2022-2023学年浙江省温州市乐清市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市乐清市高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设，，，则线段的中点到点的距离为( )
A. B. C. D.
已知空间向量，，则( )
A. B. C. D.
如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，长方体中，，若直线与平面所成的角为，则直线与直线所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
抛物线的焦点到圆：上点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若内切圆的周长为，则直线的方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象其渐近线分别为轴和轴；同样的，如上图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
直线可能是( )
A. B. C. D.
已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则( )
A. 平面
B. 二面角的正切值为
C. 三棱锥的内切球半径为
D. 过直线与平面平行的平面截该正方体所得截面的面积为
已知椭圆：的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，点、是椭圆上关于原点对称的两点异于左右顶点，且，则下列结论正确的有( )
A. 椭圆的离心率为 B.
C. 存在个点满足 D. 的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为______．
已知点为抛物线：上的点，且点到抛物线的焦点的距离为，则______．
已知双曲线：的离心率，则虚轴长为______．
在平面直角坐标系中，直角三角形的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知圆：，直线：．
当直线与圆相交，求的取值范围；
当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
本小题分
如图，某人沿山坡的直行道向上行走，直行道与坡脚直线成角，山坡与地平面所成二面角的大小为求：
直行道与地平面所成的角的正弦值；
若此人沿直行道向上行走了米，那么此时高地平面的高度为多少？
本小题分
已知四棱锥，底面为菱形，，，平面平面，，为的中点．
若为上一点，，证明：；
若，求二面角的正弦值．
本小题分
在平面直角坐标系中，双曲线的对称轴都是坐标轴，且过点，到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于．
求双曲线的方程；
如果双曲线的焦点在轴上，直线经过双曲线的右焦点，与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．
本小题分
某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽米，要求通行车辆限高米，隧道全长千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状如图所示．
Ⅰ若最大拱高为米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？结果取整数
Ⅱ如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？结果取整数
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长．
本小题分
如图，点是轴左侧不含轴一点，抛物线：上存在不同的两点，，且，的中点均在抛物线上．
若，点在第一象限，求此时点的坐标；
设中点为，求证：直线轴；
若是曲线上的动点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
．
．
故选：．
利用中点坐标公式即可得到点的坐标，再利用模的计算公式即可．
熟练掌握向量的中点坐标公式即可得到点的坐标、模的计算公式是解题的关键
2.【答案】
【解析】解：由题意，．
故选：．
根据空间向量的减法结合模长公式求解即可．
本题主要考查空间向量模长公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：为的重心，
，
为的中点，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的运算法则，以及重心的定义，即可求解．
本题主要考查空间向量的运算法则，以及重心的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设长方体的高度为，则，，
故直线的方向向量，
由于长方体的底面为正方形，故BD，
结合可知平面，注意到，
故平面的法向量，
结合题意有：，
解得，即长方体为正方体，
由，故直线与直线所成的角即，
而是等边三角形，故，
即直线与直线所成的角为．
故选：．
首先建立空间直角坐标系，利用空间向量求得长方体的高度，然后计算异面直线所成的角即可．
本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的计算等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，，整理得，解得或，
当时，直线：，直线：，则，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
