5.7三角函数的应用
一、单选题
1．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由低潮时和高潮时的水深，列方程组可得的值，利用相邻两次高潮时间得出周期，求得，再由，求出，可得函数的解析式．
【解析】依题意，，解得，
又，
．
又（3），
，
．
，
．
故选：A
2．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（ ）（参考数据：）
A．时时 B．时时
C．时时 D．时时
【答案】C
【分析】由三角函数的性质求解
【解析】当时，，则在上单调递增.设花开 花谢的时间分别为.
由，得，解得时；
由，得，解得时.
故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.
故选：C
3．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（ ）
A．1461 B．1459 C．1430 D．1427
【答案】A
【分析】利用周期公式求出一个回归年对应的天数，即可得到四个回归年的天数
【解析】解：因为最小正周期，
所以一个回归年对应的天数约为365.248，则四个回归年对应的天数为，
故选：A
4．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数为标准值.设甲某的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），对于甲某而言，下列说法正确的是（ ）
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值 舒张压低于标准值 D．收缩压低于标准值 舒张压高于标准值
【答案】C
【解析】求得函数的最大值和最小值，结合收缩压和舒张压的标准值可得出结论.
【解析】，，.
所以，甲某血压的舒收缩压为，舒张压为.
因此，收缩压高于标准值 舒张压低于标准值.
故选：C.
5．如图，是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向右行进时（车轮无滑动），下列描述正确的是（ ）
A．点在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点在前轮的右上位置，距离地面约为
【答案】D
【分析】计算出点转过的弧度数，结合诱导公式即可得出结论.
【解析】自行车在向右行进的过程中，点在前轮上按照顺时针的方向在旋转，
点转过的弧度数为，
而弧度为第一象限角，故点在前轮的右上位置，
距离地面约为.
故选：D.
6．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（ ）
A．5m B． C． D．20m
【答案】A
【分析】根据余弦函数的周期公式计算，即可求得答案.
【解析】因为函数最小正周期是，
故 ，即 ，
解得（m）,
故选：A
7．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
【答案】C
【解析】求得中关于时间的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【解析】设，则（为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.
对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.
对于B选项，当时，；当时.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.
对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.
对于D选项，由得，其中，所以，故或，即或，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于65米. D选项正确.
故选：C
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据点求出圆的半径，利用周期求出的值，通过三角函数解析式求出的值，即可得函数的解析式.
【解析】易知，
因旋转一周用时60秒，即，
又由题意知
∴，
又
∴
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了求函数的解析式，属于基础题.
9．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（ ）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】B
【分析】由已知表格中数据求得,根据驶入港口大于等于6,离开时大于等于5，分析即可得答案.
【解析】由表格中的数据可知，，则.
由T=12，∴，故，
当x=3时，f(x)=7，则∴，即，得.
∴.
由，得，
即或
∴或.
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，
∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，
卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，卸完后的吃水深度为，
所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由，得，
即或
∴或.
所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.
故选：B
10．一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答.
【解析】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，
依题意，设函数解析式为，
显然，则，，
函数的周期，则，因当时，，即有，则，
于是得，
所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是.
故选：C
11．阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【解析】解：因为且，，
所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，
即，取，
所以，
林，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
故选：A
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【解析】，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
二、多选题
13．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则（ ）
A．该质点的简谐运动周期为0.7s
B．该质点的简谐运动振幅为5cm
C．该质点的简谐运动频率为1.25Hz
D．该质点的简谐运动周期为0.8s
【答案】BCD
【分析】由图象可求得周期，判断A和D；根据图象可得振幅，判断B;由周期求得频率，判断C
【解析】由题图可知，运动周期为，故A错，D正确；
该简谐运动的振幅为5cm，故B正确；
该简谐运动的频率，故C正确；
故选：BCD．
14．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：之间的关系为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得.
【解析】振幅即为半径，即；
因为逆时针方向每分转1.5圈，所以；
；
.
故选：AC.
15．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【解析】因为且，，
所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，
即，取，
所以，
由，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
故选：AC.
16．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ）
A．（）
B．（）
C．是函数的周期
D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒．
【答案】AD
【分析】如图，根据题意余弦函数的定义求出，进而求得解析式，结合三角函数的性质依次判断选项即可.
【解析】由题意得，如图，轴，，
点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且，
因为每分钟转2圈，所以，得角速度，
故，又，
所以，所以，
即.故A正确，B错误；
又因为函数的周期，Z，
由周期的定义结合函数的定义域可得C错误；
令，得，
解得或，Z，
当时，或，
即旋转一周的过程中(30s)，有25-5=20s，水斗A距离水面高度低于6.5米，
所以有30-20=10s的时间不低于6.5米，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
17．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
【答案】
【分析】设与之间的函数关系式为，根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求出，再利用最大值可求，故可求解析式.
【解析】设与之间的函数关系式为，
则由表中数据可得，且，
故且，所以
因为当时，，所以，
解得，故，其中.
故答案为：.
18．高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形为等腰梯形，且，，为圆O的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O大小确定，OC最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O的半径与BC长度的比值为___________．
【答案】
【分析】过点作于，交于点，过点作的垂线，垂足为，设，，进而得,，故当时，OC最长，进而得答案.
【解析】过点作于，交于点，过点作的垂线，垂足为，
设，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以当时，即时，，
此时，
所以此时圆O的半径与BC长度的比值为.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的应用，考查数学建模思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，，进而建立三角函数的模型求解.
19．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，则圆弧所在圆的半径为________cm．
【答案】
【分析】设，表示出，，再利用求出圆弧所在圆的半径.
【解析】解：作AN⊥EF于N，交DG于P，AM⊥ED延长线于M，设，由题意，，所以.
因为，所以.
因为，所以.
因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形.
