2022-2023学年上海市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆“的条件( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点处．从行星位于长轴端点这一位置开始计算，它再次运行到点所经过的时间为根据开普勒第二定律，从开始经过时间，行星的位置可能在( )
A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处
曲线：，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有( )
A. 个 B. 个
C. 有限个，但多于个 D. 无限多个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
直线的倾斜角的大小为______．
抛物线的准线方程为______．
已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为______．
已知直线过点，且与向量垂直，则直线的点法向式方程为______．
若直线：与：互相垂直，则实数的值为______．
已知点和到直线的距离相等，则的值为 ．
已知圆和圆内切，则的值为______．
已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于，
两点，若，则线段的长度为______．
已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点．若是等边三角形，则的值等于______．
已知、、，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是______．
已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过且斜率大于的直线与交于，两点，若，则的斜率为______．
已知点，圆：上两点，满足，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知点，直线：，直线：．
求点关于直线的对称点的坐标；
求直线关于直线的对称直线方程．
本小题分
已知圆经过两点，且圆心在直线上．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
本小题分
直线：与抛物线相交于，两点．
若，求的值；
弦长的最小值．
本小题分
设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线：与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为．
求双曲线的方程；
当时，求实数的值；
设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值．
本小题分
椭圆：的离心率为，短轴长为左、右顶点分别为、．
求椭圆的方程；
设直线：与轴交于点，点是椭圆异于，的动点，直线，分别交直线于，两点，求证：为定值．
如图，原点到：距离为，直线与椭圆交于，两点，直线：与平行且与椭圆相切于点位于直线的两侧记，的面积分别为，，若，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：，
故“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆“的必要不充分条件，
故选：．
根据椭圆性质得到关于的不等式，解出判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查椭圆的性质，是一道常规题．
2.【答案】
【解析】解：由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期，一周被坐标轴平均分为段，
所以从开始经过时间，按逆时针转时转到，
故选：．
由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的部分，所以按逆时针转动时到达处．
考查椭圆的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：曲线：，可知，，
图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由，解得，
曲线：，
要使直线与曲线有四个不同的交点，可得．
故选：．
画出曲线表示的图形，利用数形结合转化求解即可．
本题考查曲线与方程的应用，数形结合的应用，正确判断与画出曲线方程的图形，是解题的关键，是难题．
4.【答案】
【解析】解：设，，，先证，
由知，为的重心，
又，，，
，，
，，
，，，
，
同理，，
故选：．
设，，，利用，说明为的重心，利用重心坐标公式结合不等式转化求解，讨论推出，，得到结果．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以倾斜角为．
故答案为：．
根据直线方程求倾斜角即可．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由可知，，焦点在轴的正半轴上，
所以准线方程为：，
故答案为：．
根据抛物线标准方程直接求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由双曲线方程可知，焦点在轴上，，，
即，，
所以渐近线方程为，
故答案为：．
根据双曲线方程，求出，，直接求解即可．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设为直线上异于的任意一点，
则，
由已知，，即，
所以直线的点法向式方程为，显然满足该方程．
故答案为：．
设直线上点，直线的向量可用，由已知，代入即得结果．
本题主要考查点法向式方程的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：直线：与：互相垂直，
，解得．
故答案为：．
由直线互相垂直，可得，解得．
本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】
解：点和到直线的距离相等，
，
解得或．
故答案为：或．

11.【答案】
【解析】解：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，圆心在轴上，
两圆内切时，圆在圆中，则，可得，
即，解得，
故答案为：．
由两圆的方程可得其圆心坐标及半径，再由两圆内切，可得圆心距等于半径之差，可得的值．
本题考查两圆内切的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：焦点到准线的距离，
抛物线的焦点为，准线方程为，
设，，直线的方程为，
