苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.3直线与椭圆位置关系【同步作业】（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.3直线与椭圆位置关系【同步作业】（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 775.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:22:52 | ||
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文档简介
3.1.3直线与椭圆位置关系
一、单选题
1．直线与双曲线有两个交点为，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知直线过点，椭圆：，则直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
3．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆相交于，两点，当为钝角时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左 右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则和椭圆的另一个焦点构成的的周长为
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得
C．若，则 D．OP与AB的斜率满足
10．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A．x-2y+6=0 B．x-y=0 C．2x-y+1=0 D．x+y-3=0
三、填空题
11．已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
12．设椭圆的左，右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则______.
四、解答题
13．已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
14．已知椭圆的左 右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点.
（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率；
（2）若，证明直线的斜率k满足大于．
3.1.3直线与椭圆位置关系答案
一、单选题
1．直线与双曲线有两个交点为，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离．
【详解】
由，得，，
∴.
故选：C．
2．已知直线过点，椭圆：，则直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
【答案】C
【分析】
由点在椭圆的内部，可得直线与椭圆相交．
【详解】
因为，所以点在椭圆的内部，
而直线过点，直线与椭圆相交，交点个数为2，
故选：C．
3．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得直线恒过定点，由题意可得在椭圆内或椭圆上，注意，可得所求范围．
【详解】
解：直线恒过定点，
焦点在轴上的椭圆，可得，①
由直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，可得在椭圆上或椭圆内，
即有，解得，②
由①②可得．
故选：C．
4．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意求出直线的方程，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系可得，，再计算的值即可.
【详解】
由可得，可得，即，
所以左焦点，且直线斜率为，
所以直线的方程为，设，，
由 可得，
可得，，
，，
所以
，
故选：C.
5．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆相交于，两点，当为钝角时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把代入椭圆方程求得，利用是等腰三角形可得结论．
【详解】
易知，
代入得，∴，
由对称性知是等腰三角形，是底，设与轴交点为，如图，
为钝角，则，∴，
即，解得．
故选：B．
6．已知椭圆的左 右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将代入 ，求得点P的坐标，进而得到，再由求解.
【详解】
如图所示：
将代入 ，
解得 ，
所以，
因为
所以,
所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以椭圆的离心率是
故选：D
7．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值．
【详解】
因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，，则两条切线分别是，，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以＝，解得＝.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题.
8．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则和椭圆的另一个焦点构成的的周长为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先通过椭圆方程可知椭圆的的值，再通过椭圆定义可知的周长就是，得出结果。
【详解】
因为椭圆方程为，
所以，
由椭圆定义知的周长为．
故选。
【点睛】
本题考查椭圆定义，属于中低档题型，也是常考题。在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长）。
二、多选题
9．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得
C．若，则 D．OP与AB的斜率满足
【答案】BC
【分析】
对于A，由椭圆的方程求出，从而可求出，进而可求出离心率；对于B，设，表示出，由求出的值，则说明；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线为，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，从而可求出直线的斜率，进而可求得的值，进行判断
【详解】
解：对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；
对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；
对于C，因为，,，所以，所以C正确；
对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，
故选：BC
10．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A．x-2y+6=0 B．x-y=0 C．2x-y+1=0 D．x+y-3=0
【答案】BC
【分析】
先确定P点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中直线与椭圆的是否有公共点后可得答案.
【详解】
由，根据椭圆定义可得P点的轨迹为焦点在x轴上对称轴为坐标轴椭圆，且，所以，所以椭圆方程为，
由“椭型直线”定义可知，要为“椭型直线”此直线必与椭圆由公共点，
对于A，，整理得，所以，方程组无解，所以不是“椭型直线”；
对于B，x-y=0是过原点的直线，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；
对于C，因为直线2x-y+1=0过点，且，所以点在椭圆内部，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；
对于D，x+y-3=0与椭圆方程联立，整理得，所以，不是“椭型直线”.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题一般是联立直线与椭圆方程，消去一个变量后通过判断方程解的个数来判断位置关系，属于基础题.
三、填空题
11．已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】
依题意联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可得到，再根据，则，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：依题意联立直线与椭圆方程，消去并整理得，解得或，不妨取，则，，，
所以，，又，所以，因为，所以，即，即所以，解得
故答案为：
12．设椭圆的左，右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则______.
【答案】
【分析】
设，，直线的方程为，由直线与椭圆方程联立方程组可求出，两点的坐标，而由可得，从而可求出的值
【详解】
设，，
由题意知直线的方程为.
由，
得，
则有.①
由消去，得.
所以，，代入①得.
故答案为：
四、解答题
13．已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】
（1）由已知得，，而，解得，
椭圆的方程为；
（2）设直线方程为
代入得，
化简得
由，
得，，
设，则，，
则
设，则，则，
所以在轴存在使.
，
，所以在.
14．已知椭圆的左 右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点.
