苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1 椭圆【同步教案】（解析版）

1.椭圆的定义
平面内的两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1,F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
3.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的关系有三种
、相离--没有公共点
、想切--只有一个公共点
、相交--有两个
4.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆标准方程．
求椭圆的标准方程的方法
1.定义法：根据椭圆的定义，确定a2.b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的方程，
2.待定系数法：根据椭圆焦点在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b的方程组，解出a2.b2，从而写出椭圆的标准方程
利用椭圆定义求标准方程
例题1
椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
例题2
已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A． B．
C． D．
训练1
已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为
A． B． C． D．
训练2
如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（ ）
A． B． C． D．
点和椭圆的位置关系
例题1
若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2
点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
训练1
已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
训练2
已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
很据离心率求椭圆的标准方程
例题1
若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
例题2
阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
训练1
已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为 ，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线 的斜率之和为1.则（ ）
A． B．-3 C． D．
训练2
已知离心率为的椭圆的左 右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线与直线交于点C，直线与直线交于点D，若，则直线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
一、单选题
1．已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，设椭圆的左、右两个焦点分别为，，短轴的上端点为，短轴上的两个三等分点，，且四边形为正方形，若过点作此正方形的外接圆的一条切线在轴上的截距为，则此椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
3．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕 着陆 巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
7．已知是椭圆上的一点，是坐标原点，是椭圆的左焦点且，，则点到该椭圆左准线的距离为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．
8．已知点是椭圆的一个焦点，点是椭圆上的任意一点且点不在轴上，点是线段的中点，点为坐标原点.连接并延长交圆于点，则的形状是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由点位置决定
二、填空题
9．已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.
10．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为________.
11．已知椭圆的中心在坐标原点，左 右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，椭圆的标准方程________.
12．椭圆的上下顶点分别为，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长度为________.
13．已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.
三、解答题
14．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆的短轴长是，离心率是.
（1）求椭圆方程.
（2）倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求弦长.
15．在平面直角坐标系中，已知两点，，动点到点的距离为，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，设直线：与曲线交于，两点，求证：.
16．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两焦点构成一个正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线为圆的一条切线，与椭圆交于两点，且（为坐标原点），求椭圆的方程．
17．已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.
（1）求椭圆C的焦点坐标；
（2）直线与椭圆C相交于A B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围.
1.椭圆的定义
平面内的两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1,F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
3.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的关系有三种
、相离--没有公共点
、想切--只有一个公共点
、相交--有两个
4.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆标准方程．
求椭圆的标准方程的方法
1.定义法：根据椭圆的定义，确定a2.b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的方程，
2.待定系数法：根据椭圆焦点在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b的方程组，解出a2.b2，从而写出椭圆的标准方程
利用椭圆定义求标准方程
例题1
椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b，即可得椭圆的方程.
【详解】
已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），
可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，
由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，
由a，b，c的关系解得b==6∴椭圆方程是,故选B
【点睛】考查椭圆的标准方程，椭圆的定义和性质.
例题2
已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过等差数列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆，从而进一步可求椭圆的方程．
【详解】
已知AB、BC、CA成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC|
∵点B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2
所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4
按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆
由已知有：c=1，a=2
所以，b2=a2-c2=4-1=3
又已知|AB|＞|AC|
所以点A位于上述椭圆的右半部分，且点A不能与B、C在同一直线（x轴）上（否则就不能构成三角形）
所以，点A的轨迹方程是：
故选：D．
训练1
已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.
【详解】
定圆， ，动圆满足与外切且与内切
设动圆半径为，则
表示椭圆，轨迹方程为：
故答案选A
【点睛】考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.
训练2
如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意证明为矩形，再根据椭圆的性质解得，再在中求解即可.
【详解】
解：由两边平方得，所以，
由椭圆的对称性知四边形为矩形，
又因为，所以，
又因为，
由矩形的面积公式与椭圆的定义得，
解得：，
所以，即是方程 的实数根，
又因为，所以
所以，
所以 .
故选：D.
【点睛】考查椭圆的定义、方程、性质等
点和椭圆的位置关系
例题1
若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：，所以
故选：B.
【点睛】考查已知点与圆的位置关系求参数的取值范围，基础题.
例题2
点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果.
【详解】
因为点在椭圆的内部，所以,解得,选A.
【点睛】考查点与椭圆位置关系.
