2022-2023学年北京市门头沟区高二(上)期中数学试卷(含解析)

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名称 2022-2023学年北京市门头沟区高二(上)期中数学试卷(含解析)
格式 docx
文件大小 198.7KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2022-12-29 11:52:09

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文档简介

2022-2023学年北京市门头沟区高二(上)期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
如图,直线,,,的斜率分别为,,,,则( )
A.
B.
C.
D.
过两直线,的交点,且与直线平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
已知方程表示圆,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
经过三个点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
已知,,,若、、三个向量共面,则实数等于( )
A. B. C. D.
已知,,,则原点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
如图,在平行六面体中,与的交点为设,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
如图,四边形中,,,,将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
如图,在边长为的正方体中,是棱长一点且,是面上的点.一质点从点射向点,遇到正方体的面反射反射服从光的反射原理,反射到点,则线段与的长度之和为( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
已知点,,则直线的一个方向向量为______,一个法向量为______.
如图,在正方体中,,,,分别为,,,的中点,则异面直线与所成的角等于________.
直线:在轴和轴上的截距相等,则______.
过圆内一点作圆的割线,使它被该圆截得的线段最短,则直线的方程是______.
在平面直角坐标系中,定义为两点,之间的“折线距离“:在这个定义下,给出下列命题:
到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆;
到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形;
到,两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线;
到,两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形.
其中正确的命题是______写出所有正确命题的序号
三、解答题(本大题共6小题,共85.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
本小题分
已知平行四边形的三个顶点的坐标为,,.
在中,求边中线所在直线方程;
求平行四边形的顶点的坐标及边的长度.
本小题分
已知直线:,:.
Ⅰ当时,求两直线的距离;
Ⅱ若,求的值;
Ⅲ写出原点到直线的距离,并求出该距离的最大值.
本小题分
已知两点,及圆:,为经过点的一条动直线.
若直线经过点,求证:直线与圆相切;
若直线与圆相交于两点,,从下列条件中选择一个作为已知条件,并求的面积.
条件:直线平分圆;条件:直线的斜率为.
本小题分
如图,在三棱柱中,平面,为正三角形,侧面是边长为的正方形,为的中点.
Ⅰ求证:平面平面;
Ⅱ求二面角大小的余弦值.
本小题分
在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,,分别是,的中点,,.
求证:平面;
求与平面所成角的正弦值;
在棱上是否存在一点,使得平面?若存在.求出的值;若不存在,请说明理由.
本小题分
已知直线,均过点.
Ⅰ若直线过点,且,求直线的方程;
Ⅱ如图,为坐标原点,若直线的斜率为,其中,且与轴交于点,直线过点,且与轴交于点,求直线,与两坐标轴围成的四边形面积的最小值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:直线的倾斜角为,
则,

故选:.
根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出.
本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系,属于基础题
2.【答案】
【解析】解:由知,当倾斜角在这一变化时,直线的斜率逐渐增大,所以,
当倾斜角在第二象限变化时,直线的斜率逐渐增大,所以,
所以.
故选:.
根据直线的斜率与倾斜角的关系,即可得解.
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,熟练掌握正切函数的图象与性质是解题的关键,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:联立方程,解得:,
直线,的交点坐标为,
设所求直线方程为,
代入点得,,

所求直线方程为,即,
故选:.
先联立两直线方程,求出两直线的交点坐标,依题意可设所求直线方程为,代入交点坐标,即可求出的值,从而得到直线方程.
本题主要考查了直线的一般方程,考查了两直线平行的位置关系,是基础题.
4.【答案】
【解析】解:由圆的一般式方程可得,即,求得,
故选:.
由圆的一般式方程可得,即,由此求得的范围.
本题主要考查圆的一般式方程的特征,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:因为圆经过三个点,
设圆的方程为,
则,解得 ,
所以圆的方程为.
故选:.
利用待定系数法设出圆的方程,代入点的坐标求解即可.
本题考查了圆的方程的求解,主要考查了待定系数法的应用,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:,,,若、、三个向量共面,



解得,,
实数.
故选:.
由、、三个向量共面,得,列方程组,能求出结果.
本题考查向量共面定理,考查运算求解能力,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:,,,
,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
原点到平面的距离是:

故选:.
,,,求出平面的法向量,利用原点到平面的距离是,能求出结果.
本题用到的知识点为:平面的法向量、点到平面的距离公式,考查运算求解能力,是中档题.
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量基本定理,空间向量的线性运算,解题时应结合图形进行解答.
在平行六面体中,根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示即可.
【解答】
解:由题意得,平行六面体中,

故选:.

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中的翻折问题,面面垂直的性质定理的应用,棱锥体积的求解,属于中档题.
利用面面垂直的性质定理证明平面,然后由等体积法,结合锥体的体积公式求解即可.
【解答】
解:由题意,平面平面,平面平面,又,平面,
则平面,
因为,
所以,
则由等体积法可得,,
所以四面体的体积为.
故选A.

