5.4 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的性质计算可得.
【解析】解：对于函数，令，
解得，故函数的对称轴方程为，
令，可知函数的一条对称轴为.
故选：C
2．为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象（ ）
A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
【答案】C
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【解析】将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
即可得到函数的图象，
故选：C．
3．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在上是增函数，在上是减函数
B．在和上是增函数，在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数
D．在上是增函数，在和上是减函数
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性即可求解．
【解析】解：因为的单调递增区间为，，，单调递减区间为，，，
又，，
所以函数在，上是增函数，在，和，上是减函数，
故选：D.
4．给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【分析】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.
【解析】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．
对于③，的最小正周期．
对于④，的最小正周期．
故选：A．
5．函数的一个对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程即得解.
【解析】解：令，
令，
所以函数的一个对称中心的坐标是.
故选：D
6．已知函数，，的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的周期求出，再根据函数过点结合余弦函数的性质计算可得；
【解析】解：由图可知，所以，又，所以，
所以，又函数过点，
所以，解得，
因为，所以.
故选：C
7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可求得结果.
【解析】由，，解得，．
所以函数的单调递增区间是
故选：C．
8．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图像关于点成中心对称
C．在区间上单调递增
D．图像关于直线成轴对称
【答案】B
【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解析】解：函数，
当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；
函数的最小正周期为，所以A错误；
当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；
正切函数不是轴对称函数，所以D错误．
故选：B．
9．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则的值等于（ ）
A．1 B．
C．0 D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性将原式子化为，接着代入相应解析式即可求值.
【解析】是最小正周期为的函数，故得到：
.
故选：B
10．记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．
【解析】解：函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，则．
故选：D．
11．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称
C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为
【答案】D
【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．
【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，
所以，则，
所以，
整理得，
对于，，则不是函数的对称中心，故错误；
对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；
对于，令，，
解得，，，
显然不包含区间，故错误；
对于，，所以的最小正周期为，故正确．
故选：D．
12．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【解析】由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【解析】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：C
【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
二、多选题
13．已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．的表达式可改写为
D．若，则
【答案】BD
【分析】AB选项，代入检验即可，C选项，可利用诱导公式推导；D选项，求出函数的零点，从而求出两零点的差值.
【解析】当时，，，所以直线不是函数的对称轴，A错误；
当时，，所以，所以是函数的对称中心，B正确；
，C错误；
令，解得：，，即，，
所以两个零点的距离：，D正确.
故选：BD.
14．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点对称；
B．函数的图象关于直线对称；
C．函数在单调递减；
D．该图象向右平移个单位可得的图象.
【答案】CD
【分析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.
【解析】由函数的图象可得，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，
故函数.
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D错误.
故选：CD.
15．关于函数，以下说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期是
C．是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性的定义可判断A项，根据正弦型函数的周期可判断B项，根据正弦型函数的对称性可判断C项，整体代入求解正弦型函数的单调性可判断D项.
【解析】解：对于A，，故函数不是偶函数，故A错误；
对于B，令，则函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，函数图象的对称轴方程为，即，
当时，，故C正确；
对于D，当时，，故函数在区间上单调递减，则在区间上单调递增，故D正确；
故选：BCD.
16．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
【答案】BCD
【分析】对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围.
【解析】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；
当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；
当时， ，，故C选项不正确；
令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．
故选:BCD
三、填空题
17．函数的值域为______.
【答案】
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.
【解析】设，因为，可得，
因为正切函数在上的值域为，
即函数在的值域为.
故答案为：.
18．如果函数是奇函数，则的值为______.
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
【解析】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：.
19．已知当时，函数取得最大值，其中，，则______．
【答案】##
【分析】根据题意可得，，求出，然后利用诱导公式求解.
【解析】由题知当，，
即，，函数有最大值，
此时．
故答案为：
20．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为______．
【答案】.
【分析】由题意可得，，求出，然后由，得，再结合函数的最大值为2，可得，从而可求得结果.
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以，，
所以，得，
因为，所以，
所以，
由，得，
因为区间上的最大值为2，
所以的最大值为，
所以，得，
故答案为：.
四、解答题
21．求下列函数的周期：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果.
【解析】（1）∵
∴周期；
（2）∵，
∴周期；
（3）∵，
∴周期；
（4）∵，
∴周期.
22．已知函数．
(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是.
(2)函数为奇函数，理由见解析.
