2022-2023学年广东省广州市高三（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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)
2022-2023学年广东省广州市高三（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在如图所示的复平面内，复数对应的点为，则( )
A. B. C. D.
设集合，，则( )
A. B. C. D.
已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
已知，满足，，，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准码”，“标准码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少种不同的编码．( )
A. B. C. D.
如图，为了测量一建筑物的高，测量者在建筑物底部点所在的水平面上选取两个观测点，，在点和点测得点的仰角分别为和，并且测得，，则建筑物的高度为( )
A.
B.
C.
D.
我国古代数学名著九章算术中将底面为矩形的棱台称为“刍童”已知侧棱都相等的四棱锥底面为矩形，且，，高为，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为( )
A. B. C. D.
连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若的图象是一条连续不断的曲线，，的导函数都存在，且的导函数也都存在．若，使得，且在的左、右附近，异号，则称点为曲线的拐点，根据上述定义，若是函数唯一的拐点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知函数，则( )
A. B. 最小正周期为
C. 为的一个对称中心 D. 在上单调递增
如图．四边形为矩形，平面，，且，记四面体，，的体积为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. ，，成等差数列 D.
已知椭圆，直线：与椭圆交于，两点，过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则下列说法正确的是( )
A. 若为椭圆的一个焦点时，则的周长为
B. 若，则的面积为
C. 直线的斜率为
D.
已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，，都有成立，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
曲线的一条切线斜率为，则该切线方程为______．
在的展开式中，的系数为，则实数的值为______．
设的面积为，，已知，，则函数的值域为______．
在概率论发展的过程中，通过构造试验推翻或验证某些结论是统计学家们常用的方法，若事件，，满足，，同时成立，则称事件，，两两独立，现有一个正六面体，六个面分别标有到的六个数，随机抛掷该六面体一次，观察与地面接触的面上的数字，得到样本空间，若，，则可以构造______填一个满足条件的即可，使得成立时，但不满足事件，，两两独立，
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求的值；
若的面积为，求周长的最小值．
本小题分
某兴趣小组为了解某城市不同年龄段的市民每周的阅读时长情况，在市民中随机抽取了人进行调查，并按市民的年龄是否低于岁及周平均阅读时间是否少于小时将调查结果整理成列联表，现统计得出样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的岁以上含岁的样本占样本总数的，岁以下且周平均阅读时间少于小时的样本有人．
周平均阅读时间
少于小时 周平均阅读时间
不少于小时 合计
岁以下
岁以上含岁
合计
请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析周平均阅读时间长短与年龄是否有关联．如果有关联，解释它们之间如何相互影响．
现从岁以上含岁的样本中按周平均阅读时间是否少于小时用分层抽样法抽取人做进一步访谈，然后从这人中随机抽取人填写调查问卷，记抽取的人中周平均阅读时间不少于小时的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式及数据：，．
本小题分
如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．
求点到平面的距离；
若，且平面平面，求二面角的余弦值．
本小题分
已知数列满足：，．
证明：为等差数列，并求的通项公式；
数列，求满足的最大正整数．
本小题分
已知点为双曲线的右顶点，在双曲线上，，的内切圆为．
求曲线和的方程；
已知，过作的两条切线分别交于，两点，证明：直线与相切．
本小题分
已知，．
证明：时，；
设的导函数为，求曲线与曲线的交点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由图可知，点对应的复数，
，
故选：．
由图可得，再由复数的四则运算得答案．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，
，
，
则．
故选：．
求出集合，，，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，，
，且，
可得，，
，
故选：．
根据等差数列的性质求得，，进而求解结论．
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
解得，