在直角中，，.
因为，所以，解得.
故答案为：
20．从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为___________（写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中___________.已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为___________.（取，，结果精确到小数点后两位）.
【答案】 60.20
【分析】先求出最小正周期，从而得到周期，写出的频率的解析式，代入，求出，设出标准音的音调为，根据标准音的频率和标准音的频率比为列出方程，求出准音的音调为，
【解析】已知：最小正周期，故周期为，故，
当时，，则
因为标准音的频率和标准音的频率比为，
所以标准音的频率为，设标准音的音调为，
则，
解得：，
故答案为：，，60.20
四、解答题
21．如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.
(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？
(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？
【答案】(1)1.5cm；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，把代入直接计算作答.
（2）利用余弦型函数周期公式，列式计算作答.
(1)
在函数中，当时，，
所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm.
(2)
依题意，，而周期，又，则，即，解得()，
所以线的长度l应该为.
22．某港口的海水深度y（单位：）是时间t（，单位：）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经长期观察，的图像可以近似地看成函数的图像.一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的.
(1)试根据以上数据，求出的函数解析式；
(2)已知某船的吃水深度（船底与水面的距离）为，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
【答案】(1)
(2)小时
【分析】（1）的图像可以近似地看成函数的图像，求出和即可.
（2）根据船安全进出港，需满足，带入后求出的取值范围.
(1)
解：根据题意得：
函数最小正周期，
∴，即.
∴.
(2)
该船安全进出港，需满足
即，即
又
∴
又
∴ 或
∴该船在港内停留的时间最多不能超过小时.
23．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
【答案】(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
【解析】（1）矩形中，km，km，
，，
则，
则
（2）令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
24．某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f(t)．
已知某日海水深度的数据如下：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y＝f(t)＝Asinωt＋b的振幅、和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)
【答案】（1）振幅为3， ，；（2）16小时．
【分析】（1）根据题设中的数据可求振幅、，从而可求的解析式.
（2）令，求出的范围后可得在港内停留的时间长.
【解析】（1）由题设的数据可得，故，
而，故，故，
其中振幅为3，.
（2）令，则，其中
故或，故船舶至多能在港内停留小时.
25．如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为1.8m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮．
(1)将矩形铁皮PQCR的面积表示为的函数，并写出的取值范围；
(2)当的值取多少时，矩形铁皮PQCR的面有最大值.
【答案】(1)，其中；
(2)
【分析】（1）根据扇形半径及角，利用三角函数表示出所求矩形的边长，即可求解；
（2）根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求解.
（1）
依题意得：
矩形铁皮PQCR的面积为：
，其中；
（2）
令
则
开口向上，对称轴，
当，即时，.
26．某商圈准备在其室外广场上设计一个绿化人文景观带，具体操作如下：下图中的正方形的边长为40米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域作为绿化人文景观排，其中，根据预测，修好后人流量基本上都集中在两条线段附近，所以该景观带的边界长度之和越大，人流量就越大，现在记的长度之和为．
(1)求函数的解析式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分、两种情况求出即可；
（2）当时，，易得的最大值为，当时，，通过三角恒等变换可得，然后令，可得，然后结合其单调性可得答案.
(1)
当时，点在线段上，易得
当时，在中，，，所以
在中，，，所以
所以
综上：
(2)
当时，，当时，最小
所以此时的最大值为
当时，
令，
则
所以
所以
因为在上单调递增，所以在上单调递减
所以
综上：5.7三角函数的应用
一、单选题
1．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（ ）（参考数据：）
A．时时 B．时时
C．时时 D．时时
3．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（ ）
A．1461 B．1459 C．1430 D．1427
4．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数为标准值.设甲某的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），对于甲某而言，下列说法正确的是（ ）
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值 舒张压低于标准值 D．收缩压低于标准值 舒张压高于标准值
5．如图，是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向右行进时（车轮无滑动），下列描述正确的是（ ）
A．点在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点在前轮的右上位置，距离地面约为
6．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（ ）
A．5m B． C． D．20m
7．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（ ）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
10．一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
11．阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（ ）
A． B．
C． D．
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
13．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则（ ）
A．该质点的简谐运动周期为0.7s
B．该质点的简谐运动振幅为5cm
C．该质点的简谐运动频率为1.25Hz
D．该质点的简谐运动周期为0.8s
14．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：之间的关系为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（ ）
A． B．
C． D．
16．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ）
A．（）
B．（）
C．是函数的周期
D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒．
三、填空题
17．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
18．高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形为等腰梯形，且，，为圆O的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O大小确定，OC最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O的半径与BC长度的比值为___________．
19．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，则圆弧所在圆的半径为________cm．
20．从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为___________（写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中___________.已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为___________.（取，，结果精确到小数点后两位）.
四、解答题
21．如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.
(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？
(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？
22．某港口的海水深度y（单位：）是时间t（，单位：）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经长期观察，的图像可以近似地看成函数的图像.一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的.
(1)试根据以上数据，求出的函数解析式；
(2)已知某船的吃水深度（船底与水面的距离）为，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
23．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
24．某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f(t)．
已知某日海水深度的数据如下：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y＝f(t)＝Asinωt＋b的振幅、和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)
25．如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为1.8m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮．
(1)将矩形铁皮PQCR的面积表示为的函数，并写出的取值范围；
(2)当的值取多少时，矩形铁皮PQCR的面有最大值.
26．某商圈准备在其室外广场上设计一个绿化人文景观带，具体操作如下：下图中的正方形的边长为40米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域作为绿化人文景观排，其中，根据预测，修好后人流量基本上都集中在两条线段附近，所以该景观带的边界长度之和越大，人流量就越大，现在记的长度之和为．
(1)求函数的解析式；
(2)求的最大值．