利用直线垂直的充要条件求出，再根据条件判断即可．
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由抛物线，得，则抛物线的焦点坐标为，
由圆：，得，则圆心坐标为，半径为．
如图，
由图可知，抛物线的焦点到圆：上点的距离的最大值为．
故选：．
由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，数形结合得答案．
本题考查抛物线与圆位置关系的应用，考查抛物线的几何性质，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，，内切圆的半径为，根据题意得，设直线方程为．
根据内切圆的周长为可得，解得，又，
的面积．
的面积的面积
联立得，得，则，，
，得，解得，
直线的方程为，即或．
故选：．
设，，内切圆的半径为，根据题意得，可设直线方程为，根据内切圆的周长为可求得，然后根据用半径和的周长表示的面积等于用点、的纵坐标表示的面积可求得值，最后求得直线方程．
本题考查三角形内切圆、椭圆定义应用、直线与椭圆，考查数学运算能力，属于难题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得渐近线方程为和，
的倾斜角为，的倾斜角为，
所以原双曲线的两条渐近线的夹角为，
因为，
所以，
所以原双曲线的两条渐近线方程为，
所以，即，
所以，
所以，
所以，
即此双曲线的离心率为．
故选：．
由题意求出表示的图像的渐近线方程，求出渐近线方程的夹角，再根据双曲线的几何性质求出离心率．
本题考查了双曲线的方程和性质应用问题，也推理与运算能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
对分类讨论，利用斜率与截距的意义即可得出．
【解答】
解：由直线可得，
若时，直线的斜率与在轴上的截距都大于，可能为；
若时，直线的斜率与在轴上的截距都小于，可能为．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的切线方程，考查两圆位置关系的应用，属于基础题．
由题意可知两圆相离，再由两圆的圆心距之和大于半径之和求解．
【解答】
解：圆：与圆：有四条公共切线，
两圆相离，两圆的圆心距，则有，可得或．
结合选项可知，实数的取值可以是和．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，也考查了平行与垂直的判断问题和面积、体积的计算问题，属于较难题．
中，连接，交于点，连接，利用向量法证明与不垂直，即与平面不垂直；
中，找出是二面角的平面角，计算即可；
中，利用等体积法求出三棱锥的内切球半径长；
中，取的中点，的中点，连接、、，四边形是过直线与平面平行的截面，可求出四边形的面积．
【解答】
解：对于，如图所示，
连接，，则，由平面，得平面，所以；
设交于点，连接，以矩形的底边为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，，则，
所以与不垂直，即与不垂直，
所以与平面不垂直，选项A错误；
对于，是二面角的平面角，计算，
所以二面角的正切值为，选项B正确；
对于，设三棱锥的内切球半径为，
则，
解答，所以三棱锥的内切球半径为，选项C正确；
对于，如图所示，
取的中点，的中点，连接、、，
则四边形是过直线与平面平行的截面，且四边形是等腰梯形，
计算梯形的面积为，所以选项D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：对于，设，则，由题意得，，
因为，
所以，即，
所以，得，
所以椭圆的离心率为，
所以A正确，
对于，设，则，，
所以，所以B正确，
对于，由于，所以，所以，
设短轴的端点为，，则可得，
而由椭圆的性质可知，当点与短轴的一个端点重合时，最大，
所以最大为，所以只存在个点满足，所以C错误，
对于，设，，则由题意可得，
因为，
所以，当且仅当时，取等号，
即当点与短轴的一个端点重合时，最大，
因为，
所以此时最小，，所以D正确，
故选：．
对于，设出点的坐标，结合，的坐标，由可求出，的关系，从而可求出离心率，对于，直接计算即可，对于，由椭圆的性质可知，当点与短轴的一个端点重合时，最大，求出此角，再判断即可，对于，由中的边角关系判断．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意设：．
所以圆心到轴的距离为，结合弦长为．
所以：．
故圆的方程为．
故答案为：．
根据垂径定理构造满足的方程，将求出即可．
本题考查圆的标准方程的求法以及学生利用方程思想解决问题的能力．属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点为，准线为，
因为点为抛物线：上的点，且点到抛物线的焦点的距离为，
所以，得．
故答案为：．
由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可．
本题主要考查抛物线的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由双曲线：的离心率，可得，，可得，
所以虚轴长为，
故答案为：．
由双曲线的方程可得离心率的表达式，进而求出的值，再求出虚轴长的值．
本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设直线的方程为则直线的方程可设为，
由消去，得，所以或
的坐标，
的坐标为，即
因此，，
同理可得：
的面积为
令，得
，
当且仅当，即时，的面积有最大值为
解之得或
时，不符合题意，
故答案为：
