3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．下列四个函数在是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可
【解析】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．
故选：D
2．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质得解；
【解析】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，
故函数的单调递减区间为和；
故选：A
3．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．
【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
4．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数单调递减区间.
【解析】观察函数的图象，可知函数的单调递减区间为.
故选：B
5．若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．
【解析】解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.
若，则，故选项C不正确.
故选：C.
6．若是上的严格增函数，令，则是上的（ ）
A．严格增函数 B．严格减函数
C．先是严格减函数后是严格增函数 D．先是严格增函数后是严格减函数
【答案】A
【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.
【解析】解：因为是R上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，也是R上的严格增函数，
所以是R上的严格增函数.
故选：A.
7．若函数在上不单调，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要想在上不单调，则对称轴在内
【解析】的对称轴为，则要想在上不单调，则，解得：
故选：B
8．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质可知，，即可解出．
【解析】依题意可知，，所以，解得．
故选：B．
9．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.
【解析】由得或，即函数的定义域为，
又二次函数的图象的对称轴方程为，
所以函数（）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又函数为增函数，
所以的单调递减区间为．
故选：D
10．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
11．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.
【解析】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.
综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.
故选：A.
12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.
【解析】由题意，解得，
故选：B
二、多选题
13．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题设条件可得应为上的增函数，逐项判断后可得正确的选项.
【解析】因为，，都有，故应为上的减函数.
对于A，当 ，，则在上为增函数，故A错误.
对于B，在上为减函数，故B正确.
对于C，对称轴，故在上为增函数，故C错误.
对于D，在上为减函数，故D正确.
故选：BD．
14．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】AB
【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.
【解析】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；
当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．
故选AB．
【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.
15．（多选）已知函数，则（ ）
A．最小值为 B．在上是增函数
C．的最大值为1 D．无最大值
【答案】AC
【分析】分和两种情况，把函数转化为，利用对勾函数的性质和基本不等式求函数的最值与值域即可.
【解析】，
当时，；
当时，，此时在是减函数，在上是增函数，
所以，故A正确，B错误；
当时，，当且仅当时取等号，
所以，所以，此时，又时，，所以的值域为，故C正确，D错误.
故选：AC．
16．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BC
【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.
【解析】解：当时，，
所以当时，，
若，则，
所以此时，即存在最小值，
若，则当时，，无最小值，
若，则当时，为减函数，
则要使存在最小值时，
则，解得，
综上或.
故选：BC.
三、填空题
17．若函数，则、、之间的大小关系为______．
【答案】##
【分析】结合二次函数开口和对称轴，判断自变量与对称轴距离，进而判断大小.
【解析】因为，因为开口向上，所以最小，又，所以，所以.
故答案为：
18．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
【答案】94##214##2.25
【分析】依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.
【解析】解：∵函数，，实数，满足，
∴，可得，，，又，
∴，则，，
所以当时，，即，时，取得最大值.
故答案为：
19．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
【答案】
【分析】去绝对值将转化为分段函数，再根据单调性求解a的值即可.
【解析】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
20．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
四、解答题
21．指出下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）单调递减区间为，没有单调递增区间；（2）单调递减区间为和，没有单调递增区间；（3）单调递减区间为，单调递增区间为；（4）单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】（1）根据一次函数的单调性，由，可得出函数的单调区间；
（2）根据反比例函数的单调性可得出函数的单调区间；
（3）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间；
（4）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间.
【解析】解：（1）函数的定义域为，因为，所以在上单调递减，
所以单调递减区间为，没有单调递增区间；
（2）函数的定义域为，因反比例函数在和上单调递减，
所以单调递减区间为和，没有单调递增区间；
（3）因为函数的定义域为，它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（4）函数的定义域为，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
22．（1）在定义域上单调递减的函数，最大值是多少？
（2）若在上单调递减而在上单调递增，最小值是多少？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数的单调性进行求解即可.
【解析】（1）因为是定义域上单调递减的函数，
所以；
（2）因为在上单调递减而在上单调递增，
所以.
23．设a为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，求a的取值范围.
【答案】
【分析】直接根据函数的单调性可得，从而可得出答案.
【解析】解：因为函数在定义域上是减函数，且，
所以，解得，
所以a的取值范围.
24．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
【答案】证明见解析.
【分析】 x1，x2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得.
【解析】证明： x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
25．设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？
【答案】见解析
【分析】根据反例可判断两个结论的正误.
【解析】取 ，则在上是减函数，在上也是减函数，
但，，
因此不能断定在上是减函数.
