则直线方程为，圆的圆心(1，0)到直线的距离为1，
即直线是该圆的切线，此时方程为；
当直线斜率存在时，设为k，直线：，即，
由圆心(1，0)到直线的距离为1得，解得，此时直线方程为，即，
综上得直线的方程为或.
故选：C
5．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】
由直线与圆相切可构造方程求得；分别在和两种情况下，利用通过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系.
【详解】
由圆方程知其圆心，半径为，
直线与圆相切，，解得：，
由圆方程知其圆心，半径，
圆心到直线距离；
当时，，即，
此时圆与直线相交；
当时，，即，
此时圆与直线相交；
综上所述：圆与直线相交.
故选：A.
6．已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离等于，即可求解.
【详解】
由可得：，
所以圆心，半径，
由为等腰直角三角形知，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
故选：D.
7．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设AB的中点为M，由垂径定理可得直线OM与直线AB垂直，进而可得直线OM的方程为yx，据此可得M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得x、y的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，设AB的中点为M，
圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0），
直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，
则直线OM的方程为yx，
M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得：，则M的坐标为（，）；
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．
8．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【分析】
由圆C的标准方程可得圆心为，半径为1，由于四边形PACB面积等于，，故求解最小值即可，又最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形PACB面积的最小值.
【详解】
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为，半径为r＝1，
圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离
所以圆C与直线l相离.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为
要使四边形PACB的面积最小，则只需最小.
又最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离．
所以四边形PACB面积的最小值为．
故选：C．
【点睛】
关键点睛：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查圆心与直线上点的距离的最值，解答本题的关键是将四边形PACB面积化为，即解最小值，转化为圆心到直线的距离，属于中档题.
二、多选题
9．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
10．已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形PAMB周长的最小值为2+ B．的最大值为2
C．若P(1，0)，则三角形PAB的面积为 D．若Q(，0)，则的最大值为
【答案】CD
【分析】
对于选项A：设，写出，进而可得四边形周长为，即可的当最小时，四边形周长最小，故可判断A是否正确．
对于选项B，，即可得的取值范围，即可判断B是否正确．
对于选项C：因为，计算，，，，，即可得三角形的面积为，故可判断C是否正确，
对于选项D：设，写出，的方程并联立，得点的轨迹，即可判断D是否正确．
【详解】
对于选项A：设，
因为，
所以，，
则四边形周长为，
则当最小时，最小值为2，四边形周长最小为，故A错误，
对于选项B，
所以，
因为，所以，，故B错误，
对于选项C：因为，所以，，，，，
所以三角形的面积为，故C正确，
对于选项D：设，的方程为，
的方程为，与联立，
可得，
由得，
所以，
所以点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.
所以的最大值为.
则的最大值为，故D正确．
故选：CD
三、填空题
11．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
【答案】
【分析】
以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.
【详解】
以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：
,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.
12．若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
结合的图象和直线过定点，当直线与圆的下半部分相切和经过点时，可得答案.
【详解】
的图象如图所示，直线过定点，当直线与圆的下半部分相切时，解得或（舍去），
当直线经过点时，.数形结合可得.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是作出图象找出临界值，考查了数形结合思想、计算的能力.
四、解答题
13．在2020年北京举办的国际自主智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地（如图），在边上距离点6米的处有一只电子狗，在距离点3米处放置一个机器人.电子狗的运动速度是机器人速度的两倍.如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么机器狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点.
（1）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域；
（2）若为矩形场地边上的一点，若电子狗在线段上都能逃脱，问：点应在何处？
【答案】（1）以为圆心，2为半径的半圆及其内部；（2）点的横坐标取值范围是.
【分析】
（1）建立以点为坐标原点的直角坐标系，找到不等量关系即可.
（2）根据线段与（1）中圆相切可得，最后简单判断可得结果.
【详解】
建立以点为坐标原点，为轴，为轴的直角坐标系，
如图
，，
设机器人的速度为，则电子狗的速度为，电子狗失败的区域内任意点
可得，，
即，，
即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部；
（2）当线段与（1）中圆相切时，
，所以
若电子狗在线段上都能逃脱，点的横坐标取值范围是.
14．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；
（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．
【详解】
（1）设圆C的方程为
圆心C在射线上，所以
圆C与y轴相切，则
点到直线的距离 ，
由于截直线所得弦长为，所以
则得，又 所以(舍去)，
故圆C的方程为；
（2）由（1）得，因为，
所以在线段的中垂线上，则，
因为，所以 解得
15．已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标
（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）为定值.
【分析】
（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；
（3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值.
【详解】
（1）将直线方程整理为：，
令，解得：，直线恒过定点；
（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；
圆方程可整理为，则其圆心，半径，
直线与圆交于两点，圆心到直线距离，
即，解得：，即直线斜率的取值范围为；
（3）设，
当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，
则直线，可设直线方程为，
由得：，由（2）知：；
，，
，
为定值.
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