设直线的方程为，将直线方程与椭圆消去，解得的坐标，再用两点之间距离公式，可以算出长关于、的表达式，同理可得长关于、的表达式，从而得到的面积关于、的表达式，根据基本不等式进行讨论，可得的面积的最大值为，最后结合题意解关于的方程，即可得到实数的值．
本题在椭圆上求内接直角三角形面积的最大值问题，着重考查了椭圆的简单几何性质和利用基本不等式讨论函数的最值等知识，属于中档题．
17.【答案】解：圆：化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为，
当直线与圆 相交，则有，解得 ；
取弦的中点，与的一半与圆的半径构成直角三角形，
则，
，解得或，
故所求直线方程为或．
【解析】本题考查圆的相交弦长的计算，属于基础题．
根据圆心到直线的距离小于半径可得的范围；
根据圆中相交弦长的一半与半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，解出参数的值．
18.【答案】解：过点作平面，记平面，在平面内，过作，记，连接，，如图：
平面，平面，
，
，，且，平面，
平面，
平面，
，则为二面角的平面角，即，
设，在中，，
在中，，
平面，
为直线与平面所成角，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
米，此时高地平面的高度为米．
【解析】由题意作图，利用线面角的定义，明确线面角所在的直角三角形，根据线面垂直判定以及勾股定理，可得答案；
根据线面角的正弦值的定义以及几何意义，可得答案．
本题考查线面角以及二面角的定义及其运用，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】证明：如图：
连接，，底面为菱形，，为等边三角形，
又是的中点，，
平面平面，且平面平面，
平面，平面，而平面，，
又，，平面，
平面，
平面，；
解：连接，，且为的中点，，
平面平面，且平面平面，
平面，平面，则，，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，，由勾股定理求得，，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
，
二面角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解平面与平面所成角的问题，属于中档题．
连接，，由已知可得，再由平面平面，利用平面与平面垂直的性质可得，结合，得平面，从而得到；
连接，证明平面，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与平面的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值．
20.【答案】解：因为双曲线的对称轴都是坐标轴，则的对称中心是坐标原点．
所以的方程为标准方程．
因为过点，到两焦点距离的差的绝对值等于，
如的焦点在轴上，设，
所以解得所以双曲线的方程为，
如的焦点在轴上，设，
所以解得所以双曲线的方程为．
由知的方程为所以的右焦点为，
法一：若直线的斜率不存在，则其方程为，
代入方程得与交点坐标为，，则弦长为，符合题意．
若直线的斜率存在，设：，
联立消去得．
所以，，
设，，则，，
所以．
解得，满足所以直线的方程为，或．
综上：直线的方程为，或，或．
法二：若直线的斜率为，则其方程为，
此时直线与双曲线相交弦的弦长为，不符合题意，舍去．
所以可设直线的方程为．
联立消去得．
所以，，
设，，则，，
所以．
解得或，满足．
综上：直线的方程为，或，或．
【解析】分焦点分别在，轴上求解可得双曲线的方程；
由知的方程为所以的右焦点为，法一：分斜率是否存在进行运算，可求直线方程，法二：设直线的方程为，利用弦长公式可求，可求直线方程．
考查双曲线的定义、方程、性质，直线与双曲线的位置关系：考查分类讨论思想；考查运算推理能力．
21.【答案】解：Ⅰ建立直角坐标系如图所示，
则点在椭圆上，
将与点代入椭圆方程，得，
此时，
因此隧道设计的拱宽至少是米．
Ⅱ由椭圆方程，得，
因为，即，，
由于隧道长度为千米，即米，所以隧道的土方工程量，
当取得最小值时，有且，得，，
此时，．
若，此时，此时，
若，此时，此时，
因为，故当拱高为米、拱宽为米时，土方工程量最小．
【解析】Ⅰ建立直角坐标系，利用坐标和方程组求出椭圆的方程，即可求得拱宽的长度；
Ⅱ由椭圆方程和基本不等式求出的最小值，计算隧道的土方工程量取得最小值时，对应、的值．
本题考查了椭圆的标准方程与应用问题，也考查了运算求解能力．
22.【答案】解：设点，，由，则中点坐标为，
代入，得，
所以，即；
设，，则中点，
代入，得同理可得，
所以，，是方程的两根．
所以，又因为中点，则，所以，
所以直线轴；
当直线垂直于轴时，，所以化为，即，，
所以，
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，
则，所以，
所以，
因此，
点到直线的距离，
所以，
又因为，则，，且，
令，所以当时，取得最大值，
当时，取得最小值为，则，
所以在上单调递增，所以
综上可知，，
所以的面积的最大值为．
【解析】求得的中点，代入抛物线方程，即可求得求得点坐标；
设，点坐标，求得的中点，代入抛物线方程，因此可得，是方程，利用韦达定理及中点坐标公式可得，即直线轴；
分类讨论，当直线的斜率存在时，求得直线的方程，求得，根据点到直线的距离公式，求得面积的表达式，即可求得面积的最大值．
本题考查椭圆及抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式及韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题．
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