4.2 指数函数
一、单选题
1．函数（且）的图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点．
【解析】解：∵（且），且
令得，则函数图象必过点，
故选：D．
2．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【解析】由题意可得，解得.
故选：C.
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，解不等式即可.
【解析】由题意得，
即，
解得，
故选：C．
4．已知函数，若，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据解析式可得，然后可得答案.
【解析】设，则，
从而，即，故．
因为，所以．
故选：B
5．设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
【答案】D
【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.
【解析】依题意，得，且，所以是偶函数．
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．
故选：D.
6．函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案．
【解析】∵函数f(x)＝ax(0＜a＜1)在区间[0，2]上为单调递减函数，
∴，
∵最大值比最小值大，
∴1﹣，
解得a
故选：A．
7．设函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论：①当时和②当时，由单调性解不等式即可.
【解析】①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为，所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
8．函数的图像（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性和值域排除即可．
【解析】由题可得函数的定义域为，
当，，函数单调递减，此时，排除AC；
当，，函数单调递增，此时，排除B.
故选：D．
9．若函数的值域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用换元思想转化为的值域问题，再利用二次函数的图象、指数不等式进行求解.
【解析】设，则，且，
由题意，得的值域为，
且在上单调递减，在上单调递增，
对于A：当时，，
显然，
即选项A错误；
对于B：当时，，
显然，
即选项B错误；
对于C：当时，，
显然，
即选项C错误；
对于D：当时，，
则由二次函数的性质，得：
当或，，
当时，，
即选项D正确.
故选：D.
10．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.
【解析】函数，
若在上为单调递增函数，
则，解得；
若在上为单调递减函数，
则，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：C
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.
【解析】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以f（x）在区间上单调递减，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以a的取值范围是，
故选：C
12．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在上的值域，再由不等式有或求a的范围，进而求出正整数n的范围.
【解析】由题设，，又，
联立可得：，，
又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，
所以，在上，
而在上递增，故，
若，则且n为正整数，只需即可.
若，则且n为正整数，不成立；
综上，正整数n的最小值为2.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围.
二、多选题
13．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.
【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以.当时，，
故选AD.
【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.
14．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．
【解析】是上的增函数，
时，成立，成立，BD一定成立；
与的大小关系不确定，A不一定成立；
同样与的大小关系也不确定，
如时，，C也不一定成立．
故选：BD．
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在R上是增函数 D．的值域是
【答案】ACD
【分析】根据奇函数、偶函数的定义、函数单调性的性质，结合题中定义逐一判断即可.
【解析】A选项：，
，∴，
∴为奇函数，故A正确；
B选项：∵∴，，
∵为奇函数，∴，∴，∴，故B错误；
C选项：，
∵，∴为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，故C正确；
D选项：∵，∴，∴，∴．
又∵，∴的值域为，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质进行判断是解题的关键.
16．已知函数（，），则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于轴对称
B．函数的图像关于中心对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数有最大值，且最大值为
【答案】AD
【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.
【解析】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误，
当时，，令，则，
当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误，
当时，当时，
由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，
当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确，
故选：AD
三、填空题
17．函数是上的偶函数，当时，，则________．
【答案】9
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【解析】是偶函数，所以.
故答案为：
18．定义在R上的偶函数，当时，，当时，___________．
【答案】##.
【分析】根据已知，利用函数奇偶性、解析式求解.
【解析】当时，，
因为当时，，
所以，
又因为是定义在R上的偶函数，
所以，
所以当时，.
故答案为：.
19．已知定义在区间上的奇函数满足，且当时，，则______.
【答案】
【分析】由题设知且是周期为4的奇函数，并求出上的解析式，再应用周期性、奇偶性求函数值.
【解析】由是在上的奇函数，
所以，即，则，可得，故，
由，即，则，
所以的周期为4，
综上，当时，且，则，
所以时，
由.
故答案为：
20．若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.
【解析】函数（，且）的图象是将函数（，且）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，
故函数（，且）的图象恒过点．当时，结合函数的图象：
若函数在区间上单调递减，则，解得．
当时，结合函数的图象：
若在区间上单调递减，则，无实数解．
综上，实数的取值范围为．
解法二：
若，则，所以在区间上单调递增，不符合题意；
当时，函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，
所以，解得．故实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，
(1)求函数的解析式
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，利用可求得在上的解析式，再由可得出函数的解析式；
（2）分、解方程，综合可得出的值.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又当时，，
设，则，所以，又是奇函数，所以，
即，所以，
综上可得；
（2）
解：因为，
又，显然，
所以或，
解得或.
22．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数的定义域求法直接计算；
（2）利用定义法判断函数的奇偶性；
（3）根据，可得，进而得证.