所以；
又因为，所以，
即，的夹角为．
故选：．
根据平面向量的数量积求模长和夹角即可．
本题考查了平面向量的数量积和模长、夹角的计算问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，假设有个位置，在其中任选个，放入两个相同的宽条，
剩下个位置，放入三个为相同窄条，则有种情况，即有种不同的编码，
故选：．
根据题意，假设有个位置，在其中任选个，放入两个相同的宽条，剩下个位置放入窄条即可，由组合数公式计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意排列组合的不同，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设，则，，，，
由余弦定理，可得，
，．
故选：．
设，则，，中，由余弦定理，可得方程，即可求塔高．
本题考查了解三角形、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：用一个与底面平行的平面截该四棱锥可得四棱台，设为，
设该棱台外接球的球心为，半径为，上底面中心为，下底面中心为，
则由题意，，，，
当在下方时，设，
则在中，有：，
在中，有：，
由解得，，
所以刍童外接球的表面积为．
同理，当在中间时，设，
则有，，解得，不满足题意，舍去．
综上所述：刍童外接球的表面积为．
故选：．
设该棱台外接球的球心为，半径为，上底面中心为，下底面中心为，分在下方和在中间时，利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积．
本题考查了四棱台的外接球表面积的计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，则，，
是函数唯一的拐点，即是唯一变号零点，
无变号零点，即无变号零点，
令，则，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，且，
又时，，时，，
，故实数的取值范围为，
故选：．
根据题意得，，题意转化为无变号零点，构造函数，利用导数研究的单调性和最值，即可得出答案．
本题考查函数的新定义问题和利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，A错误；
的最小正周期为，B正确；
当时，，所以为的一个对称中心，C正确；
当时，，因为在上单调递增，D正确．
故选：．
对选项代入计算即可，对选项利用结论正切函数最小正周期为，对选项代入检验即可，对选项利用整体代换法，求出的范围，再利用正切函数的单调性即可判断．
本题考查正切函数的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：连接，，，
因为面，故点到平面的距离为；
又四边形为矩形，所以，
又面，面，故BC，
又，面，，故BC面，
故点到面的距离为，
同理可得：面，故点到面的距离为，
不妨设，则，
则，
，
，
，
因此，，，故AD正确，B错误；
，故C错误；
故选：．
利用棱锥的体积计算公式，结合线面垂直的判定定理，分别求得，，，即可对选项作出判断．
本题考查了空间中垂直关系的应用以及几何体的体积计算问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由椭圆，可得：，．
A.假设为椭圆的右焦点时，则，，
的周长，因此正确．
B.若，联立，解得，的面积，因此正确．
C.设，，则，，，，因此不正确．
联立，化为：．
直线方程为：，联立，化为：，
，
，因此D正确．
故选：．
由椭圆，可得：，．
A.假设为椭圆的右焦点时，可得，，可得的周长，即可判断出正误．
B.若，联立，解得，，可得的面积，即可判断出正误．
C.设，，可得，，，利用斜率计算公式可得，即可判断出的正误．联立，化为：直线方程为：，与椭圆方程联立化为：，利用根与系数的关系可得，代入，化简即可判断出的正误．
本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则有，所以，，
当，令，则有，所以，所以，所以为奇函数，
综上，为奇函数，故C错误；
令，则，所以，故D正确．
故选：．
根据题意运用特殊值检验方法，排除法即可解决．
本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为曲线的导数为：，
所以，解得，所以，可得切点坐标
切线方程为：，
即．
故答案为：．
直接利用函数导数值为，求出值，求出切点的坐标，然后求出切线方程．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式为，
令，可得，可得，解得，
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式求出第项，通过的系数，列出方程求解即可．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
15.【答案】
【解析】解：由题意，即，，
所以，
所以，
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为．
故函数的值域为
故答案为：
由向量数量积公式和三角形面积公式得到，求出，三角恒等变换化简得到，结合的范围，结合正弦函数图象求出值域．
本题考查求含型函数的值域和最值，三角恒等变换的化简问题，三角形面积公式及其应用，用定义求向量的数量积，属于中档题．
16.【答案】答案不唯一
【解析】解：设，则，
又根据题意可得，，
，
又，
，
又，而，
，
，不独立，
事件，，不两两独立，
，满足题意．
故答案为：答案不唯一．
设，再根据古典概型的概率公式，独立事件的积事件的概率乘法公式即可证明．
本题考查古典概型的概率公式的应用，独立事件的积事件的概率乘法公式的应用，属基础题．
