5.5三角恒等变换
一、单选题
1．化简，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逆用和角正弦公式化简三角函数式，即可求值.
【解析】.
故选：B
2．计算的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】逆用二角和的正弦或者余弦公式即可解出．
【解析】
.
故选：B．
3．下列等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两角和与差的正、余弦公式即可得答案.
【解析】解：根据两角和与差的正、余弦公式有：
；
；
；
；
故选：D.
4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
【答案】C
【分析】由两角差的正切公式即可求解.
【解析】解：tan(α－β)＝＝＝，
故选：C.
5．若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将原式分母看作1，由则可化为，结合同角函数关系及，即可求值.
【解析】，又，
∴原式.
故选：D
6．的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，再结合二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可得到答案.
【解析】
故选：B.
7．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
【解析】因为，
所以，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
8．已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由化简求出的值，而，从而可求得结果.
【解析】解：由得，即，
解得，
因为，
所以
故选：C
【点睛】此题考查两角和的正切、同角三角函数间的关系，属于基础题.
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用三角函数关系式的变化、同角三角函数关系的变换及辅助角公式求出结果.
【解析】由已知得：，，
两式相加，整理得：，
所以.
因为，所以，
所以，即，
代入题设条件，可得，
即
整理得：，
所以.
故选：B.
10．已知，且，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简可得，再利用两角差的正切公式展开化简，即可得出答案.
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∴.
故选：D.
二、多选题
11．下列各式中值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；
利用两角和的余弦公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D；
【解析】对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确；
对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确；
对于选项C：由两角和的余弦公式
；故选项C正确；
对于选项D：由两角差的正切公式可得：
故选项D正确.
故选：ACD
12．给出下列四个关系式，其中不正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据，，进行化简可得结果.
【解析】由，
两式相加可得，故B正确
两式相减可得，故D正确
由，
两式相减可得，故A,C错
故选：AC
【点睛】本题考核从两角和与差的正弦公式与余弦公式，重在对公式的考查与计算，属基础题.
13．(多选)下列各式与tan α相等的是（ ）
A． B．
C．() D．
【答案】CD
【分析】根据二倍角的余弦、正弦公式化简，再结合同角三角函数的基本关系即可逐项判断.
【解析】因为，故A错误；
因为，故B错误；
因为，所以原式＝，故C正确；
因为，故D正确.
故选：CD
14．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.
【解析】因为，
所以，又 ，
所以，，故A错误，B正确．
，
所以，
，
故C错误，D正确．
故选：BD.
15．已知，，，，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由已知条件两边平方相加，消去 得，可知A正确，B错误，再根据角的范围可得，所以C正确，D错误.从而可得答案.
【解析】由已知，得，.
两式分别平方相加，得，
，，A正确，B错误.
，，，，，
，C正确，D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了两角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函数值求角，属于基础题.
16．已知，，，且计算可知．下面结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据给定的条件，结合二倍角的正弦、余弦公式及诱导公式，逐项计算判断作答.
【解析】，，，，
，因此，A正确；
，，则，
因此，B正确；
，C正确；
显然，则，
而，则，即，因此，D不正确.
故选：ABC
三、填空题
17．______．
【答案】
【分析】利用两角差的正切公式化简求值即可.
【解析】解：
．
故答案为：.
18．已知，则________.
【答案】
【分析】根据二倍角的正切公式计算即可.
【解析】因为，
所以.
故答案为：
19．若是第三象限角，且，则___________.
【答案】
【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得.
【解析】，
由于是第三象限角，所以，
所以.
故答案为：
20．已知，，则___________.
【答案】5
【分析】由同角平方和关系可解得或，将代入检验即可得，由半角公式即可求解.
【解析】由，得，解得或.
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，
∴.
故答案为：5
21．若，且，则______．
【答案】
【分析】由题知，进而结合二倍角公式和正弦的和角公式化简求值即可.
【解析】解：因为，且，
所以，
所以
故答案为：
22．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．
【答案】##0.5
【分析】利用二倍角公式变形求出，根据三角恒等变换化简待求式为，即可代入求解.
【解析】因为，所以，
所以，
因为
所以，
即
故答案为：
四、解答题
23．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)0.
【分析】利用两角和余弦公式即可,
利用两角差余弦公式即可，
利用诱导公式即可.
(1)
原式=；
(2)
原式=；
(3)
原式=
24．证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式进行运算，然后结合平方关系即可得证；
（2）利用降幂公式结合诱导公式及两角和的余弦公式化简左边即可得证.
(1)
证明：左边
右边，
所以；
(2)
证明：左边
右边，
所以．
25．（1）设，为锐角，且，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据三角恒等式求出和，利用两角和的余弦公式求出，结合范围即可得结果；
（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出，，然后利用二倍角公式求出，的值，最后由两角差的正弦可得结果.
【解析】（1）∵为锐角，，且，∴．
∵为锐角，，且，∴，
∴，
∵，∴．
（2）因为，，
所以，即．
又，，解得：，，
所以，
，
所以
．
26．已知．
(1)求的值；
(2)已知，，，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知，利用二倍角余弦公式及商数关系可得，再应用万能公式即可求目标式的值.
（2）由题设得，结合判断的范围，利用差角正切公式求得，即可确定的值．
(1)
由题设，，则，
又.
(2)
由题设，，，则，故，
又且，则，则
而， 故.
27．设，求证：，，．
【答案】证明见解析
【分析】万能公式得证明，先用二倍角公式，再添加分母，分子分母同除以，弦化切即可证明.
【解析】由二倍角公式，得
，
．
再由同角三角函数间的关系，得
．
28．化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，
（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.
（1）
因为，所以，
所以原式
.
（2）
因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，所以.
所以原式.
29．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，．
【分析】（1）由“余弦方差”的定义，及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）由“余弦方差”的定义，及两角差的余弦公式化简可得．
（3）由“余弦方差”的定义，在由两角差的余弦公式及二倍角公式化简分子，可得即可求出、的值，即可得解．
【解析】解：（1）依题意：；
（2）由“余弦方差”定义得：，
则分子
为定值，与的取值无关．
（3）依题意，
所以分子
．
要使是一个与无关的定值，则，，
与终边关于轴对称或关于原点对称，又，
得与终边只能关于轴对称，，
又，，则当时，；当时，．
，或，．
故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值．5.5三角恒等变换
一、单选题
1．化简，得（ ）
A． B． C． D．
2．计算的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．下列等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
5．若，则=（ ）
A． B． C． D．
6．的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
8．已知，则=（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且，则值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列各式中值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
12．给出下列四个关系式，其中不正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
13．(多选)下列各式与tan α相等的是（ ）
A． B．
C．() D．
14．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，，，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
16．已知，，，且计算可知．下面结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．______．
18．已知，则________.
19．若是第三象限角，且，则___________.
20．已知，，则___________.
21．若，且，则______．
22．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．
四、解答题
23．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
24．证明：
(1)；
(2)．
25．（1）设，为锐角，且，，求的值；
（2）已知，，求的值．
26．已知．
(1)求的值；
(2)已知，，，求的值．
27．设，求证：，，．
28．化简：
(1)；
(2).
29．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
