苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 第二章 圆与方程单元测试 (解析版)

第二章圆与方程单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知圆的圆心到直线的距离为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若圆x2+y2+ax-by=0的圆心在第二象限，则直线x+ay-b=0一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为
12．若圆与圆相切，则m的值可以是
A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相交，则值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．
三、填空题
14．已知圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程为________.
15．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.
16．已知动点满足，为坐标原点，则的最大值为__.
四、解答题
17．已知曲线C：表示圆，圆心为C.
（1）求圆C的面积的取值范围；
（2）若曲线C与直线交于M N两点，且，求实数m的值.
18．已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
19．已知直线，的方程为.
（1）求证：与相交；
（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）
20．设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．
（1）若圆过原点，求圆的方程；
（2）已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．
第二章圆与方程单元测试答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解.
【详解】
圆：的圆心坐标为，圆：的圆心为，
由题得线段的垂直平分线就是两圆的连心线，
所以,
所以线段的垂直平分线为.
所以线段的垂直平分线为.
故选：C
【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.
2．已知圆的圆心到直线的距离为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式求出整数的值，然后将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
圆的圆心坐标为，
由已知条件可得，整理可得，，解得，
因为，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
3．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项.
【详解】
圆的标准方程为，半径，
当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，
故有，解得，即的最大值为，
故选：C.
4．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径可得出的最小值.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线上的点的最小距离，
故选：A．
【点睛】
结论点睛：若直线与圆相离，点是半径为的圆上的一点，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的取值范围是.
5．已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，由得，即可知的轨迹为，要使圆上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围.
【详解】
设，则，，
∵，即，
∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆的圆心为，半径为R，
∴圆上存在点，即圆与有交点，
∴.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：由及向量垂直的数量积公式即可确定的轨迹，要使圆上存在点，只需保证圆与的轨迹有交点即可.
6．若圆x2+y2+ax-by=0的圆心在第二象限，则直线x+ay-b=0一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.
【详解】
因为圆的圆心坐标为，
由圆心在第二象限可得，
所以直线的斜率，轴上的截距为，
所以直线不过第三象限.
故选：C
7．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆的方程可得已知圆的圆心坐标和半径；求得圆心关于直线的对称点坐标，即为所求圆的圆心，又半径不变，从而可得圆的方程.
【详解】
由圆的方程可知圆心坐标为：，半径为：
设圆心关于直线的对称点为
则：，解得：，即所求圆圆心为：
所求圆的方程为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查求解圆关于直线对称的圆的方程的求解，关键是明确两圆半径相同，且圆心关于直线对称.
8．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】
由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
9．已知，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由，得到点在以为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，把要使得圆上存在点，满足，转化为圆与圆由公共点，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，点，因为，所以点在以为直径的圆上，
设的中点为的坐标为，，所以圆的方程为，
又由圆的圆心为，半径为，则，
要使得圆上存在点，满足，
则圆与圆由公共点，可得，解得,
即圆的半径的范围是.
故选：A.
【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：
1、判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；
2、若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项得到.
10．已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得D,E,F,代入即可求得圆的方程.
【详解】
设外接圆的方程为，点Q是的外接圆与y轴的另一个交点，
分别令，则，．
设，则，又曲线与x轴交于M，N两点，
则，，，，，所以，，
故外接圆的方程．
故选：C.
二、多选题
11．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【分析】
求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，
【详解】
圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论.
12．若圆与圆相切，则m的值可以是
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出的值即可.
【详解】
由题意，圆可化简为，
所以，圆的圆心坐标，半径，
圆的圆心坐标，半径，
所以，，
所以，或，解得或.
故选：AC.
【点睛】考查两圆的位置关系的
13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相交，则值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】BCD
【分析】
写出已知圆的圆心，再由给定条件探求出圆心到直线距离必小于2方可得解.
【详解】
圆的方程为，圆心为，
由题意可知到的距离应小于2，即，解得，
显然，1，均符合要求.
故选：BCD
三、填空题
14．已知圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程为________.
【答案】
【分析】设圆的方程为，代入点，求得或，进而得到圆的方程.
【详解】
由题意，圆过点，且与两坐标轴都相切，
设圆的方程为，
将点代入圆的方程，可得，
整理得，解得或，
当时，圆的面积较小，所以圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】求解圆的方程的两种方法：
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；
2、待定系数法：
①根据题意，选择标准方程与一般方程；
②根据条件列出关于或的方程组；
③解出或的值，代入标准方程或一般方程.
15．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解
【详解】
解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，
所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，
要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，
根据题意可知两圆的圆心距为，
所以的最大值为，
故答案为：
16．已知动点满足，为坐标原点，则的最大值为__.
【答案】.
【分析】
由曲线的方程可得曲线关于轴、轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得的最大值.
【详解】
由曲线的方程，可得曲线关于轴、轴、原点都是对称的，
故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：
在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为，
转化为：，满足方程，
表示以为圆心，半径为的圆的一部分.
所以的最大值为圆的直径.
故答案为：.
【点睛】考查圆的标准方程，
四、解答题
17．已知曲线C：表示圆，圆心为C.
（1）求圆C的面积的取值范围；
（2）若曲线C与直线交于M N两点，且，求实数m的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据方程表示圆求出的范围，求出圆的半径的取值范围，由圆的面积公式可得结果；
（2）将转化为圆心到直线的距离可解得结果.
【详解】
（1）因为曲线C：表示圆，
所以，解得，
所以圆的半径，
所以圆C的面积.
（2）因为圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
因为，所以，所以，解得，满足.
【点睛】关键点点睛：将转化为圆心到直线的距离是解题关键.
18．已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
【答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．
【分析】
（1）设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解；
（2）根据圆的弦中点性质求出的轨迹方程后可得轨迹．
【详解】
（1）设圆方程为，
则，解得 ，
所以圆方程为，即；
（2）由（1），设，则由 得，，即 ，，．
又在圆内部，
所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）．
【点睛】考查求圆的方程，考查动点轨迹．已知圆过三点时一般可设出圆的一般方程，代入三点坐标求出圆的方程，再化为标准方程即可．平面解析几何中的轨迹问题，可通过求出动点轨迹方程，由方程判断轨迹．当然也可由几何性质判断轨迹．
19．已知直线，的方程为.
（1）求证：与相交；
（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由题知直线过定点，且为的圆心，故与相交；
（2）由题知，当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，进而得答案.
【详解】
解：（1）由题知直线，的标准方程为，
所以直线过定点，为圆的圆心，
所以直线过的圆心，故与相交；
（2）由（1）知直线过圆的圆心，的半径为，
所以，
所以当到直线的距离最大时，的面积取最大值，
故当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，
所以的面积最大值为
20．设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．
（1）若圆过原点，求圆的方程；
（2）已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）联立两直线方程，可求得圆心的坐标，求出圆的半径，由此可得出圆的方程；
（2）设点，由可求得点的轨迹为圆，利用圆与圆有公共点可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围．
【详解】
（1）由，得，所以圆心.
又圆过原点，，圆的方程为：；
（2）设，由，得：，化简得.
点在以为圆心，半径为的圆上.
又点在圆上，，
即，.
【点睛】
结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和.
（1）若，则圆与圆内含；
（2）若，则圆与圆内切；
（3）若，则圆与圆相交；
（4）若，则圆与圆外切；
（5）若，则圆与圆外离.
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