【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法求解函数单调区间及函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
(1)
，令，，即，，令，，即，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
令，，即，时，函数取得最大值；令，，即，时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是
(2)
函数定义域为R，且，故函数为奇函数.
23．已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【解析】（1）
五个关键点列表如下：
0
1 1 3 1
作图：
（2）
根据（1）中的图象，可得在上的解集为．
24．已知函数，其中，，其图像经过点.
(1)求的解析式；
(2)作出函数在内的简图，并指出函数在内的单调递减区间.
【答案】(1)；
(2)图像见解析，递减区间为.
【分析】（1）由图像所过的点有，结合参数范围及正弦函数性质求，即可得解析式；
（2）应用五点法画出函数图像，结合图像确定递减区间.
（1）
∵函数的图像经过点，
∴，，则，
∴.
（2）
按五个关键点列表：
x 0
-1 1 3 1 -1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，
由图像知：函数在内的单调递减区间为.
25．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)写出函数在上的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
（1）
由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
（2）
由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
26．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：
（1）函数的解析式；
（2）满足的x的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，根据它的图像过点求出，根据它的图像过点，求出的值即得解；
（2）利用正切函数的图象得到，化简即得解.
【解析】（1）由题意可得的周期为，所以，所以，
因为它的图像过点，所以，即，
所以，即.又，所以，于是.
又它的图像过点，所以，得.
所以.
（2）由（1）得，所以，即.
解得.
所以满足的x的取值范围是
27．已知函数在递增，在递减.
（1）求；
（2）函数的图象向右平移得函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）依题意，且为在第一象限内的第一个最高点，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，再根据函数平移求出的解析式，求出再区间上的值域，即可求出参数的取值范围；
【解析】（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，且为在第一象限内的第一个最高点，
，，．
（2）由（1）可知，将函数的图象向右平移，得到，
因为，所以，所以
若方程在上有实数根，即与有交点，所以
28．已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数，______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)，
【分析】(1)根据所选条件，列方程解得即可.
(2)先求函数的单调增区间，找出满足条件的即可.
（1）
选择条件①．
∵为奇函数，
∴，解得，．
∵，∴，∴；
选条件②．
，∴，
∴，或，，
∵，∴，∴
选条件③．
（1）∵是函数的一个零点，
∴，∴，．
∵，∴，∴.
（2）
由，，得，，
令，得，令，得，
∴函数在上的单调递增区间为，．
29．已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，求得，结合，即可求解；
（2）根据，求得，根据，求得，结合题意，得到，即可求解.
（1）
解：因为函数图象的一个对称中心为，
可得，解得，
又因为，解得，所以.
（2）
解：由，可得，
所以，即，
由，可得，所以，
所以，
因为对任意的，均有，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
30．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.
【解析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；
（2）若是函数的零点，则，解得
或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.
【解析】选择①②：
因为函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以，
选择①③：
若函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
所以，
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
若函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以
（2）若是函数的零点，则，
可得，
所以或
解得：或，
若是函数的零点，则，，
当时，，
当时，，
当时，
所以的值组成的集合为；
（3）当时，，
令，则，令，
则，，
因为，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以实数的范围是：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.5.4 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象（ ）
A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
3．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在上是增函数，在上是减函数
B．在和上是增函数，在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数
D．在上是增函数，在和上是减函数
4．给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
5．函数的一个对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图像关于点成中心对称
C．在区间上单调递增
D．图像关于直线成轴对称
9．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则的值等于（ ）
A．1 B．
C．0 D．
10．记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
11．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称
C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为
12．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
二、多选题
13．已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．的表达式可改写为
D．若，则
14．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点对称；
B．函数的图象关于直线对称；
C．函数在单调递减；
D．该图象向右平移个单位可得的图象.
15．关于函数，以下说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期是
C．是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增
16．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
三、填空题
17．函数的值域为______.
18．如果函数是奇函数，则的值为______.
19．已知当时，函数取得最大值，其中，，则______．
20．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为______．
四、解答题
21．求下列函数的周期：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．已知函数．
(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性．
23．已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
24．已知函数，其中，，其图像经过点.
(1)求的解析式；
(2)作出函数在内的简图，并指出函数在内的单调递减区间.
25．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)写出函数在上的单调递减区间.
26．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：
（1）函数的解析式；
（2）满足的x的取值范围.
27．已知函数在递增，在递减.
（1）求；
（2）函数的图象向右平移得函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围.
28．已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数，______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间．
29．已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.
30．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