（1）
由，
则，解得，
所以函数的定义域为；
（2）
定义域关于原点对称，由，
得，
所以为奇函数；
（3）
当时，，则，
所以.
23．已知定义域为的R奇函数满足：当时，．
(1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）；
(2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围．
【答案】(1)，在上为增函数
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）根据奇函数的单调性，将问题转化为在区间上有解，求最值即可.
（1）
解：∵是定义域为R的奇函数，
∴，得
设，则，
∵在上递增，在上递增，
∴在上为增函数
（2）
∵，
∴，
∵是上的增函数，∴．
由于，∴
由于在上递增，∴
得
24．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式;
(2)若对，则，使得成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数定义求解析式，注意；（2）根据单调性求、在上的值域、，结合题意可得，根据子集关系分析计算．
(1)
，则
∴
当时，满足
∴
(2)
设在上的值域为，根据题意可知在上单调递增
∴，即
设在上的值域为，则
则根据题意可得，则，解得
∴m的取值范围为
25．已知函数，集合．
(1)当时，函数的最小值为，求实数的取值范围；
(2)若，当 时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）令，，结合二次函数的对称轴求解即可；
（2）选择条件后，根据的范围和对称轴求最大值即可.
(1)
由题知，
令，，当时，函数的最小值为，等价于时函数的最小值为.
易知二次函数的对称轴方程为且，故函数最小值为则要求，即.
(2)
选择①，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.
选择②，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.
选择③，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.
26．函数.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)解不等式.
【答案】(1)函数在上递增，证明见详解；
(2)为定义在上的奇函数，证明见详解；
(3)或．
【分析】（1）整理得，再用单调性定义证明；
（2）根据奇函数定义进行证明；
（3）利用奇函数得再结合单调性得．
（1）
任取，令
则
∵则，可得
∴即
∴函数在上递增．
（2）
的定义域为
∵即
∴为定义在上的奇函数．
（3）
即
∵函数在上递增
∴即或．
27．已知函数是定义在R上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)用单调性定义证明函数是R上的增函数；
(3)若函数满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)定义在R上的奇函数，f(0)＝0，由此即可求出m的值；
(2)设R，且，作差判断的大小即可判断单调性；
(3)根据f(x)的奇偶性和单调性求解该抽象不等式即可.
(1)
∵是定义在R上的奇函数，∴，得；
(2)
设R，且，则
∵，∴，因此，即是R上的增函数；
(3)
∵是奇函数，∴，
又f(x)在R上为增函数，∴，解得.
28．已知定义在R上的偶函数和奇函数，且
(1)求函数，的解析式；
(2)设函数，记，探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）由，根据函数的奇偶性，可得到另一等式，两式联立，求得答案;
（2）根据（1）推出为奇函数，从而可推得函数的图象关于点中心对称，得到成立，从而求得，进而将不等式化简，利用换元法，结合基本不等式即可求得答案.
(1)
∵，，
∵函数为偶函数，为奇函数，∴，
∴，．
(2)
由（1）可知：为奇函数，其函数图象关于中心对称．
∴函数的图象关于点中心对称，
即对任意的，成立．
∵，
∴，
两式相加，得
，即，
∴，∴，，
即，
∴，
令，，，
∴，
即，而， 当且仅当时取等号，
∴，而n是正整数,∴.4.2 指数函数
一、单选题
1．函数（且）的图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B．
C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则（ ）
A． B． C．3 D．5
5．设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
6．函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为( )
A． B． C． D．
7．设函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图像（ ）
A． B．
C． D．
9．若函数的值域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
13．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A． B． C． D．
14．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在R上是增函数 D．的值域是
16．已知函数（，），则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于轴对称
B．函数的图像关于中心对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数有最大值，且最大值为
三、填空题
17．函数是上的偶函数，当时，，则________．
18．定义在R上的偶函数，当时，，当时，___________．
19．已知定义在区间上的奇函数满足，且当时，，则______.
20．若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
四、解答题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，
(1)求函数的解析式
(2)若，求实数的值.
22．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)证明：当时，．
23．已知定义域为的R奇函数满足：当时，．
(1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）；
(2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围．
24．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式;
(2)若对，则，使得成立，求m的取值范围.
25．已知函数，集合．
(1)当时，函数的最小值为，求实数的取值范围；
(2)若，当 时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
26．函数.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)解不等式.
27．已知函数是定义在R上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)用单调性定义证明函数是R上的增函数；
(3)若函数满足，求实数的取值范围．
28．已知定义在R上的偶函数和奇函数，且
(1)求函数，的解析式；
(2)设函数，记，探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由．