训练1
已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．
【详解】
由题意，点F为椭圆的左焦点，，
点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，
设椭圆C的右焦点为，
，
，
，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A．
【点睛】考查椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用．
训练2
已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】B
【分析】先根据点在椭圆的外部，求出的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可.
【详解】
因为点在椭圆的外部，
所以，即，
则圆的圆心到直线的距离
，
所以直线与圆相交
故选：B
【点睛】考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系.
很据离心率求椭圆的标准方程
例题1
若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由椭圆的离心率为和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆的离心率为，即，即，
又由，可得，即
所以，
当且仅当，即时，“”成立.
故选：C.
【点睛】关键点睛：
1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；
2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；
3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.
例题2
阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】
由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
【点睛】考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
训练1
已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为 ，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线 的斜率之和为1.则（ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的右焦点为，且离心率为，求出椭圆方程，由三角形的三个顶点都在椭圆上，利用点差法求解.
【详解】
因为椭圆的右焦点为，且离心率为，
所以，解得 ，
所以椭圆方程为：，
设 ，
则，
两式相减得：，
即，
同理，
又直线 的斜率之和为1，
所以，
故选：A
【点睛】考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题.
训练2
已知离心率为的椭圆的左 右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线与直线交于点C，直线与直线交于点D，若，则直线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】由离心率求出，设，则，设()，则，直线的方程为，则C的坐标，直线BP的方程为，则D坐标，从而可表示出，然后列方程可求出的值
【详解】
由，得.
设，则.
设()，则，直线的方程为，则C的坐标.
直线BP的方程为，则D坐标.
所以，解得(舍去)或.
故选：B.
【点睛】考查直线与椭圆的位置关系
一、单选题
1．已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，，，利用，两次应用平行线性质求得出的关系式，从而求得离心率．
【详解】
如图，由题意得、、，
设，由得，则①，
又由，中点为，得，则②，
由①②得，即，则，
故选：A.
2．如图所示，设椭圆的左、右两个焦点分别为，，短轴的上端点为，短轴上的两个三等分点，，且四边形为正方形，若过点作此正方形的外接圆的一条切线在轴上的截距为，则此椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得切线l的方程，根据四边形为正方形，可得b，c的关系，根据直线l与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即可求得b，c的值，根据a，b，c的关系，即可得，即可得答案.
【详解】
因为切线在x轴截距为，在y轴截距为b，
所以切线l的方程为，即，
因为正方形的对角线，
所以，即，
则正方形外接圆方程为：，
所以，解得，
又，
所以椭圆方程为.
故选：B
3．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕 着陆 巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中的信息列出关于的方程，然后解方程并求离心率即可．
【详解】
设椭圆的方程为()，
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，
根据题意可得近火点满足，，
解得，，
所以椭圆的离心率为，
故选：A．
4．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果.
【详解】
设，因为直线过，所以，得，
所以，
设，
由，得，得，
因为P为线段的中点，O为坐标原点，
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
所以，即，将其代入，得，，
所以椭圆C的方程为.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：
①设出弦的两个端点的坐标；
②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程；
③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.
5．如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，，则，根据题意可得从而可求出离心率
【详解】
如图，作为椭圆M的左焦点，连接．设，
则，，，
因为A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，，
所以
所以可得．
故选：A
【点睛】考查椭圆的定义的应用和椭圆离心率的求法，解题的关键是根据题意作为椭圆M的左焦点，连接，从而可由已知可得，然后在两个直角三角形和中利用勾股定理列方程可求出离心率，考查转化思想和计算能力，属于中档题
6．已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【答案】B
【分析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的个数．
【详解】
∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上，
由于，，又，因此，
椭圆方程为，
由，解得， ∴点只有一个．
故选：B．
【点睛】考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．
7．已知是椭圆上的一点，是坐标原点，是椭圆的左焦点且，，则点到该椭圆左准线的距离为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据已知条件先判断出点位置，然后根据椭圆的定义求解出的长度，最后根据的长度比上到准线的距离等于离心率求解出结果.
【详解】
设椭圆的右焦点为，到椭圆左准线的距离为，连接,
因为，所以，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是掌握椭圆的第一、第二定义，通过第一定义可求解出的长度，通过第二定义可直接求解出到左准线的距离.
8．已知点是椭圆的一个焦点，点是椭圆上的任意一点且点不在轴上，点是线段的中点，点为坐标原点.连接并延长交圆于点，则的形状是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由点位置决定
【答案】B
【分析】根据定义可得，进而得出，根据求出，得出，即可判断.