17.【答案】解：由得，，
因为，解得．
所以．
由，可知，．
由的面积为，得，故．
所以，即等号成立当且仅当
又等号成立当且仅当，
所以．
故周长等号成立当且仅当
因此周长的最小值为．
【解析】利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合二倍角的余弦公式及正切公式即可求解；
根据的结论及三角形的面积公式，再利用基本不等式及余弦定理，结合三角形的周长公式即可求解．
本题考查三角函数与解三角形的综合运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的，
样本中周平均阅读时间少于小时的人数为人，
则其中年龄在岁以上含岁的人数为人；
岁以上含岁的样本占样本总数的，
岁以上含岁的人数为人，
则其中周平均阅读时间不少于小时的人数为人；
岁以下周平均阅读时间不少于小时的人数为人；
则补充列联表如下：
周平均阅读时间少于小时 周平均阅读时间不少于小时 合计
岁以下
岁以上含岁
合计
，
依据小概率值的独立性检验分析判断，周平均阅读时间长短与年龄有关联．
二者之间的相互影响为：随着年龄的增长，周平均阅读时间也会有所增长．
由题意可知：抽取的人中，周平均阅读时间少于小时的有人，不少于小时的有人；
则所有可能的取值为，，，，
；；；；
的分布列为：
数学期望．
【解析】根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论；
根据分层抽样原则可确定样本中周平均阅读时间少于小时和不少于小时的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值．
本题考查独立性检验以及离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题．
19.【答案】解：设点到平面的距离为．
因为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，
又由，得，解得．
由已知设，，则，，取的中点，连接，则，
由平面平面知面，故B，
又，从而平面，
故AC，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故AB，，
又，，
解得，．
在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
则二面角的平面角为．
在直角中，，故，即所求二面角的余弦值为．
法二：取的中点，连接，则，由平面平面知面，故B，又，从而平面B.
故AC，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故AB，，
又，得，，
则，，，
设面的法向量，由，得，
设面的法向量，由，得，
故，即所求二面角的余弦值为．
【解析】根据等积转化法求点到平面的距离；
几何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；空间向量法：先证明，，两两垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值．
本题主要考查了等体积法求点到平面距离，考查了二面角的求法，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：数列满足：，，
故：，，
得：，
所以数列为等差数列；
当时，，且，故公差；
所以．
由得：，
故，
由于函数在上单调递增，
所以，，
所以满足条件的的最大正整数为．
【解析】直接利用数列的递推关系求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式；
利用分组法的应用求出数列的和，进一步利用数列的单调性求出整数的最大值．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
21.【答案】解：在双曲线上，，解得．
曲线的方程为：．
，轴，设与轴相交于点．
的内切圆的圆心在轴上，．
，，
，
，可得的半径．
的方程为：．
证明：设，，，．
设过点的的切线方程为：，
则点到切线的距离，，化为：，
，．
联立，
化为：，
切线交于两点，
，，
点在曲线上，，解得，
又，
．
同理可得：，代入可得．
圆心到直线的距离，
直线与相切．
【解析】由在双曲线上，代入双曲线方程解得，可得曲线的方程．由已知可得轴，与轴相交于点的内切圆的圆心在轴上，根据角平分线的性质可得，可得圆心坐标，的半径，于是可得的方程．
设，，，设过点的的切线方程为：，根据切线的性质可得点到切线的距离，化为：，可得根与系数的关系，联立，化为一元二次方程，根据根与系数的关系可得，进而得出，同理可得：，即可证明结论．
本题考查了直线与双曲线相交问题、双曲线的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线距离公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】证明：，，
当时，设，，
，，
，，
，，
，
在上单调递增，，
；
解：，，
设，，
当时，由知，
在上单调递增
又，，在有唯一零点，
曲线与曲线在上有一个交点．
当时，，
设，则，
在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，
在上有唯一零点，
曲线与曲线在上有一个交点．
综上所述：曲线与曲线的有个交点．
【解析】当时，设，，可证，，从而可得，可证结论成立；
设，可得，分，两种情况讨论研究可得曲线与曲线的交点个数．
本题考查利用导数证明不等式与判断曲线与曲线有多少个交点，考查导数的综合运用，属中档题．
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