10.【答案】
【解析】解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、,
作点关于平面的对称点,由对称性可知,
且、、三点共线,
故.
故选:.
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,作点关于平面的对称点,计算出即可.
本题主要考查空间中的距离,属于基础题.
11.【答案】不唯一 不唯一
【解析】解:由题意知,直线的一个方向向量为,
则直线的法向量与方向向量垂直,故数量积为,可选取一个法向量为.
故答案为:不唯一;不唯一.
直接由方向向量以及法向量的定义求解即可.
本题主要考查方向向量、法向量的定义,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:取中点连接,,则,与所成的角等于与所成的角.容易知道为正三角形,
与所成的角等于
故答案为:
利用异面直线夹角的定义,将平移至为中点,通过为正三角形求解.
本题考查异面直线夹角的计算,利用定义转化成平面角,是基本解法.找平行线是解决问题的一个重要技巧,一般的“遇到中点找中点,平行线即可出现”.
13.【答案】
【解析】解:把直线:化为.
直线:在轴和轴上的截距相等,
,解得.
故答案为:.
把直线:化为截距式:利用截距相等即可得出.
本题考查了直线的截距式,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:将圆的方程化为标准方程得:,
圆心坐标为,又,
直线的斜率为,
直线的斜率为,
则直线的方程为,即.
故答案为:.
将圆的方程化为标准方程,找出圆心的坐标,由垂径定理得到与直径垂直的弦最短,根据和的坐标求出直线的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为,求出直线的斜率,由求出的斜率及的坐标,即可得到直线的方程.
此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,两直线垂直时斜率满足的关系,以及直线的点斜式方程,根据垂径定理得到与直径垂直的弦最短是解本题的关键.
15.【答案】
【解析】解:到原点的“折线距离”等于的点的集合,是一个正方形,故错误,正确;
到,两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合,化简得,故集合是两条平行线;故正确,
到,两点的“折线距离”之和为的点的集合是,故集合是面积为的六边形,则正确;
故答案为:.
先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合,然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可.
本题考查点的轨迹问题,考查了“折线距离”的定义,以及分析问题解决问题的能力,信息给予题首先要理解清楚所给的信息的含义.
16.【答案】解:平行四边形的三个顶点的坐标为,,,
由于线段的中点为,
故边中线所在直线的方程为,即.
设点,
则由,可得,,,即点,

【解析】由题意,利用中点公式求出的中点坐标,再用两点式求边中线所在直线的方程.
由 求得点的坐标,利用两点间的距离公式求出.
本题主要考查中点公式,用两点式求直线的方程,向量相等以及两点间的距离公式,属于基础题.
17.【答案】解:Ⅰ当时,直线:,直线:,
两直线的距离为.
Ⅱ若,则,
解得:,
即的值为.
Ⅲ原点到直线的距离,
当时,的值最大,最大值为.
【解析】Ⅰ利用两平行线间的距离公式求解.
Ⅱ利用两直线垂直时的斜率关系求解.
Ⅲ先利用点到直线距离公式求出原点到直线的距离,再分析的最小值即可.
本题主要考查了两平行线间的距离,考查了两直线垂直的位置关系,同时考查了点到直线距离公式,属于基础题.
18.【答案】证明:方法一:若直线经过点,则直线的方程为,即.
由题意,圆的圆心为,半径,则圆心到直线的距离为,
所以直线与圆相切.
方法二:由满足:,可知点在圆上,圆心为.
若直线经过点,则直线的斜率,
又,所以,所以,
所以直线与圆相切.
解:选择条件:若直线平分圆,
则直线过圆心,直线的方程为,即.,
点到直线的距离,
所以.
选择条件:若直线的斜率为,
则直线的方程为,即,
此时圆心在直线上,则,
点到直线的距离,
所以.
【解析】方法一:求出直线的方程,利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离,与半径比较得到结论;
方法二:观察到点在圆上,求出直线的斜率及直线的斜率,得到直线与直线垂直,从而证明出相切;
选择:得到直线过圆心,求出直线的方程,得到到直线的距离及的长,从而求出面积;
选择:求出直线的方程,观察到圆心在直线上,得到到直线的距离及的长,从而求出面积.
本题主要考查直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.
19.【答案】证明:为正三角形,为的中点,

平面,平面,,
,、平面,
平面,又平面,
平面平面,
Ⅱ解:取的中点,连接,,
为正三角形,,
平面,又,平面,为二面角平面角,
侧面是边长为的正方形,所以,
为正三角形,,
所以,

二面角大小的余弦值为.
【解析】利用平面,得到,又,可证面,即可证平面平面.
取的中点,连接,,证明,平面,即可得到二面角的平面角为,再求其余弦值即可.
本题考查面面垂直的证明方法和用几何法求二面角的大小,属基础题.
20.【答案】解:
取的中点,连接,,,分别是,的中点,,,
底面是矩形,是的中点,
,,四边形是平行四边形,

又平面,平面,平面.
底面,,,
又底面是矩形,,
建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,
,,
设平面的法向量,则,即,
令,得,,
,又,
设与平面所成角为,

与平面所成角的正弦值为.
侧棱底面,
只要在上找到一点,使得,即可证明平面,
设上存在一点,则,,
,,
由,解得,
上存在一点,使得平面,

【解析】取的中点,连接,,则,,证明出四边形是平行四边形,从而,进而得出平面;
由底面,则,,建立如图所示的空间直角坐标系,利用法向量求与平面所成角的正弦值;
侧棱底面,只要在上找到一点,使得,即可证明平面,根据第问的向量坐标表示,利用向量的数量积为,求出坐标,进而得出的值.
本题主要考查了线面平行的判定,线面角的求解,还考查了线面垂直关系的转化,属于中档题.
21.【答案】解:Ⅰ因为直线过点,,
所以直线的方程为,即,
所以直线的斜率为,
因为,
所以,
所以,
所以直线的方程为,即.
Ⅱ根据题意可得直线的方程为,
令,得,即,
令,得,
设直线与轴的交点为,
因为直线过,,
所以直线的方程为,即,
令,得,即,
所以,
,,
当时,最小值为.
【解析】Ⅰ根题意写出直线的方程,进而可得直线的斜率为,由,解得,进而可得直线的方程.
Ⅱ根据题意可得直线的方程为,写出点的坐标,设直线与轴的交点为,同样可得点坐标,点坐标,则,,即可得出答案.
本题考查直线与直线的位置关系,解题中需要一定的计算能力,属于中档题.
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