2022-2023学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若，是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形及其内部以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在( )
A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部
设向量，，其中，则下列命题中正确命题的个数为( )
向量与轴正方向的夹角为定值与、之值无关；
的最大值为；
与夹角的最大值为；
的最大值为．
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
不重合的两个平面最多有______ 条公共直线．
平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则球的表面积为______ ．
设与的两边分别平行，若，则______．
设是等腰直角三角形，斜边现将及其内部绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为______．
如图，正三棱柱的底面边长为，高为，则直线与底面所成的角的大小为______结果用反三角函数值表示．
将一段长的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为、、，则原铁丝的两个端点之间的距离为______．
一个腰长为，底边长为的等腰三角形的直观图的面积为______．
正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于______．
如图所示，空间几何体中，四边形是直角梯形，，四边形是矩形，且平面，，，则空间几何体的体积为______．
如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则圆锥的母线长为______．
有一根高为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______结果用表示．
设，，，是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在长方体中，，，点为棱的中点．
证明：平面；
求异面直线与所成角的大小．
本小题分
如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与互相垂直，且．
求圆锥的表面积；
求二面角的大小结果用反三角函数值表示．
本小题分
如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，．
求直线与平面所成角的大小；
求点到平面的距离．
本小题分
在中，，，，、分别是、上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点不与端点、重合，使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，正四棱锥，．
求此四棱锥的外接球的体积；
为上一点，求的最小值；
将边长为的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥含底面，并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．
利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．
【解答】
解：，是两条不同的直线，垂直于平面，
则“”可能“”也可能，
反之，“”一定有“”，
所以，是两条不同的直线，垂直于平面，
则“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，，
平面，
，即
取弧的中点，连接，，
，
由题意可知，
又为弧的中点，，
与所成角即为，
故选：．
先利用线面垂直的判定定理证得平面，所以，取弧的中点，连接，，所以，且，所以与所成角即为，从而求出结果．
本题主要考查了异面直线所成角，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：连接，，，且，
面，又面，
面面，
面面，
要过作平面，则只需过作即可，
故点在直线上，
故选：．
先通过线线垂直证明面，进而可得面面，由面面垂直的性质定理可得要过作平面，只需过作即可，则答案可求．
本题考查线面垂直问题，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意，设，，
设轴正方向的单位向量为，则，
则，故正确；
，所以的最大值为，故错误；
，
所以，
所以与夹角的最大值为，故正确；
因为，所以的最大值为，故正确．
故选：．
根据题意可用三角函数值假设，，，的值，利用空间坐标的运算结合三角恒等变换和三角函数的图象性质即可求解．
本题考查空间向量与三角函数的综合运用，考查向量法的运用以及运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：不重合的两个平面最多有条公共直线．
故答案为：．
直接利用平面的基本性质，写出结果即可．
本题考查平面的基本性质，两个平面的位置关系，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，
所以球的半径为：．
所以球的表面积为．
故答案为：．
利用平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，求出球的半径，然后求解球的表面积．
本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
7.【答案】或
【解析】解：如图，
因为
所以，，
因为，
所以，，
所以，，
即若两角的两边互相平行，则这两个角相等或互补．
所以与相等或互补，
因为，
所以或，
故答案为：或．
根据两边互相平行的两个角相等或互补解答．
本题考查了平行线的性质，解题时从两直线平行，同位角和同旁内角两种情况考虑比较简单，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为；
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为，高为；
所以几何体的体积为．
故答案为：．
由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．
本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得平面，平面，
所以，
所以为直线与底面所成的角，
所以，
所以，
故答案为：．
根据垂直关系找到线面角，在直角三角形中利用三角关系即可求解．