若取，则在上是增函数，在上也是增函数，
但，，
因此不能断定在上是增函数.
26．已知函数f(x)=；
（1）在图中画出函数f(x)的大致图象.
（2）写出函数f(x)的单调递减区间.
【答案】（1）答案见解析；（2）[2，4].
【分析】（1）根据分段函数的解析式可画出图象；
（2）根据图象观察可得答案.
【解析】（1）函数f(x)的大致图象如图所示.
（2）由函数f(x)的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].
27．函数，的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：
甲说函数在定义域上是增函数；乙说函数在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数的增区间有两个，分别为和.请你判断他们的说法是否正确.
【答案】甲的说法是错误的；乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.
【分析】根据函数图象，应用数形结合的思想直接判断甲、乙、丙说法的正误.
【解析】甲的说法是不正确的，乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.
若取（如上图），则，与甲的说法矛盾，
故甲的说法是错误的；
由甲的说法的错误可知：乙的说法是正确的，这两个增区间分别是和，
∴丙的说法是正确的.
28．画出函数（）的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当时，比较与的大小；
（2）是否存在，使得？
【答案】（1）＜；（2）不存在.
【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解；
（2）根据函数的最小值判断得解.
【解析】（1）函数的图象如图所示，
当时，由于函数单调递增，所以＜；
（2）由图得当时，函数取到最小值，
所以不存在，使得.
29．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.
【分析】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则由f（0）＝1可求出，由f（x＋1）－f（x）＝2x可求出，从而可求出函数的解析式，
（2）将问题转化为x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，构造函数g（x）＝x2－3x＋1－m，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m的取值范围
【解析】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，
∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
30．已知函数
(1)当，证明函数在上单调递减；
(2)当时，，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用证明函数单调性的定义，由，，可证明函数在上单调递减.
(2)通过讨论参数，分别求出，，时的值即可.
（1）
证明：若，则
，
当时，，所以
所以，函数在上单调递减.
（2）
①当时，，不满足条件；
②当时，易知函数在定义域内单调递增，则满足：，
联立，即解得，不满足条件；
③当时，令，
所以，函数在上单调递减；
同理可证，函数在上单调递增，
所以，函数最小值应在处取得，
当时，函数在的最小值为，所以，解得，符合条件；
当时，函数在的最小值为，所以，解得，不符合条件；
当时，函数在的最小值为，所以，解得：，不符合条件；
综上，.
31．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）使用赋值法，先令求得，然后再令可证；
（2）先设，然后用代换中的，结合时，可证；
（3）先用赋值法求得，然后将不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.
（1）
令，得，解得
再令，则
所以
（2）
在上为增函数，证明如下：
设，则，
因为时，
所以
由（1）知
所以
所以在上为增函数.
（3）
因为，
所以，得，
又因为，
所以，
所以
由上可知，是定义在上为增函数
所以，原不等式，
解得，即原不等式的解集为.
32．已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．
(2)
【分析】（1）令，，将化为，由对勾函数的单调性可得的单调区间和值域（2）由题意可得的值域是的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范围
（1）
．
设，，则，．
由已知性质，得当，即时，
单调递减，所以的单调递减区间为；
当，即时，
单调递增，所以的单调递增区间为．
由，，，得的值域为．
（2）
因为在上单调递减，
所以．
由题意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以．3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．下列四个函数在是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）
A．， B．
C． D．
5．若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若是上的严格增函数，令，则是上的（ ）
A．严格增函数 B．严格减函数
C．先是严格减函数后是严格增函数 D．先是严格增函数后是严格减函数
7．若函数在上不单调，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（ ）
A． B． C． D．
14．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
15．（多选）已知函数，则（ ）
A．最小值为 B．在上是增函数
C．的最大值为1 D．无最大值
16．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．1
三、填空题
17．若函数，则、、之间的大小关系为______．
18．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
19．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
20．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
四、解答题
21．指出下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
22．（1）在定义域上单调递减的函数，最大值是多少？
（2）若在上单调递减而在上单调递增，最小值是多少？
23．设a为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，求a的取值范围.
24．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
25．设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？
26．已知函数f(x)=；
（1）在图中画出函数f(x)的大致图象.
（2）写出函数f(x)的单调递减区间.
27．函数，的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：
甲说函数在定义域上是增函数；乙说函数在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数的增区间有两个，分别为和.请你判断他们的说法是否正确.
28．画出函数（）的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当时，比较与的大小；
（2）是否存在，使得？
29．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
30．已知函数
(1)当，证明函数在上单调递减；
(2)当时，，求的值.
31．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
32．已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．