联立抛物线，
消去可得，
，
，，，
，
．
故答案为：．
根据条件可得出，设，，直线的方程，联立抛物线的方程，算出，从而可求，即可求线段的长度．
本题考查抛物线的性质，解题中注意消元思想的应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：过的直线交椭圆于，两点，设，，由椭圆的定义可得，，
又因为是等边三角形可得，
所以可得，可得，即轴，
可得，
而由椭圆的方程可得，，
解得：，解得，
故答案为：．
设，，由椭圆的定义可得，的表达式，再由是等边三角形可得轴，可得的纵坐标，进而可得，，的关系，再由，，之间的关系求出的值．
本题考查椭圆的性质的应用及等边三角形的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：已知、、，且动点满足，
设点，
所以，整理得；
由于；
所以当、、三点共线时，即点在直线上时，取得最小值；
如图所示：
直线的方程为；
由，解得或，
由于点在线段上，故点．
故答案为：．
首先利用动点满足，求出点满足的曲线，进一步利用点的共线的应用求出直线的方程，最后利用直线和圆的位置关系求出交点的坐标．
本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，，，
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，
，
，
则，
为锐角，
，
作轴于点，如图所示：
根据抛物线得定义可得，
则，
为锐角，
，
直线的斜率为．
故答案为：．
设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理求得，，证明，再根据求得，再结合抛物线的定义即可得出答案．
本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查转化能力，属于难题．
16.【答案】
【解析】解：，
，，共线，
又圆：过两点，，
，是过点的直线与圆的两交点，
设，的中点为，，，
则 的几何含义为，两点到直线的距离和，
则，
又，是过点的直线与圆的两交点，
，
两式作差可得，，
又由两点之间的斜率公式可得，，
，化简可得，则的中点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
则 到直线的距离的最小值为，
．
故答案为：．
由题意可得，，，共线，则 的几何含义为，两点到直线的距离和，再结合点差法和点到直线的距离公式，即可求解．
本题考查点到直线距离公式的应用，考查直线与圆位置关系的应用，尤其掌握“点差法”是解本题的关键，属于难题．
17.【答案】解：设点关于直线：的对称点，
可得，解得，
故点的坐标为．
由，解得，所以两直线交于点，
在直线：上取一点，设其关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
直线为，即，
直线关于直线的对称直线方程为．
【解析】设出对称点的坐标，根据垂直、中点在轴上，求出点的坐标．
先求出两直线的交点，再求出直线上一点其关于直线的对称点为的坐标，可得直线的斜率，用点斜式求出对称直线的方程．
本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用点斜式求直线的方程，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ设圆的方程为：，
由题意得，解得，
圆的标准方程为；
Ⅱ由Ⅰ可知圆的圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，
被圆截得的弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
由被圆截得的弦长为，可得，则，
解得，所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
【解析】Ⅰ设出圆的方程，由已知可得关于、、的方程组，求解、、的值，则圆的方程可求；
Ⅱ分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，由垂径定理及勾股定理求解即可．
本题主要考查圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题，：，
联立，得，
设，两点坐标，
由韦达定理得，
因此，；
联立，得，
验证，因此直线与抛物线恒有两相异交点，
，
所以，当，即直线：时，弦长取得最小值．
【解析】推出，：，联立直线与抛物线方程，设，两点坐标，利用韦达定理以及向量的数量积求解即可．
联立直线与抛物线方程，利用弦长公式，化简求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】因为双曲线过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
可得：，
解得：，
所以双曲线的方程为．
因为直线：，且过点，
则，解得：，
由得：三角形为等腰三角形，
所以等腰三角形底边上的高的大小为，
又因为点到直线：的距离等于等腰三角形底边上的高，
则，
化简得：，即．
设，，
由直线与双曲线联立得：，
化简得：，
由韦达定理得：，，
又，即，则，，
即，则，
又点关于坐标原点的对称点为，
则．
则所求的面积为．
【解析】根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；
由点在直线上求得根据到直线：与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数；
设，，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点，三角形面积公式，求面积．
本题考查直线与双曲线的综合应用问题，利用韦达定理是解决本题的关键．
21.【答案】解：由题意得，解得，
所以椭圆的方程为；
由题意知，，
，且，
直线的方程为，
，则，
则，
直线的直线方程为，
令，则，
所以，
因此，
又因为，
所以，
所以；
因为原点到：距离为，
所以，即，
联立，得，
因为直线：与椭圆相切，
所以，
即，
直线与直线间的距离为，
所以，
，
因为，
因为，
所以
又，位于直线的两侧，
所以，同号，
故
因此
故实数的取值范围是．
【解析】根据题意得方程组，求解可得结果；
设，依次求出直线，的方程即可求出，的坐标，进而表示出，的长度，从而结合，化简整理可得结果；
利用点到直线的距离公式得，再联立直线与椭圆可得到，即，结合平行线间的距离公式表示出三角形的面积，然后转为，求的范围即可求出结果．
本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系综合，属于难题．
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