本题主要考查了直线与平面所成角的求解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，铁丝被折成了两两垂直的三段，，，其中，，，
由，，，可知平面，
，
于是，
．
故答案为：．
作图，根据题设条件可证，再直接计算求解即可．
本题考查线面垂直的判定以及空间中两点间距离的求解，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：一个腰长为，底边长为的等腰三角形的面积为，
即原图形面积为，
由得：直观图的面积为，
故答案为：．
根据直观图与原图形的面积关系直接求得．
本题考查平面图形直观图的面积的求法，属于容易题．
12.【答案】
【解析】解：连结，相交于，则为的中点，
是的中点，是的中位线，
则，
则与所成的角即为异面直线与所成的角，
设四棱锥的棱长为，
则，，，
则，
故答案为：．
根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论．
本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：如图，作于，与直线交于点，连接，
由题设条件可知，，三棱柱为直三棱柱，其体积为，
锥体底面为正方形，高为，则其锥体体积为，
故几何体的体积为．
故答案为：．
作于，与直线交于点，连接，将几何体切割成两部分，再结合柱体和锥体体积公式求解即可．
本题考查几何体的体积的计算，分割补形法，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，则以为圆心，为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积为，
因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，
所以，解得．
故答案为：．
设圆锥的母线长为，求出以为圆心，为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案．
本题考查了圆锥的相关计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆柱型铁管的高为，底面半径为，
又铁丝在铁管上缠绕圈，
且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长，高为圆柱的高，
则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．
此时铁丝的长度最小值为：
故答案为：．
本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为，底面半径为，铁丝在铁管上缠绕圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．
解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．
16.【答案】
【解析】解：设，，，
因为，，两两垂直，扩展为长方体，
所以该长方体的体对角线为球的直径，
所以，，
因为，，，
所以，
当且仅当时取得等号，
故答案为：．
扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解．
本题考查球的结构特征以及利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】证明：设和交于点，则为的中点．
连结，又因为是的中点，所以．
又因为平面，平面
所以直线平面．
解：由知，，所以即为异面直线与所成的角．
因为，
，且，
所以．
又，所以
故异面直线与所成角的大小为．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，属于基础题．
和交于点，则为的中点．推导出由此能证明直线平面．
由，得即为异面直线与所成的角．由此能求出异面直线与所成角的大小．
18.【答案】解：圆锥的顶点为，底面中心为，母线，
底面半径与互相垂直，且．
圆锥的表面积．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
设二面角的大小为，
则，．
二面角的大小为．
【解析】圆锥的表面积，由此能求出结果．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．
本题考查圆锥的表面积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.【答案】解：平面，平面，
，
是圆的直径，
，
又平面，平面，，
平面．
是与平面所成的角．
，，
．
直线与平面所成角的大小为．
过作，垂足为，
由得平面，平面，
平面平面，
又平面平面，平面，，
平面．
，．
．
即到平面的距离为．
【解析】由，得出平面，故而即为所求角，利用勾股定理得出，即可得出；
过作，垂足为，通过证明平面平面得出平面，利用等面积法求出；
本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．
20.【答案】证明：由，，
所以，，
因为折起前后对应角相等，所以，所以平面，，
又，，
所以平面，
解：因为经过的重心，
所以，
由知平面，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由几何关系可知，，，，
故C，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
设与平面所成角的大小为，
则有，
故，
即与平面所成角的大小为；
设，
即，
即，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，，
，
同理，设平面的法向量为，
，，
则，即，
令，则，
故，
若平面与平面垂直，
则满足，
即，
故存在这样的点，，
所以

【解析】结合线面垂直判定定理和折叠性质可证；
通过建系法求出 和平面的法向量，设线面角为，结合公式 求解即可；
在的坐标系基础上，写出，，，，坐标，设 ，表示出点，分别求出平面与平面．
本题考查空间立体几何的应用，转化为空间向量来求解，考查学生的运算能力，属于难题．
21.【答案】解：如图，设外接球的半径为，
又，，
，
，，
外接球体积；
如图，将平面，平面展开到同一个平面，
此时，
在中，，
，
的最小值为；
设直角三角形的两条直角边长为，，
则，，
则构成以为底面边长，高为的正四棱锥，
．
【解析】根据外接球与正四棱锥的关系，利用勾股定理求出外接球半径即可求解；
将空间图形转化为平明图形，根据两点间线段最短即可求解；
结合勾股定理确定四棱锥的底面边长和高即可求解．
本题考查四棱锥的外接球问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
第1页，共1页