5.2-5.3三角函数的概念 诱导公式
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简可得结果.
【解析】.
故选：B.
2．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案.
【解析】因为是第三象限角，所以，，
所以，，则是第二或第四象限角，
又，即，所以是第四象限角.
故选：D．
3．已知角，角，终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式及三角函数的定义可求.
【解析】点到原点的距离为1，故即为，
由诱导公式得，，
故，
又，则，结合可得．
故选：A．
4．设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先做出三角函数线，根据三角函数线，比较大小.
【解析】分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图所示，
∵，，，
∴．
故选：B．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.
【解析】解：因为，所以.
故选：D
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题设条件和平方关系求出的值，从而可求的值.
【解析】因为，所以，
因为，所以，
整理得，解得或，
由，得，，所以，
所以，所以．
故选：B.
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可
【解析】因为，显然，故，
故选：A
8．已知角的终边经过点，若角与的终边关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对称性可知角的终边经过点，由此可得，代入可得结果.
【解析】角的终边经过点，角与的终边关于轴对称，
角的终边经过点，，，
.
故选：A.
9．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式将，，全部化简为的三角函数值，即可选出答案.
【解析】因为，，，
所以.
故选：C.
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案
【解析】解：因为，且，所以，
所以，
故选：A
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【解析】根据题意，
sin =sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），
cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），
b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，
则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，
则有c＞a＞b；故选B．
12．在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，将点的坐标化为，再由三角函数的定义，结合三角函数的奇偶性，即可求解.
【解析】因为，
所以，
因此，
所以.
故选:B.
二、多选题
13．下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】首先利用诱导公式转化角的范围，然后利用三角函数的单调性比较大小即可.
【解析】，故A正确；
因为，又，所以，故B错误；
因为，
又，
故，所以C错误；
因为，
，
又，所以，故D正确，
故选：AD
14．已知，那么下列命题正确的是（ ）
A．若角、是第一象限角，则
B．若角、是第二象限角，则
C．若角、是第三象限角，则
D．若角、是第四象限角，则
【答案】BCD
【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.
【解析】设角、的终边分别为射线、．
对于A，如图1，，
此时，，，所以，故A错误；
对于B，如图2，，
此时，，且，所以，故B正确；
对于C，如图3，，
此时，，且，所以，故C正确；
对于D，如图4，，，即，故D正确．
故选：BCD.
15．已知角，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由诱导公式判断．
【解析】因为，所以，，
，，．
BC错，AD正确．
故选：AD．
16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点（cos，sin），，则下列说法正确的是（ ）
A．线段与的长均为1 B．线段的长为1
C．若点，关于y轴对称，则 D．当时，点，关于x轴对称
【答案】ACD
【分析】AB选项，根据勾股定理进行求解；C选项，根据点，关于y轴对称，得到，，进而求出；D选项，代入后利用诱导公式进行求解，得到答案.
【解析】，同理可求，A正确；
由题意得：，由勾股定理得：，B错误；
若点，关于y轴对称，则，，则，，解得：，C正确；
当时，，即，即，关于x轴对称，D正确.
故选：ACD
三、填空题
17．已知角的终边经过点，则______．
【答案】##
【分析】根据三角函数的定义可得，弦切互化以及同角的平方关系即可求解.
【解析】由题意得，即，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：
18．已知是第四象限角，且，则___________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系可得，再由诱导公式化简目标式求值即可.
【解析】由题设，，
.
故答案为：
19．已知，求______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，利用诱导公式分别求出和即可得解.
【解析】，
，
所以.
故答案为：
20．已知函数，若（），则=________ ．
【答案】
【分析】构造并判断奇偶性，根据及的奇偶性即可求.
【解析】令，
则且定义域为，
所以为奇函数，且，
又，
所以，即，
所以．
故答案为：
四、解答题
21．求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可.
（1）
.
所以原式成立.
（2）
.
所以原式成立.
22．化简：．
【答案】
【分析】利用“1”的代换及配方法可化简三角函数关系式.
【解析】
．
23．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的值，在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切求解即可；
（2）在所求代数式上除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切求解即可.
(1)
解：由，得，原式.
(2)
解：原式.
24．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；
（1）
解：∵是第四象限角，∴，，所以、，
∴
．
即；
（2）
解：∵，∴，
∴．
25．已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求；
（2）由，再由诱导公式求得求的值．
（1）
解：.
因为，所以，
又角是第三象限角，所以，
所以.
（2）
解：因为，所以.
26．(1)已知是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知，且，求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)由已知方程求，利用同角关系将转化为由表示的式子，由此可求其值，(2)由条件结合平方关系求，，由此求结果.
【解析】(1)∵是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，
∴或（舍去），
∴.
(2)由题设，，解得，
∴.
27．设求的值.
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值，诱导公式与分段函数函数值的求法即可求解
【解析】
28．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析：
（1）利用诱导公式可化简；
（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；
（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．
试题解析：
（1）.
(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.
（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.
点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．
29．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.
（2）设函数具有“性质”，且当时，，求当时函数的解析式；若与交点个数为1001个，求的值.
【答案】（1），理由见解析（2），；.
【分析】（1）根据题意先检验是否成立即可检验是否具有“（a）性质（2）由题意可得，，据此递推关系可推断函数的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的，以及的解析式.
【解析】（1）由得，
根据诱导公式得．
具有“（a）性质”，其中．
（2）具有“性质”，
，，
，
从而得到是以2为周期的函数．
又，则，
．
再设，
当，则，则，
；
当，则，则
；
，；.
对于，，都有，而，
，
是周期为1的函数．
①当时，要使与有1001个交点，只要与在，有1000个交点，而在，有一个交点．
过，，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述
【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.5.2-5.3三角函数的概念 诱导公式
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知角，角，终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．5
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知角的终边经过点，若角与的终边关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
9．设，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
12．在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
二、多选题
13．下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知，那么下列命题正确的是（ ）
A．若角、是第一象限角，则
B．若角、是第二象限角，则
C．若角、是第三象限角，则
D．若角、是第四象限角，则
15．已知角，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点（cos，sin），，则下列说法正确的是（ ）
A．线段与的长均为1 B．线段的长为1
C．若点，关于y轴对称，则 D．当时，点，关于x轴对称
三、填空题
17．已知角的终边经过点，则______．
18．已知是第四象限角，且，则___________.
19．已知，求______.
20．已知函数，若（），则=________ ．
四、解答题
21．求证：
(1)；
(2).
22．化简：．
23．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
24．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
25．已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
26．(1)已知是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知，且，求的值.
27．设求的值.
28．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
29．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.
（2）设函数具有“性质”，且当时，，求当时函数的解析式；若与交点个数为1001个，求的值.