【详解】
设是右焦点，左焦点为，
，
在中，分别是中点，
，
，即，
，
，
在以线段为直径的圆上，,
故的形状是直角三角形.
故选：B.
【点睛】考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出，从而判断.
二、填空题
9．已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.
【答案】12
【分析】根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为，即可求出．
【详解】
设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，
如图，连接，，
是的中点，是的中点，
是的中位线；
，同理；
，
在椭圆上，
根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：
，．
故答案为：
【点睛】考查椭圆的定义以及椭圆的标准方程，解决本题的关键点是连接的中点和椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，利用椭圆的定义求得答案．
10．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】变换得到，根据题意得到，解得答案.
【详解】
，即，，故，，
方程表示焦点在轴上的椭圆，故，
即，故.
故答案为：.
【点睛】考查了根据椭圆方程求参数范围.
11．已知椭圆的中心在坐标原点，左 右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，椭圆的标准方程________.
【答案】
【分析】根据题意结合椭圆定义可得，设代解得代回方程即可.
【详解】
解：因为是椭圆上一点，且，，成等差数列
所以，所以，
故椭圆方程可设为代解得
所以椭圆方程为
故答案为：
【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：
（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；
（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.
12．椭圆的上下顶点分别为，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长度为________.
【答案】
【分析】根据题意在以为直径的圆上，设，，结合圆的性质以及所给面积关系可得，，求得圆的方程，代入A点坐标经计算即可得解.
【详解】
根据题意可得，设，，
由可得点在以为直径的圆上，
又原点为圆上的弦的中点，
所以圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上，
所以，又可得，
故圆心坐标为，
所以圆的圆的方程为，
将代入结合可得，
所以，短轴长为.
故答案为：
13．已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.
【答案】.
【分析】联立直线方程和椭圆方程，利用列方程求出b2=3，最后计算长轴长..
【详解】
根据题意设椭圆方程为,
则将代入椭圆方程，
得,
因为椭圆与直线有且仅有一个交点，
所以，
即，所以b2=3，
长轴长为.
故答案为：.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
三、解答题
14．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆的短轴长是，离心率是.
（1）求椭圆方程.
（2）倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求弦长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由离心率得，，结合可求得椭圆方程；
（2）写出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，求出交点坐标，由两点间距离公式得弦长．
【详解】
（1）设椭圆方程为，
则，解得，
椭圆方程为；
（2）由（1）左焦点为，直线方程为，
由， 解得或，即，
所以．
15．在平面直角坐标系中，已知两点，，动点到点的距离为，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，设直线：与曲线交于，两点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用中垂线的性质可得，从而得到，利用椭圆的定义进行分析求解即可；
（2）根据点的位置，确定，都是锐角，然后联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，再将问题转化为求证两个角的正切值相等，代入化简求解，即可证明．
【详解】
（1）∵线段的垂直平分线交于点，
∴，∴
∴点的轨迹是以原点为中心，以为焦点的椭圆.
设椭圆方程为，则，，，
所以曲线的方程为
（2）由消去可得.
设，，则，.
易知，的斜率存在，则
，
又因为
所以，所以.
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
16．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两焦点构成一个正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线为圆的一条切线，与椭圆交于两点，且（为坐标原点），求椭圆的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题设易得，结合椭圆参数的关系，构造齐次方程求椭圆离心率即可；
（2）由题设，令，，有，讨论直线斜率不存在、存在的情况下，结合韦达定理求、，进而求出参数m，即可确定椭圆方程.
【详解】
（1）由题意知：，即，又，
∴，则，故.
（2）令，，由知：①，
由（1）设椭圆，又直线为圆的一条切线，
1、当直线斜率不存在时，为，则，代入①有，解得，此时椭圆方程为；
2、当直线斜率存在时，设为，则，则②，
由直线联立椭圆方程，整理得：，
∴，，则，
∴由①式，，即，将②代入得：，
∴椭圆方程为；
综上，椭圆方程为.
17．已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.
（1）求椭圆C的焦点坐标；
（2）直线与椭圆C相交于A B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由长轴长为，短轴长为2得，直接求出c，写出焦点坐标；
（2）设A B坐标为，用“设而不求法”联立方程组，得到由为锐角，利用，求出实数m的范围.
【详解】
（1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2
∴
即可得：，
∴焦点坐标为.
（2）设A B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0),
联立，消去x的：
∴
∴
∵为锐角，∴，即
∴
解得：.
∴实数m的范围
【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程，可以直接写出焦点坐标；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
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