（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率；
（2）若，证明直线的斜率k满足大于．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设点的坐标为，，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率；
（2）直线的方程为，设点的坐标为，，代入椭圆方程，再由，运用两点的距离公式，化简整理，再由二次不等式的解法，即可得证．
【详解】
解：（1）设点的坐标为，．
由题意，有①
由，，得，．
由，可得，
代入①并整理得．
由于，故，于是，
所以椭圆的离心率；
（2）证明：依题意，直线的方程为，
设点的坐标为，．
由条件得，
消去并整理得②
由，及，得．
整理得．而，于是，
代入②，整理得．
由，故，即，
因此，所以．
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一、单选题
1．直线与双曲线有两个交点为，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知直线过点，椭圆：，则直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
3．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆相交于，两点，当为钝角时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左 右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则和椭圆的另一个焦点构成的的周长为
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得
C．若，则 D．OP与AB的斜率满足
10．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A．x-2y+6=0 B．x-y=0 C．2x-y+1=0 D．x+y-3=0
三、填空题
11．已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
12．设椭圆的左，右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则______.
四、解答题
13．已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
14．已知椭圆的左 右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点.
（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率；
（2）若，证明直线的斜率k满足大于．
3.1.3直线与椭圆位置关系答案
一、单选题
1．直线与双曲线有两个交点为，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离．
【详解】
由，得，，
∴.
故选：C．
2．已知直线过点，椭圆：，则直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
【答案】C
【分析】
由点在椭圆的内部，可得直线与椭圆相交．
【详解】
因为，所以点在椭圆的内部，
而直线过点，直线与椭圆相交，交点个数为2，
故选：C．
3．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得直线恒过定点，由题意可得在椭圆内或椭圆上，注意，可得所求范围．
【详解】
解：直线恒过定点，
焦点在轴上的椭圆，可得，①
由直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，可得在椭圆上或椭圆内，
即有，解得，②
由①②可得．
故选：C．
4．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意求出直线的方程，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系可得，，再计算的值即可.
【详解】
由可得，可得，即，
所以左焦点，且直线斜率为，
所以直线的方程为，设，，
由 可得，
可得，，
，，
所以
，
故选：C.
5．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆相交于，两点，当为钝角时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把代入椭圆方程求得，利用是等腰三角形可得结论．
【详解】
易知，
代入得，∴，
由对称性知是等腰三角形，是底，设与轴交点为，如图，
为钝角，则，∴，
即，解得．
故选：B．
6．已知椭圆的左 右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将代入 ，求得点P的坐标，进而得到，再由求解.
【详解】
如图所示：
将代入 ，
解得 ，
所以，
因为
所以,
所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以椭圆的离心率是
故选：D
7．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值．
【详解】
因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，，则两条切线分别是，，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以＝，解得＝.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题.
8．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则和椭圆的另一个焦点构成的的周长为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先通过椭圆方程可知椭圆的的值，再通过椭圆定义可知的周长就是，得出结果。
【详解】
因为椭圆方程为，
所以，
由椭圆定义知的周长为．
故选。
【点睛】
本题考查椭圆定义，属于中低档题型，也是常考题。在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长）。
二、多选题
9．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得
C．若，则 D．OP与AB的斜率满足
【答案】BC
【分析】
对于A，由椭圆的方程求出，从而可求出，进而可求出离心率；对于B，设，表示出，由求出的值，则说明；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线为，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，从而可求出直线的斜率，进而可求得的值，进行判断
【详解】
解：对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；
对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；
对于C，因为，,，所以，所以C正确；
对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，
故选：BC
10．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A．x-2y+6=0 B．x-y=0 C．2x-y+1=0 D．x+y-3=0
【答案】BC
【分析】
先确定P点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中直线与椭圆的是否有公共点后可得答案.
【详解】
由，根据椭圆定义可得P点的轨迹为焦点在x轴上对称轴为坐标轴椭圆，且，所以，所以椭圆方程为，
由“椭型直线”定义可知，要为“椭型直线”此直线必与椭圆由公共点，
对于A，，整理得，所以，方程组无解，所以不是“椭型直线”；
对于B，x-y=0是过原点的直线，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；
对于C，因为直线2x-y+1=0过点，且，所以点在椭圆内部，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；
对于D，x+y-3=0与椭圆方程联立，整理得，所以，不是“椭型直线”.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题一般是联立直线与椭圆方程，消去一个变量后通过判断方程解的个数来判断位置关系，属于基础题.
三、填空题
11．已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】
依题意联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可得到，再根据，则，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：依题意联立直线与椭圆方程，消去并整理得，解得或，不妨取，则，，，
所以，，又，所以，因为，所以，即，即所以，解得
故答案为：
12．设椭圆的左，右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则______.
【答案】
【分析】
设，，直线的方程为，由直线与椭圆方程联立方程组可求出，两点的坐标，而由可得，从而可求出的值
【详解】
设，，
由题意知直线的方程为.
由，
得，
则有.①
由消去，得.
所以，，代入①得.
故答案为：
四、解答题
13．已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】
（1）由已知得，，而，解得，
椭圆的方程为；
（2）设直线方程为
代入得，
化简得
由，
得，，
设，则，，
则
设，则，则，
所以在轴存在使.
，
，所以在.
14．已知椭圆的左 右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点.
（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率；
（2）若，证明直线的斜率k满足大于．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设点的坐标为，，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率；
（2）直线的方程为，设点的坐标为，，代入椭圆方程，再由，运用两点的距离公式，化简整理，再由二次不等式的解法，即可得证．
【详解】
解：（1）设点的坐标为，．
由题意，有①
由，，得，．
由，可得，
代入①并整理得．
由于，故，于是，
所以椭圆的离心率；
（2）证明：依题意，直线的方程为，
设点的坐标为，．
由条件得，
消去并整理得②
由，及，得．
整理得．而，于是，
代入②，整理得．
由，故，即，
因此，所以．
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