苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.1椭圆的标准方程【同步作业】（含解析）

3.1.1椭圆的标准方程
一、单选题
1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知椭圆的一个焦点为，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
4．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．若椭圆过点，则其焦距为（ ）
A． B． C． D．
6．， 是距离为6的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=6，则M点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
7．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
8．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
二、多选题
9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
10．若为椭圆的方程，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
三、填空题
11．已知是椭圆上的任意一点，若，则___________.
12．动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
四、解答题
13．求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.
14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；
（2）焦点在轴上，且经过两个点和；
（3）经过点和点.
3.1.1椭圆的标准方程答案
一、单选题
1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程表示焦点在轴上的椭圆列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于椭圆的焦点在轴上，∴，解得或.
故选：C
2．已知椭圆的一个焦点为，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【分析】
根据椭圆焦点坐标确定参数c及长轴的位置，进而求m的值.
【详解】
由题意知：且长轴在轴上，
∴，即.
故选：B
3．如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
【答案】B
【分析】
根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】
表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，
故选：B
4．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
【答案】D
【分析】
待定系数法求椭圆方程即可.
【详解】
设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，把点(4，0)，(0，2)代入得：
所以
故选：D．
【点睛】
待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程.
5．若椭圆过点，则其焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把已知点代入进去即可求出m的值，进而求出a，b的值，从而可以求解.
【详解】
解：把点代入椭圆方程可得：
，解得，所以，，
所以，
所以椭圆的焦距为，
故选：A.
6．， 是距离为6的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=6，则M点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
【答案】C
【分析】
首先确定点在直线上，再利用长度关系，确定点在线段上，从而得到结论
【详解】
解：若点与， 可以构成一个三角形，则，
因为，动点M满足∣∣+∣∣=6，
所以点在线段上，
所以M点的轨迹是线段，
故选：C
7．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
【答案】A
【分析】
由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
8．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
【答案】B
【分析】
用定义法求出轨迹方程，把上下两个顶点去掉.
【详解】
解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，
所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为(y≠±2)．
故选：B
【点睛】
（1）待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；
（2）求出方程后要检验，把不符合的点去掉.
二、多选题
9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
【答案】ACD
【分析】
由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形；求出坐标，由面积公式得出的面积.
【详解】
设椭圆的左焦点为，则
∴为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6
∴的范围是，∴的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又∵，∴
∴为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，∴，D正确.
故选：ACD
10．若为椭圆的方程，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
【答案】AC
【分析】
依题意得到，解得即可；
【详解】
解：因为为椭圆的方程，所以解得或
故选：AC
三、填空题
11．已知是椭圆上的任意一点，若，则___________.
【答案】4
【分析】
由题知，再根据椭圆的定义即可得答案.
【详解】
解：由椭圆的方程知：，
由椭圆的定义知：，
所以
故答案为：
12．动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】
由点在圆内部可知动圆在圆内部，由两圆内切知圆心距，进而得到，由此确定动圆圆心轨迹为椭圆，由椭圆定义可计算求得轨迹方程.
【详解】
由圆方程知其圆心为，半径，
，即点在圆内部，动圆在圆内部，
设圆半径为，则，，
即，又，，
动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆，此时，，，
动圆圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据两圆内切构造等量关系，即圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，由此确定动点轨迹为椭圆.
四、解答题
13．求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.
【答案】
【分析】
由题意可设所求椭圆的标准方程为，代点即得解.
【详解】
由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是联想到共焦点的椭圆系方程，设所求椭圆的标准方程为，解答简洁高效.
14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；
（2）焦点在轴上，且经过两个点和；
（3）经过点和点.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据题意，分析可得要求椭圆中c、a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；
（2）根据题意，由椭圆经过点的坐标可得椭圆中a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；
（3）根据题意，设要求椭圆的方程为，将点P、Q的坐标代入计算可得m、n的值，即可得答案．
【详解】
(1)由于椭圆的焦点在轴上，
∴设它的标准方程为()，
∴，，
∴，
故所求椭圆的标准方程为；
(2)由于椭圆的焦点在轴上，
∴设它的标准方程为().
∴，，故所求椭圆的标准方程为；
(3)设椭圆方程为(，且)，
则得，
∴所求椭圆的标准方程为.
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